第三章 数列讲学稿
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§3.1数列的概念
【教学目标】
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【考点梳理】
1．数列的概念：按照一定 排列的一列数．
2．数列的分类：项数 的数列叫做有穷数列． 项数 的数列叫做无穷数列．
3．数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看成是以 为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果有意义，那么可以得到一个数列 ．
4．数列的通项公式
如果数列的 可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．
【课前预习】
1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
（2），，，； （3），，，。
2．数列的一个通项公式是 。
3. 已知数列的前项和为,且,则数列的通项公式 .
4.已知，则数列的最大项是 。
【典型例题】
例题1（1）已知数列适合：，，写出前五项并求an；
（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。
例题2（05湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；
变式题（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
例题3数列中，已知，
（1）写出，，；
（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
【反馈练习】
1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）0，1，0，2，0，3…（2）11，102，1003，10004，…
（3）7，77，777，7777，…
2.已知数列的通项公式
（1）2是否是数列中的项？
（2）若
3.（1）已知数列满足，写出该数列的前五项及它的一个通项公式。
（2）设的前n项和,求数列的通项公式。
【课后作业】
1..已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于=______.
2.数列-1，1，-1，1，…的一个通项公式是________.
3. 数列1，4，9，16，…的一个通项公式是________.
4. 已知数列的通项公式,则它的前四项为______.
5已知数列
6.已知数列的通项公式则n=__.
§3.2等差数列
【教学目标】
1．理解等差数列的概念和性质；
2．掌握等差数列的通项公式与前项和公式，并能用公式解决简单问题
【重点、难点】
等差数列的判断，通项公式、前项和公式、等差数列的性质应用．
【考点梳理】
1．等差数列的定义
(1)文字语言：如果一个数列从第 项起，每一项减去前一项所得的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．
(2)符号语言： =
2．等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a。，公差是d，则其通项公式为
3．等差中项：如果三个数a，A，b成 ，则A叫“a和b的等差中项，且有 ．
4．等差数列的前n项和公式： (1) (2) ．
【课前预习】
1.（08陕西）．已知是等差数列，，，则该数列前10项和=___.
2. (北京春)在等差数列中，已知，则_______.
3.设数列的前项和为 ,关于数列有下列四个命题：
①若既是等差数列又是等比数列，则；
②若，则是等差数列；
③成等差数列的充要条件是。
④若是等差数列，则也成等差数列；
其中正确的命题是 （填上正确的序号）。
【典型例题】
例题1（08重庆）设Sn=是等差数列{an}的前n项和，,求数列{an}的通项公式和S n
例题2 等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和
例题3设等差数列的前项和为，已知，，
(Ⅰ)求公差的取值范围；
(Ⅱ)指出, ,…,，中哪一个值最大,并说明理由
【反馈练习】
1. （06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则_______.
2．（02北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有多少项？
3.在等差数列中, ,则的值为_______.
4..数列中， .
（1）若的通项公式；（2）设的最小值
【课后作业】
1.（01全国理）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是_______.
2．（94全国）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为___.
3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
4．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。
§3.3等比数列
【教学目标】
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
【重点、难点】
等比数列的判断，通项公式、前n项和公式、等比数列的性质应用．
【考点梳理】
1．等比数列的概念: (1)文字语言：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．
(2)符号语言： = ，q是等比数列的公比．
2．等比数列的通项公式::设是首项为，公比为q的等比数列，则第项=
3．等比中项:若n，G，6成等比数列，则G为n和6的等比中项且G=
4．等比数列的前n项和公式
(1)当时，
(2)当q≠1时， =
【课前预习】
1．在等比数列中,,则
2．和的等比中项为_______.
3． 在等比数列中，，， =_______.
4．在等比数列，已知，，求.
5. 在等比数列中,和是方程的两个根,则______.
