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期末专项06 一元一次方程的实际应用（十大题型）
题型01 与数学文化有关的实际应用问题
题型02 与路程有关的实际应用问题
题型03 与分配有关的实际应用问题
题型04 与工程有关的实际应用问题
题型05 与几何有关的实际应用问题
题型06 与幻方或者图表有关的实际应用问题
题型07 与销售利润有关的实际应用问题
题型08 与阶梯费用有关的实际应用问题
题型09 与数轴上动点有关的实际应用问题
题型10 与赛事以及其他问题有关的实际应用问题
题型01 与数学文化有关的实际应用问题
1．（2023秋 椒江区校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设乙出发日，甲乙相逢，则甲出发日，故可列方程为：
．
故选．
2．（2023秋 台州期末）我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”若设有个人，则可列方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设有个人，则可列方程：．
故选．
3．（2023秋 越城区校级期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？
A． B．5.5 C．6.5 D．11
【答案】
【解析】设长木有尺，由题意，得：，
解得：；
答：长木有6.5尺；
故选．
4．（2023秋 北仑区期末）我国明代数学读本《算法统综》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
．
故选．
5．（2023秋 鄞州区期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有间客房，则所列方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设该店有间客房，则所列方程为：
．
故选．
6．（2023秋 杭州期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驾马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意得：，
故选．
7．（2022秋 拱墅区校级期末）程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有人，依题意列方程得
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】大、小和尚共100人，且大和尚有人，
小和尚有人．
根据题意得：．
故选．
8．（2023秋 舟山期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设长木长为尺，
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
绳子长为尺，
绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为：．
故选．
9．（2023秋 娄星区期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选．
10．（2023秋 江陵县期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设绳索长尺，则竿长尺，
依题意，得：．
故选．
11．（2023秋 桐乡市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设经过天相遇，根据题意得：
．
故选．
题型02 与路程有关的实际应用问题
1．（2023秋 东阳市期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多10分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】放学路上比上学所花的时间多10分钟，上学路上所花的时间为小时，
放学路上所花的时间为小时．
根据题意得：．
故选．
2．（2023秋 西湖区期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多6分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】放学路上比上学所花的时间多6分钟，上学路上所花的时间为小时，
放学路上所花的时间为小时．
根据题意得：．
故选．
3．（2023秋 武义县期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息（如图）．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米小时．
（1）汽车原来的速度是 45 千米小时．
（2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是 分钟．
【答案】（1）45；15．
【解析】设看到的里程数的十位数字为，则个位数字为，
由题意得：，
解得：，
，
汽车的速度为：（千米小时）；
故答案为：45；
（2）设观光汽车的速度为每分钟米，
由题意得：东东自家汽车的速度为千米小时，
36千米小时米分钟，
，
解得：米分钟，
观光车从站点开出的间隔时间是分钟；
故答案为：15．
4．（2023秋 金东区期末）随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从，两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，，相距45米．
（1）甲、乙两个机器人的速度分别是多少？
（2）从，两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？
【解析】（1）出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，，相距45米．
（米分）；
设甲速度为米分，
则，
解得，
答：甲机器人速度是6米分，乙机器人速度是9米分；
（2）设经过分钟后两个机器人相距6米，
则相遇前相距6米，有，
解得；
则相遇后相距6米，有，
解得；
综上：经过分钟或分钟后两个机器人相距6米．
5．（2023秋 椒江区校级期末）甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米时，乙队步行速度为6千米时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米时．
