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期末专项04 代数式（八大题型）
题型01 列代数式
题型02 代数式求值问题
题型03 单项式与多项式
题型04 合并同类项
题型05 整式的加减运算（基础）
题型06 整式的化简求值（常考）
题型07 与几何图形有关的整式问题（常考）
题型08 整式加减运算的其他应用
题型01 列代数式
1．（2023秋 莲都区期末）用代数式表示“与的平方的差”正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】与的平方的差可以表示为：，
故选．
2．（2023秋 台州期末）下列选项中的量不能用“”表示的是
A．长为厘米，宽为8厘米的长方形的面积
B．8件单价为元的同款外衣的总价
C．一台每天能生产个零件的机器，工作8天生产的零件总量
D．十位数字为8，个位数字为的两位数
【答案】
【解析】、长方形的面积为，不符合题意；
、外衣的总价的总价为元，不符合题意；
、生产的零件总量为个，不符合题意；
、十位数字为8，个位数字为的两位数为，符合题意；
故选．
3．（2023秋 衢江区期末）1905年清朝学堂的课本中用“”来表示代数式，则“”表示的代数式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
故选．
4．（2023秋 临海市期末）为开展劳动教育，某校想把一块周长为的长方形荒地按如图所示等距外扩，改造成一个长方形劳动基地，并且用栅栏围起来，则需要栅栏
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得，得到的外扩的长方形周长为，
故选．
5．（2023秋 松阳县期末）用代数式表示“的3倍与的差”是 ．
【答案】．
【解析】“的3倍与的差“是．
故答案为：．
6．（2023秋 诸暨市期末）的平方的相反数用代数式表示为 ．
【答案】．
【解析】的平方的相反数用代数式表示为：．
故答案为：．
7．（2023秋 苍南县期末）的一半与的差用代数式可表示为 ．
【答案】．
【解析】根据题意可知．
故答案为：．
8．（2023秋 上城区期末）浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加．如果做成年糕后重量为斤，则原有糯米 斤（用含的代数式表示）．
【答案】．
【解析】原有糯米（斤，
故答案为：．
9．（2023秋 金东区期末）为落实“双减”政策，学校利用课后服务开展了校园读书活动，现需购买甲，乙两种读本共120本，其中甲读本12元本，乙读本15元本，设购买甲读本本，则购买两种读本总费用为 元．（用含的代数式表示）
【答案】．
【解析】由题意可得，
购买两种读本总费用为：
元，
故答案为：．
10．（2023秋 宁波期末）小甬是一个善于发现的好学生，它在求两位数平方的时候发现可以“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图．
现小甬用“列竖式”的方法计算一个两位数平方，部分过程如图3．若这个两位数的十位数字为，则这个两位数为 （用含的代数式表示）．
【解析】设这个两位数个位数字为，
则，
解得，
这个两位数字是，
故答案为：．
11．（2023秋 温州期末）如图1，两个正方形分别由①，②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为，宽为的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则大长方形中未被纸片覆盖部分甲的周长为 （用含，的代数式表示）
【答案】．
【解析】由题题意得，甲部分长方形的长为，
设题图1中小长方形②的宽为，则长为，
根据阴影部分为正方形，得，
解得，
则甲部分的宽为．
甲部分的周长为．
故答案为：．
12．（2023秋 仙居县期末）将形状相同、大小相等的长方形、和形状相同，大小相等的长方形、按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形．
（1）若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽．
（2）当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由．
【解析】（1）由题意可知，长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，
大长方形长为，大长方形的宽为；
（2）拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍，
设长方形的长为，宽为，中间正方形的边长为，则拼成的大长方形长、宽分别为，
由题意得：大长方形的周长为
，
答：拼成的大长方形的周长始终是长方形的周长的2倍．
13．（2023秋 武义县期末）中国书法是中华文化瑰宝，是基础教育的重要内容．东东同学写了一幅五尺单条（长为，宽为书法作品，如图所示进行装裱，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，装裱后的长是装裱后的宽的4倍．已知天头和地头的长之比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的，若设边的宽为厘米．
（1）请用含的代数式表示装裱后的长．
（2）求边宽和天头长．
【解析】（1）设边的宽为厘米，
天头和地头的长之比是，
设天头为 ，则地头为 ，
左右边的宽为：，
装裱后的长为：．
（2）由（1）得：宽为：，
，
整理得，，
，
边的宽为，天头的长为．
