23.3 相似三角形重难点模型 专题训练（含答案）2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

23.3相似三角形-微专题：相似三角形重难点模型专题训练
一、单选题
1．如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于　 　
A．3 B．4 C．6 D．8
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　 　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（ ）

A．3 B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32 B．24 C．48 D．64
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6 B．－12 C．－18 D．－24
8．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
9．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）

A．6 B． C．10 D．6
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知AOB与是位似图形，位似中心为点O，若，则AOB与的面积之比为 ．
12．如图，在ABC中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ．
13．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ．

14．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．
15．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
16．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ．
17．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 （填正确的序号）
19．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ．
20．如图，ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将ADE沿直线DE翻折得到FDE，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
三、解答题
21．如图与交于，且．
（1）求证：∽．
（2）若，，，求的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
23．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
24．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且；
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A C A B C B C
11．1：9 12． 13． 14． 15．2 16．2 15
17． 18．①②③④ 19． 20．
21．证明：（1），，
∽；
（2）∽，
，
，，，
，
，．
22．（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．
23．解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
24．（1）解：，
，
，即，
，
，
，
，即，
，而，
∴，
∴．
答：两路灯的距离为；
（2）解：如图2，他在路灯A下的影子为，
，
，
∴，即，解得．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC＋∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF＋∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DHBC，
∴，
∴GC＝2GH，
设GH＝x，则，则CG＝2x，
∴3x＝12，
∴x＝4．即GH＝4
∵DH=DE，∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG
∴△HDG≌△EDG（SAS）
∴GE=GH=4；
（3）点E将CD分成1∶2两部分
则①，②
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，
∴，
∴，，
设S△DGH＝a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝3a，
∴S△BCD＝9a＋3a＝12a，
∴S1＝2S△BCD＝24a，
∵S△DEG：S△CEG＝2：1，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋a＝3a．
∴S1：S2＝24a：3a＝8．
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，
∴，
∴，，
设S△DGH＝4a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝6a，
∴S△BCD＝9a＋6a＝15a，
∴S1＝2S△BCD＝30a，
∵S△DEG：S△CEG＝1：2，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋4a＝6a．
∴S1：S2＝30a：6a＝5．
故S1：S2＝5或8．