【典型例题】
例题1等比数列的前项和为，已知a1+an=66,a2an-1=128,sn=126,求和公比q的值。
例题2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，插入的3个数依次是多少？
例题3一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 多少？
变式：等比数列的各项为正数，且
例题4 已知数列的前项和为=（an-1）/3
（1）求a1，a2
（2）求证：数列是等比数列。
【反馈练习】
1. 设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
2. 设首项为正数的等比数列，它的前n项之和为80，前2n项之和为6560，且前n项中数值最大的为54，求数列得通项公式。
3.已知是等比数列，，则=
4.设等比数列的公比，前n项和为，则
【课后作业】
1．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2006年北京卷）设，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
4．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝______.
5. 等比数列｛an｝的前n项和为Sn=1.5an-1, 求数列得通项公式。
§3.4数列求和
【教学目标】
1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
【重点、难点】
数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和。
【考点梳理】
常用的数列求和的方法
1．公式法: 若是等差或等比数列，则直接利用等差或等比数列的前项和公式．应用时首先要考虑清楚其首项、公差(公比)、项数，另外，在求等比数列前项和时，一定要分清q=1，还是q≠1．
2．分组求和法
从通项入手，将数列分成几个等差、等比或常见的数列，先分别求和，然后再合并．
3．倒序相加法
将数列各项的次序反过来与原数列对应项相加，如果所得和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如 数列的前项和公式的推导就是用的这种方法．
4．错位相减法
若等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可用错位相减法，如 数列的前项和公式的推导就是用的这种方法 。
5．裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
【课前预习】
1.求数列的前n项和
2.
3.
4（05天津）中
【典型例题】
例题1 已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；
（2）数列从哪一项开始小于0？4（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
变式题 在等差数列中，，，求的最大值．
例题2：求和：
变式题 已知数列和，设，求数列的前项和．
例题3：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；
（2）已知数列的通项公式为，求前项的和．
【反馈练习】
1.在数列中，，则项数n=_____.
2．数列的前n项和等于______.
3．数列1， ________.
【课后作业】
1数列{}的前n项和______.
2．数列{}的通项公式为则数列{}的前n项和为______.
3. 已知{}的前n项和的值为
4.（2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
§3.1数列的概念
【教学目标】
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【考点梳理】
1．数列的概念：按照一定 排列的一列数．
2．数列的分类：项数 的数列叫做有穷数列． 项数 的数列叫做无穷数列．
3．数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看成是以 为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果有意义，那么可以得到一个数列 ．
4．数列的通项公式
如果数列的 可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．
【课前预习】
1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
（2），，，； （3），，，。
2．数列的一个通项公式是 。
3. 已知数列的前项和为,且,则数列的通项公式 .
4.已知，则数列的最大项是 。
【典型例题】
例题1（1）已知数列适合：，，写出前五项并求an；
（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。
例题2（05湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；
变式题（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
例题3数列中，已知，
（1）写出，，；
（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
【反馈练习】
1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）0，1，0，2，0，3…（2）11，102，1003，10004，…
（3）7，77，777，7777，…
2.已知数列的通项公式
（1）2是否是数列中的项？
（2）若
3.（1）已知数列满足，写出该数列的前五项及它的一个通项公式。
（2）设的前n项和,求数列的通项公式。
【课后作业】
1..已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于=______.
2.数列-1，1，-1，1，…的一个通项公式是________.
3. 数列1，4，9，16，…的一个通项公式是________.
4. 已知数列的通项公式,则它的前四项为______.
5已知数列
6.已知数列的通项公式则n=__.
§3.2等差数列
【教学目标】
1．理解等差数列的概念和性质；
2．掌握等差数列的通项公式与前项和公式，并能用公式解决简单问题
【重点、难点】
等差数列的判断，通项公式、前项和公式、等差数列的性质应用．
【考点梳理】
1．等差数列的定义
(1)文字语言：如果一个数列从第 项起，每一项减去前一项所得的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．
(2)符号语言： =
2．等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a。，公差是d，则其通项公式为
3．等差中项：如果三个数a，A，b成 ，则A叫“a和b的等差中项，且有 ．
4．等差数列的前n项和公式： (1) (2) ．
【课前预习】
1.（08陕西）．已知是等差数列，，，则该数列前10项和=___.