14．（2023秋 东阳市期末）在综合实践课上，小聪用张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米．
（1）当时，求的长．
（2）请用的代数式表示的长．
（3）现有图①所示长方形白纸条20张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）
【解析】（1）厘米．
（2）根据题意得：
．
（3）设小聪应分配到张长方形白纸条，则小明应分配到张长方形白纸条，依题意有：
，
解得，
图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张，
没有合适的分配方案．
15．（2023秋 西湖区期末）综合与实践：
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只 1 2 3 4 5 6
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含的代数式表示；
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解析】【数学思考】（1）由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加1.4，
则总高度．
答：用含的代数式表示 为．
（2）由（1）得，当时，．
答：这摞杯子的总高度为．
题型02 代数式求值问题
1．（2023秋 路桥区期末）如果，那么的值为
A． B．1 C． D．5
【答案】
【解析】，
，
故选．
2．（2023秋 嘉兴期末）已知，则代数式的值为
A．21 B．15 C．3 D．
【答案】
【解析】，
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）若代数式的值为，则的值为
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】
【解析】，
故选．
5．（2023秋 舟山期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则值为
A．15 B．19 C．21 D．23
【答案】
【解析】当时，①，
当时，②，
当时，③，
当时，④，
③①得：，即，
④②得：，
，
，
；
故选．
6．（2023秋 嵊州市期末）若，则 40 ．
【答案】40．
【解析】，
原式，
故答案为：40．
7．（2023秋 新昌县期末）根据下表中的数据，求得的值为 3 ．
结果 代数式 2
7 4
【答案】3．
【解析】当时，，即，
解得：，
当时，，即，
，
故答案为：3．
8．（2023秋 慈溪市期末）若已知，则代数式的值为 ．
【答案】．
【解析】由已知条件可得，
则
，
故答案为：．
9．（2023秋 杭州期末）如果，那么的值是 8 ．
【答案】8．
【解析】，
，
，
故答案为8．
10．（2023秋 江北区期末）已知，则代数式的值为 1 ．
【答案】1．
【解析】，
原式，
故答案为：1
11．（2023秋 拱墅区期末）若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，
，
故答案为：．
12．（2023秋 宁波期末）按下面的程序计算：若输入，输出结果是101；若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为181，则开始输入的值可以是 36或7 ．
【解析】由一次计算得到，
，
解得，
由两次计算得到，
，
解得，
由三次计算得到，
，
解得（不符合），
所以，满足条件的的值有36或7．
故答案为：36或7．
题型03 单项式与多项式
1．（2023秋 舟山期末）下列各式不是单项式的是
A．3 B． C． D．
【答案】
【解析】因为式子的分母含有字母，
所以式子不是单项式．
故选．
2．（2023秋 仙居县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是2
C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是2
【答案】
【解析】单项式的系数为，次数为3．
故选．
3．（2023秋 金东区期末）下列说法中正确的是
A．单项式的系数是，次数是1
B．单项式没有系数，次数是4
C．单项式的系数是，次数是4
D．单项式的系数是，次数是1
【答案】
【解析】、单项式的系数是，次数是2．故原选项错误；
、单项式的系数是1，次数是4．故原选项错误；
、单项式的系数是，次数是3．故原选项错误；
、单项式的系数是，次数是1．故原选项正确；
故选．
4．（2023秋 椒江区校级期末）单项式的系数、次数分别是
A．，5次 B．1，5次 C．，4次 D．1，4次
【答案】
【解析】单项式的系数、次数分别是，5次，
故选．
5．（2023秋 鄞州区期末）下列说法正确的是
A．0不是单项式 B．的系数是，次数是3
C．的系数是 D．的系数是0，次数是2
【答案】
【解析】、0是单项式，故本选项说法错误，不符合题意；
、的系数是，次数是3，说法正确，符合题意；
、的系数是，故本选项说法错误，不符合题意；
、的系数是1，次数是3，故本选项说法错误，不符合题意；
故选．
6．（2023秋 莲都区期末）多项式的次数和常数项分别是
A．3，1 B．3， C．5，1 D．5，
【答案】
【解析】多项式中的项为，，，
它们的次数分别为，，0，
那么多项式的次数为3，其中为常数项，
故选．
7．（2023秋 镇海区期末）下列说法正确的是
A．的系数是 B．是五次单项式
C．的常数项是6 D．是三次多项式
【答案】
【解析】．的系数是，故说法正确；
．是四次单项式不是五次单项式，故说法错误；