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？
【解析】（1）设乙队追上甲队需要小时，
根据题意得：，
解得：．
答：乙队追上甲队需要2小时．
（2）设联络员追上甲队需要小时，
，
，
设联络员从甲队返回乙队需要小时，
，
解得，
联络员跑步的总路程为
答：他跑步的总路程是千米．
（3）要分三种情况讨论：
设小时两队间间隔的路程为1千米，则
①当甲队出发不到，乙队还未出发时，甲队与乙队相距．
由题意得，解得．
②当甲队出发1小时后，相遇前与乙队相距1千米，
由题意得：，
解得：．
③当甲队出发1小时后，相遇后与乙队相距1千米，
由题意得：，
解得：．
答：0.25小时或2.5小时或3.5小时两队间间隔的路程为1千米．
6．（2023秋 仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间
驶出时间
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为．
（2）一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站．
①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾．
②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）．
【解析】（1）客运列车的行驶速度；
临海南到仙居南铁路公里数：；
仙居南到磐安南铁路公里数：；
磐安南到壶镇铁路公里数：；
标注在示意图中
（2）货运列车速度．客运列车的行驶速度．
①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故．
由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发．
临海南至永康南：铁路总里程为．
货运列车用时为，
客运列车行驶时间为．三站停车总时长．
，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾．
验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为分钟．
根据题意可知：，
解得：，
追尾点与临海南站的距离为；
②临海南至永康南铁路总行程为．因，
所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾．为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过．
停仙居南站：货车用时为分钟，客车用时为分钟，货车等待时间：分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟．
停磐安南站：分钟，分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟．
停壶镇站：分钟，分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟．
综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟．
7．（2023秋 临海市期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：
第1次从起点出发以的速度运动到记录点；第2次从出发以的速度运动到记录点；第3次从出发以的速度运动到记录点；第4次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．
（1）当时，到起点的距离为 12 ；
（2）若机器人的运动速度不超过．
①的最大值为： ．
②当点到起点的距离为时，求的值；
③记录点能恰好为终点吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【解析】（1）当时，
第1次从起点出发运动到记录点的距离为，
第2次从出发运动到记录点的距离为，
到起点的距离为，
故答案为：12；
（2）①第4次从出发以的速度运动到记录点，机器人的运动速度不超过，
的最大值为：2，
故答案为：2；
②当机器人到达未到终点时，有，
解得：，
当机器人到终点并返回到时，有，
解得：，
或；
③若恰好为终点，，
解得，舍去，
若恰好为终点，，
解得，舍去，
若恰好为终点，，
解得，
或，
解得，舍去，
若恰好为终点，，
解得，
或，
解得，
或，
解得，舍去，
综上所述，记录点恰好为终点时，的值为或或．
题型03 与分配有关的实际应用问题
1．（2023秋 慈溪市期末）学校参加研学活动，某班级乘游览车参观湿地公园，若5个人乘一辆车，则空1辆车；若4个人乘一辆车，则有2个人要步行．设该班级共有个人，则可列方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】依题意得．
故选．
2．（2023秋 义乌市期末）已知某小组同学想分若干盒糖果，且每盒中的糖果数量相同．若拆开其中3盒，每人分5颗，则还剩下1颗；若拆开其中4盒，每人分7颗，则有位同学少1颗．请问：这个小组有几名同学？假设这个小组有名同学，那么下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】假设这个小组有名同学，则：
根据“每人分5颗，则还剩下1颗”得到糖果数为颗；
根据“每人分7颗，则有位同学少1颗”得到糖果数为颗；
因为每盒中的糖果数量相同，
所以．
所以．
故选．
3．（2023秋 德清县期末）某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗棵，则根据题意列出方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设原有树苗棵，
每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；则总长度为，
每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．则总长度为，
由题意得：．
故选．
4．（2023秋 温州期末）学校组织义务劳动，已知在甲处有10人，在乙处有16人，现调19人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处人，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设应调往甲处人，则调往乙处人，