2. (北京春)在等差数列中，已知，则_______.
3.设数列的前项和为 ,关于数列有下列四个命题：
①若既是等差数列又是等比数列，则；
②若，则是等差数列；
③成等差数列的充要条件是。
④若是等差数列，则也成等差数列；
其中正确的命题是 （填上正确的序号）。
【典型例题】
例题1（08重庆）设Sn=是等差数列{an}的前n项和，,求数列{an}的通项公式和S n
例题2 等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和
例题3设等差数列的前项和为，已知，，
(Ⅰ)求公差的取值范围；
(Ⅱ)指出, ,…,，中哪一个值最大,并说明理由
【反馈练习】
1. （06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则_______.
2．（02北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有多少项？
3.在等差数列中, ,则的值为_______.
4..数列中， .
（1）若的通项公式；（2）设的最小值
【课后作业】
1.（01全国理）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是_______.
2．（94全国）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为___.
3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
4．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。
§3.3等比数列
【教学目标】
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
【重点、难点】
等比数列的判断，通项公式、前n项和公式、等比数列的性质应用．
【考点梳理】
1．等比数列的概念: (1)文字语言：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．
(2)符号语言： = ，q是等比数列的公比．
2．等比数列的通项公式::设是首项为，公比为q的等比数列，则第项=
3．等比中项:若n，G，6成等比数列，则G为n和6的等比中项且G=
4．等比数列的前n项和公式
(1)当时，
(2)当q≠1时， =
【课前预习】
1．在等比数列中,,则
2．和的等比中项为_______.
3． 在等比数列中，，， =_______.
4．在等比数列，已知，，求.
5. 在等比数列中,和是方程的两个根,则______.
【典型例题】
例题1等比数列的前项和为，已知a1+an=66,a2an-1=128,sn=126,求和公比q的值。
例题2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，插入的3个数依次是多少？
例题3一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 多少？
变式：等比数列的各项为正数，且
例题4 已知数列的前项和为=（an-1）/3
（1）求a1，a2
（2）求证：数列是等比数列。
【反馈练习】
1. 设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
2. 设首项为正数的等比数列，它的前n项之和为80，前2n项之和为6560，且前n项中数值最大的为54，求数列得通项公式。
3.已知是等比数列，，则=
4.设等比数列的公比，前n项和为，则
【课后作业】
1．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2006年北京卷）设，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
4．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝______.
5. 等比数列｛an｝的前n项和为Sn=1.5an-1, 求数列得通项公式。
§3.4数列求和
【教学目标】
1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
【重点、难点】
数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和。
【考点梳理】
常用的数列求和的方法
1．公式法: 若是等差或等比数列，则直接利用等差或等比数列的前项和公式．应用时首先要考虑清楚其首项、公差(公比)、项数，另外，在求等比数列前项和时，一定要分清q=1，还是q≠1．
2．分组求和法
从通项入手，将数列分成几个等差、等比或常见的数列，先分别求和，然后再合并．
3．倒序相加法
将数列各项的次序反过来与原数列对应项相加，如果所得和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如 数列的前项和公式的推导就是用的这种方法．
4．错位相减法
若等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可用错位相减法，如 数列的前项和公式的推导就是用的这种方法 。
5．裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
【课前预习】
1.求数列的前n项和
2.
3.
4（05天津）中
【典型例题】
例题1 已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；
（2）数列从哪一项开始小于0？4（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
变式题 在等差数列中，，，求的最大值．
例题2：求和：
变式题 已知数列和，设，求数列的前项和．
例题3：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；
（2）已知数列的通项公式为，求前项的和．
【反馈练习】
1.在数列中，，则项数n=_____.
2．数列的前n项和等于______.
3．数列1， ________.
【课后作业】
1数列{}的前n项和______.
2．数列{}的通项公式为则数列{}的前n项和为______.
3. 已知{}的前n项和的值为
4.（2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网