．的常数项是不是6，故说法错误；
．是四次多项式不是三次多项式，故说法错误．
故选．
8．（2023秋 南浔区期末）关于整式的概念，下列说法正确的是
A．1是单项式 B．的次数是3
C．是五次多项式 D．的系数是
【答案】
【解析】、1是单项式，原说法正确，故此选项符合题意；
、的次数是4，原说法错误，故此选项不符合题意；
、是三次多项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选．
9．（2023秋 杭州期末）单项式的系数是 ．
【答案】．
【解析】单项式的系数是．
故答案为：．
10．（2023秋 桐乡市期末）请写出一个次数为2的单项式： （答案不唯一） ．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
11．（2023秋 义乌市期末）单项式的次数是 3 次．
【答案】3．
【解析】的次数是3．
故答案为：3．
题型04 合并同类项
1．（2023秋 余姚市期末）单项式与是同类项，则的值是
A．4 B． C．6 D．
【答案】
【解析】单项式与是同类项，
，，
，，
．
故选．
2．（2023秋 金东区期末）若与是同类项，则的值为
A． B． C．3 D．4
【答案】
【解析】与是同类项，
，．
．
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）下列判断正确的是
A．与不是同类项 B．的系数是2
C．单项式的次数是5 D．是二次三项式
【答案】
【解析】．与，是同类项，故本选项错误，不符合题意；
．的系数是，故本选项错误，不符合题意；
．单项式的次数是5，故本选项正确，符合题意；
．是六次三项式，故本选项错误，不符合题意；
故选．
4．（2023秋 德清县期末）若单项式与是同类项，则的值是 ．
【答案】．
【解析】单项式与是同类项，
，，
．
故答案为：
5．（2023秋 松阳县期末）若与是同类项，则 9 ．
【答案】9．
【解析】与是同类项，
，，
，
故答案为：9．
6．（2023秋 北仑区期末）已知与是同类项，则 4 ．
【答案】4．
【解析】与是同类项，
，，
．
故答案为：4．
7．（2023秋 杭州期末）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则的值是 25 ．
【答案】25．
【解析】单项式与单项式的和仍是一个单项式，
与是同类项，
，，
，，
．
故答案为：25．
8．（2023秋 宁波期末）若单项式与的和仍是单项式，则 5 ．
【答案】5．
【解析】单项式与的和仍是单项式，
单项式与是同类项，
，，
即，，
，
故答案为：5．
9．（2023秋 玉环市期末）长方形的长为，宽为，则它的周长可表示为 ．
【答案】．
【解析】由题意得：长方形的周长为：
故答案为：．
题型05 整式的加减运算
1．（2023秋 温州期末）去括号：，结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】原式．
故选．
2．（2023秋 宁波期末）化简的结果为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．
故选．
3．（2023秋 桐乡市期末）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】、合并同类项系数相加字母及指数不变，故正确；
、不是同类相不能合并，故错误；
、不是同类相不能合并，故错误；
、合并同类项系数相加字母及指数不变，故错误；
故选．
4．（2023秋 舟山期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故错误；
、与不是同类项，不能合并，故错误；
、，故错误；
、，故正确．
故选．
5．（2023秋 松阳县期末）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，故不符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选．
6．（2023秋 台州期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、与不是同类项，不能合并，不合题意；
、，正确，符合题意；
、与不是同类项，不能合并，不合题意；
、，不合题意；
故选．
7．（2023秋 嘉兴期末）下列计算中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．不能合并同类项，故错误，不符合题意；
．，故错误，不符合题意；
．，故正确，符合题意；
．，故错误，不符合题意．
故选．
8．（2023秋 余姚市期末）下列化简结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，该选项不符合题意；
、，该选项不符合题意；
、，该选项符合题意；
、，该选项不符合题意；
故选．
9．（2023秋 鄞州区期末）下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意．
故选．
10．（2023秋 慈溪市期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
、与不能合并，故不符合题意；
故选．
11．（2023秋 鄞州区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、与不是同类项不能合并，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意．
故选．
12．（2023秋 德清县期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．，故不正确，不符合题意；
．与不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意；
．，正确，符合题意；
．，故不正确，不符合题意；
故选．
13．（2023秋 镇海区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，正确，符合题意；
、，故错误，不符合题意．
故选．
14．（2023秋 路桥区期末）计算： ．
【答案】．
【解析】原式
．
故答案为：．
15．（2023秋 西湖区期末）化简：
（1）；
（2）．
【解析】（1）；
（2）
．
16．（2023秋 金东区期末）化简下列各题：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
题型06 整式的化简求值
1．（2023秋 仙居县期末）若，，则
A．3 B．6 C． D．
【答案】
【解析】，，
，
故选．
2．（2023秋 镇海区期末）先化简，再求值：，其中，．
【解析】，
．
当，时，
原式
．
3．（2023秋 台州期末）先化简，再求值：，其中，．
【解析】
，
当，时，原式．
4．（2023秋 路桥区期末）先化简，再求值：，其中．
【解析】原式
，
，
原式
．
5．（2023秋 诸暨市期末）先化简，再求值：，其中、满足．
【解析】原式
；
，
，，
，，
原式．
6．（2023秋 武义县期末）如表是一道习题及其解答过程的一部分．请写出，并将该习题的解答过程补充完整．
先化简再求值：，其中． 解：原式
【解析】，
，
，
原式
；
当时，
原式
．
7．（2023秋 衢江区期末）化简并求值：，其中，．
【解析】原式
；
当，时，原式．
8．（2023秋 宁波期末）先化简，再求值：
已知，，，求：的值，其中．
【解析】，，，
，
当时，原式．
9．（2023秋 温州期末）先化简：，再写出一组，的值，使得代入计算后的结果等于6．
【解析】
．
计算后的结果等于6，
．
，．（答案不唯一）．
10．（2023秋 北仑区期末）先化简，再求值：，其中．
【解析】原式
；
当，时，
原式．
11．（2023秋 杭州期末）设，．
（1）化简：；
（2）若是8的立方根，求的值．
【解析】（1），，
；
（2）是8的立方根，
，
．
12．（2023秋 慈溪市期末）已知，．
（1）求；
（2）当为最大的负整数时，求的值．
【解析】（1），，
，
．
（2）为最大的负整数，
，
．
13．（2023秋 椒江区校级期末）设，．
（1）求；
（2）若，且，求的值．
【解析】（1），，
；
（2），
，，
又，
，
．
14．（2023秋 德清县期末）已知，．
（1）求；
（2）若的算术平方根是它的本身，求的值．
【解析】（1）
；
（2）由题意得：或1，
当时，；
当时，．
15．（2023秋 东阳市期末）求值：
（1），其中，；
（2）已知，，求的值．
【解析】（1）
；
，
原式；
（2）
．
16．（2023秋 金东区期末）已知，；
（1）当，时，求的值．
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【解析】（1），
；
把，代入，
得；
（2）
，
的值与的值无关，
．
17．（2023秋 松阳县期末）已知，．
（1）当，时，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，且是整数时，求整数的值．
【解析】（1）当，时，
；
（2）
，
，
原式；
（3），
，
，
，
，
为整数，
或，
又为整数，
或．
18．（2023秋 上城区期末）先化简后求值：
（1），其中；
（2），其中．
【解析】（1）
，
当时，
原式
；
（2）
，
当时，
原式
．
19．（2023秋 东阳市期末）先化简，再求值．
（1），其中．
（2），其中，．
【解析】（1）
，
当时，原式
；
（2）
，
当，时，原式
．
20．（2022秋 拱墅区校级期末）已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值．
（3）若的值与的取值无关，求的值．
【解析】（1），，
；
（2）当，时，
；
（3）
，
的值与的取值无关，
，
解得．
题型07 与几何图形有关的整式问题
1．（2023秋 嵊州市期末）如图，某长方形花园的长为米，宽为米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加米，宽增加米，则整改后该花园的周长为
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】整改后的花园周长为：
米，
故选．
2．（2023秋 杭州期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为2，则图甲和图乙中阴影部分周长之差为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解析】由图乙可知，长方体盒子底部的长为，则长方体盒子底部的宽为，
图甲中阴影部分的周长为：，
图乙中阴影部分的周长为：，
图甲和图乙中阴影部分周长之差为：．
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）已知两个完全相同的大长方形，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①，图②，若要求出图①与图②中阴影部分周长的差，则下列说法错误的是
A．只需知道图①中的长 B．只需知道图①中的长
C．只需知道图①中的长 D．只需知道图①中的长
【答案】
【解析】设图中小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为，大长方形的长为，
根据题意，得：、，
则，
，
图（1）中阴影部分周长为，图（2）中阴影部分的周长为，
图（1）阴影部分周长与图（2）阴影部分周长之差为：，
即图①与图②中阴影部分周长的差．
故选．
4．（2023秋 北仑区期末）如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
【答案】
【解析】如图，设正方形纸片①②③④的边长分别为、、、，
右上角阴影部分的周长为：，
左下角阴影部分的周长为：，
两块阴影部分的周长之差
，
要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道编号为②正方形的边长，
故选．
5．（2023秋 宁波期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】
【解析】由题意得，
，，，
①和④两个长方形的周长之和为：
，
只要知道下列线段的长度即可，
故选．
6．（2023秋 余姚市期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边上即可，则要知道的那个正方形编号是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【解析】设正方形纸片①②③④的边长为、、、，则：
左上角阴影部分的周长为：，
右下角阴影部分的周长为：”
两部分阴影周长值差为：
，
要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可，
故选．
7．（2023秋 苍南县期末）如图，一个正方形和两个相同的小长方形按图甲、图乙、图丙三种方式摆放，得到图甲和图乙的周长（实线部分）分别为13与16，则图丙的周长（实线部分）为
A．15 B．14.5 C．14 D．13.5
【答案】
【解析】设正方形的边长为，小长方形的长为，宽为，
则图甲的周长可表示为：，
所以①；
图乙的周长可表示为：，
所以②；
图丙的周长可表示为：．
将①②两式相加再除以2得，
，
即，
所以图丙的周长为14.5．
故选．
8．（2023秋 镇海区期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和
A． B． C． D．
【答案】
【解析】图中阴影部分的周长
，，
，
图中阴影部分的周长，
，
，
图中阴影部分的周长，
，，
，
，
，
图中阴影部分的周长，
故选．
9．（2023秋 嘉兴期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且．若，，则正方形①的边长为 ．
【答案】．
【解析】设，正方形①边长为，正方形②边长为，
，
则图（1）中阴影部分的周长和为
，
，
图（2）中阴影部分的周长和为
，
，
，
，
解得：，
则正方形①的边长为，
故答案为：．
题型08 整式加减运算的其他应用
1．（2023秋 上城区期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数” 的个位数字是，十位数字是，则 （用含、的代数式表示）．
【解析】，对调个位数字与十位数字得到新两位数15，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以；
，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．
故答案为：；．
2．（2023秋 西湖区期末）小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务．
任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果；
任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果．
【解析】任务1：选出1，，2，
；
任务2：选出1，，，
．
3．（2023秋 台州期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．
证明：
显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．
【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
【解析】（1）证明：
；
显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．
故答案为：，，；
（2）证明：
，
能被9整除，
若可以被9整除，则能被9整除．
4．（2023秋 婺城区期末）、、、四个车站的位置如图所示，车站距车站、的距离分别为、，车站与车站的距离为．其中，是不为0的实数．
（1）求、两站之间的距离（用含、的代数式表示）．
（2）若、两个车站之间的距离比、两个车站之间的距离长，求出、两个车站相距多少？
【解析】（1）．
、两站的距离为．
（2）由题意，得，
，
即．
答：、两个车站之间的距离是．
5．（2023秋 椒江区校级期末）对任意一个三位正整数，如果的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“神奇数”．例如：，因为，所以311是“神奇数”．例如：，因为，所以514不是“神奇数”．
（1）判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由；
（2）若是“神奇数”，且与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数” ．
【解析】（1），所以917是“神奇数”
，所以642不是“神奇数”．
（2）设的百位数字，十位数字，个位数字为，，，
则．
是“神奇数”，
．
把代入得：
．
与13的和能被11整除．
能被11整除．
能被11整除．
由此可知，当时，，，或，，则或933．
当时，，，，不符合题意，舍去．
“神奇数“为614或933．
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期末专项04 代数式（八大题型）
题型01 列代数式
题型02 代数式求值问题
题型03 单项式与多项式
题型04 合并同类项
题型05 整式的加减运算（基础）
题型06 整式的化简求值（常考）
题型07 与几何图形有关的整式问题（常考）
题型08 整式加减运算的其他应用
题型01 列代数式
1．（2023秋 莲都区期末）用代数式表示“与的平方的差”正确的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 台州期末）下列选项中的量不能用“”表示的是
A．长为厘米，宽为8厘米的长方形的面积
B．8件单价为元的同款外衣的总价
C．一台每天能生产个零件的机器，工作8天生产的零件总量
D．十位数字为8，个位数字为的两位数
3．（2023秋 衢江区期末）1905年清朝学堂的课本中用“”来表示代数式，则“”表示的代数式为
A． B． C． D．
4．（2023秋 临海市期末）为开展劳动教育，某校想把一块周长为的长方形荒地按如图所示等距外扩，改造成一个长方形劳动基地，并且用栅栏围起来，则需要栅栏
A． B． C． D．
5．（2023秋 松阳县期末）用代数式表示“的3倍与的差”是 ．
6．（2023秋 诸暨市期末）的平方的相反数用代数式表示为 ．
7．（2023秋 苍南县期末）的一半与的差用代数式可表示为 ．
8．（2023秋 上城区期末）浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加．如果做成年糕后重量为斤，则原有糯米 斤（用含的代数式表示）．
9．（2023秋 金东区期末）为落实“双减”政策，学校利用课后服务开展了校园读书活动，现需购买甲，乙两种读本共120本，其中甲读本12元本，乙读本15元本，设购买甲读本本，则购买两种读本总费用为 元．（用含的代数式表示）
10．（2023秋 宁波期末）小甬是一个善于发现的好学生，它在求两位数平方的时候发现可以“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图．
现小甬用“列竖式”的方法计算一个两位数平方，部分过程如图3．若这个两位数的十位数字为，则这个两位数为 （用含的代数式表示）．
11．（2023秋 温州期末）如图1，两个正方形分别由①，②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为，宽为的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则大长方形中未被纸片覆盖部分甲的周长为 （用含，的代数式表示）
12．（2023秋 仙居县期末）将形状相同、大小相等的长方形、和形状相同，大小相等的长方形、按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形．
（1）若长方形的长为3，宽为1，设中间正方形的边长为，用含的式子表示拼成的大长方形的长和宽．
（2）当长方形的周长变化时，请写出拼成的大长方形的周长与长方形的周长的关系，并说明理由．
13．（2023秋 武义县期末）中国书法是中华文化瑰宝，是基础教育的重要内容．东东同学写了一幅五尺单条（长为，宽为书法作品，如图所示进行装裱，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，装裱后的长是装裱后的宽的4倍．已知天头和地头的长之比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的，若设边的宽为厘米．
（1）请用含的代数式表示装裱后的长．
（2）求边宽和天头长．
14．（2023秋 东阳市期末）在综合实践课上，小聪用张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米．
（1）当时，求的长．
（2）请用的代数式表示的长．
（3）现有图①所示长方形白纸条20张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）
15．（2023秋 西湖区期末）综合与实践：
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只 1 2 3 4 5 6
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含的代数式表示；
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
题型02 代数式求值问题
1．（2023秋 路桥区期末）如果，那么的值为
A． B．1 C． D．5
2．（2023秋 嘉兴期末）已知，则代数式的值为
A．21 B．15 C．3 D．
3．（2023秋 东阳市期末）若代数式的值为，则的值为
A．3 B．5 C．9 D．11
5．（2023秋 舟山期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则值为
A．15 B．19 C．21 D．23
6．（2023秋 嵊州市期末）若，则 ．
7．（2023秋 新昌县期末）根据下表中的数据，求得的值为 ．
结果 代数式 2
7 4
8．（2023秋 慈溪市期末）若已知，则代数式的值为 ．
9．（2023秋 杭州期末）如果，那么的值是 ．
10．（2023秋 江北区期末）已知，则代数式的值为 ．
11．（2023秋 拱墅区期末）若，，则 ．
12．（2023秋 宁波期末）按下面的程序计算：若输入，输出结果是101；若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为181，则开始输入的值可以是 ．
题型03 单项式与多项式
1．（2023秋 舟山期末）下列各式不是单项式的是
A．3 B． C． D．
2．（2023秋 仙居县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是2
C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是2
3．（2023秋 金东区期末）下列说法中正确的是
A．单项式的系数是，次数是1
B．单项式没有系数，次数是4
C．单项式的系数是，次数是4
D．单项式的系数是，次数是1
4．（2023秋 椒江区校级期末）单项式的系数、次数分别是
A．，5次 B．1，5次 C．，4次 D．1，4次
5．（2023秋 鄞州区期末）下列说法正确的是
A．0不是单项式 B．的系数是，次数是3
C．的系数是 D．的系数是0，次数是2
6．（2023秋 莲都区期末）多项式的次数和常数项分别是
A．3，1 B．3， C．5，1 D．5，
7．（2023秋 镇海区期末）下列说法正确的是
A．的系数是 B．是五次单项式
C．的常数项是6 D．是三次多项式
8．（2023秋 南浔区期末）关于整式的概念，下列说法正确的是
A．1是单项式 B．的次数是3
C．是五次多项式 D．的系数是
9．（2023秋 杭州期末）单项式的系数是 ．
10．（2023秋 桐乡市期末）请写出一个次数为2的单项式： ．
11．（2023秋 义乌市期末）单项式的次数是 次．
题型04 合并同类项
1．（2023秋 余姚市期末）单项式与是同类项，则的值是
A．4 B． C．6 D．
2．（2023秋 金东区期末）若与是同类项，则的值为
A． B． C．3 D．4
3．（2023秋 东阳市期末）下列判断正确的是
A．与不是同类项 B．的系数是2
C．单项式的次数是5 D．是二次三项式
4．（2023秋 德清县期末）若单项式与是同类项，则的值是 ．
5．（2023秋 松阳县期末）若与是同类项，则 ．
6．（2023秋 北仑区期末）已知与是同类项，则 ．
7．（2023秋 杭州期末）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则的值是 ．
8．（2023秋 宁波期末）若单项式与的和仍是单项式，则 ．
9．（2023秋 玉环市期末）长方形的长为，宽为，则它的周长可表示为 ．
题型05 整式的加减运算
1．（2023秋 温州期末）去括号：，结果正确的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 宁波期末）化简的结果为
A． B． C． D．
3．（2023秋 桐乡市期末）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
4．（2023秋 舟山期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
5．（2023秋 松阳县期末）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（2023秋 台州期末）下列各式中，运算正确的是
A． B． C． D．
7．（2023秋 嘉兴期末）下列计算中正确的是
A． B．
C． D．
8．（2023秋 余姚市期末）下列化简结果正确的是
A． B． C． D．
9．（2023秋 鄞州区期末）下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
10．（2023秋 慈溪市期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
11．（2023秋 鄞州区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
12．（2023秋 德清县期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
13．（2023秋 镇海区期末）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
14．（2023秋 路桥区期末）计算： ．
15．（2023秋 西湖区期末）化简：
（1）；
（2）．
16．（2023秋 金东区期末）化简下列各题：
（1）；
（2）．
题型06 整式的化简求值
1．（2023秋 仙居县期末）若，，则
A．3 B．6 C． D．
2．（2023秋 镇海区期末）先化简，再求值：，其中，．
3．（2023秋 台州期末）先化简，再求值：，其中，．
4．（2023秋 路桥区期末）先化简，再求值：，其中．
5．（2023秋 诸暨市期末）先化简，再求值：，其中、满足．
6．（2023秋 武义县期末）如表是一道习题及其解答过程的一部分．请写出，并将该习题的解答过程补充完整．
先化简再求值：，其中． 解：原式
7．（2023秋 衢江区期末）化简并求值：，其中，．
8．（2023秋 宁波期末）先化简，再求值：
已知，，，求：的值，其中．
9．（2023秋 温州期末）先化简：，再写出一组，的值，使得代入计算后的结果等于6．
10．（2023秋 北仑区期末）先化简，再求值：，其中．
11．（2023秋 杭州期末）设，．
（1）化简：；
（2）若是8的立方根，求的值．
12．（2023秋 慈溪市期末）已知，．
（1）求；
（2）当为最大的负整数时，求的值．
13．（2023秋 椒江区校级期末）设，．
（1）求；
（2）若，且，求的值．
14．（2023秋 德清县期末）已知，．
（1）求；
（2）若的算术平方根是它的本身，求的值．
15．（2023秋 东阳市期末）求值：
（1），其中，；
（2）已知，，求的值．
16．（2023秋 金东区期末）已知，；
（1）当，时，求的值．
（2）若的值与的取值无关，求的值．
17．（2023秋 松阳县期末）已知，．
（1）当，时，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，且是整数时，求整数的值．
18．（2023秋 上城区期末）先化简后求值：
（1），其中；
（2），其中．
19．（2023秋 东阳市期末）先化简，再求值．
（1），其中．
（2），其中，．
20．（2022秋 拱墅区校级期末）已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值．
（3）若的值与的取值无关，求的值．
题型07 与几何图形有关的整式问题
1．（2023秋 嵊州市期末）如图，某长方形花园的长为米，宽为米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加米，宽增加米，则整改后该花园的周长为
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023秋 杭州期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为2，则图甲和图乙中阴影部分周长之差为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023秋 东阳市期末）已知两个完全相同的大长方形，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①，图②，若要求出图①与图②中阴影部分周长的差，则下列说法错误的是
A．只需知道图①中的长 B．只需知道图①中的长
C．只需知道图①中的长 D．只需知道图①中的长
4．（2023秋 北仑区期末）如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
5．（2023秋 宁波期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
6．（2023秋 余姚市期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边上即可，则要知道的那个正方形编号是
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023秋 苍南县期末）如图，一个正方形和两个相同的小长方形按图甲、图乙、图丙三种方式摆放，得到图甲和图乙的周长（实线部分）分别为13与16，则图丙的周长（实线部分）为
A．15 B．14.5 C．14 D．13.5
8．（2023秋 镇海区期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和
A． B． C． D．
9．（2023秋 嘉兴期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且．若，，则正方形①的边长为 ．
题型08 整式加减运算的其他应用
1．（2023秋 上城区期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数” 的个位数字是，十位数字是，则 （用含、的代数式表示）．
2．（2023秋 西湖区期末）小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务．
任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果；
任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果．
3．（2023秋 台州期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．
证明：
显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．
【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．
4．（2023秋 婺城区期末）、、、四个车站的位置如图所示，车站距车站、的距离分别为、，车站与车站的距离为．其中，是不为0的实数．
（1）求、两站之间的距离（用含、的代数式表示）．
（2）若、两个车站之间的距离比、两个车站之间的距离长，求出、两个车站相距多少？
5．（2023秋 椒江区校级期末）对任意一个三位正整数，如果的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“神奇数”．例如：，因为，所以311是“神奇数”．例如：，因为，所以514不是“神奇数”．
（1）判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由；
（2）若是“神奇数”，且与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数” ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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