根据题意得：．
故选．
5．（2023秋 上城区期末）某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？
【解析】设调往羽毛球赛场的有人，
则：，
解得：，
，
答：往羽毛球赛场的有8人，往乒乓球赛场的有2人．
6．（2023秋 镇海区期末）2023年11月，全国各地爆发了呼吸道感染和流感疫情，各地疾病预防控制中心呼吁加强个人防护，戴口罩，勤洗手，多通风．为做好防控工作，镇海区某学校采购了一批抑菌洗手液发放给各班，若每班分3瓶，则剩下16瓶；若每班分4瓶，则还缺20瓶．
（1）求这所学校一共有多少个班级？
（2）请你设计一种分配方案，要求整瓶发放，全部发完，并且班级与班级之间分到的数量尽可能接近．
【解析】（1）设这所学校一共有个班级，
根据题意得：，
解得，
这所学校一共有36个班级；
（2）由（1）知，抑菌洗手液一共（瓶；
由可知，20个班每班发3瓶抑菌洗手液，16个班每班发4瓶抑菌洗手液满足题意．
7．（2022秋 拱墅区校级期末）某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有120人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的2倍．
（1）求树苗保障组的人数；
（2）已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有人．
①用含的代数式表示种植组在乙处的人数；
②若，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数是乙处种植人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？
【解析】（1）设树苗保障组有人，则种植组有人，
，解得．
答：树苗保障组的人数为40人．
（2）①由（1）知，种植组的人数是（人，
种植组在乙处的人数为人．
②当时，种植组在乙处的人数为．
设应调往甲处人，则应调往乙处人．
由题意，得，解得，
．
答：应调往甲处34人，乙处6人．
8．（2023秋 江北区期末）七年级师生计划冬游观景．若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可少租一辆，也正好坐满．
（1）求参加冬游观景的师生总人数？
（2）景区门票的购买与客车的租赁联手促销：50座的客车租赁费用为1600元辆，门票原价20元位打6折优惠；60座的客车租赁费用为2500元辆，且免门票．请问单独租用哪种客车更划算？为什么？
【解析】（1）设单独租用50座客车辆，则单独租用60座客车辆，
根据题意得：，
解得：，
（人．
答：参加冬游观景的师生有300人；
（2）单独租用60座客车更加划算，理由如下：
单独租用50座客车所需费用为（元
单独租用60座客车所需费用为（元．
，
单独租用60座客车更加划算．
题型04 与工程有关的实际应用问题
1．（2023秋 玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为，
甲一共工作了天，乙一共工作了天，
故可列方程，
故选．
2．（2023秋 温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
【解析】【逐步挑战】
思考1（特值分析）：甲完成的时间为：（天，
分配给丙工厂的数量为：（件，
乙完成的时间为：（天，
丙完成的时间为：（天，
该公司完成60件产品的最短工期为180天．
思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品件，则乙工厂为件．
由题意，得，
解得，
则．
此时公司分配给甲，乙工厂的产品数量分别为36件，24件，工期为144天；
思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有件，则甲为件，乙为件．
甲完成的时间为：（天，
乙完成的时间为：天，
丙完成的时间为：天，
，
当甲，乙同时完成时，工期最短，
则，
解得，
为整数，
当时，即甲比同时完成时多分配了，
完成时间为（天；
当时，即乙比同时完成时多分配了，
完成时间为（天，
，
当时，工期最短，为112天，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件．
【直接挑战思考3】
思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有件，则甲为件，乙为件．
甲完成的时间为：（天，
乙完成的时间为：天，
丙完成的时间为：天，
，
当甲，乙同时完成时，工期最短，
则，
解得，
为整数，
当时，即甲比同时完成时多分配了，
完成时间为（天；
当时，即乙比同时完成时多分配了，
完成时间为（天，
，
当时，工期最短，为112天，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件．
题型05 与几何有关的实际应用问题
1．（2023秋 衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，设雕塑的底面边长为 ，则有
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由图可得，
，
故选．
2．（2023秋 松阳县期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由图可知，右边8个杯子叠放高度比左边3个杯子高，
杯子叠放后每个杯子漏出来部分的高度为，则一个杯子高度为，
把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为，
故选．
3．（2023秋 温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起，露出水面部分高度为，保持甲玻璃棒离容器底部不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设两个玻璃棒底面积为，容器的底面积为，玻璃棒高为，乙露出水面部分高度为 ，
依题意得：，
解得．
再将乙玻璃棒竖直向上提起，则，
解得，
故乙玻璃棒露出水面部分高度为．
故选．
4．（2023秋 路桥区期末）1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形，其中最小正方形的边长是1，则标注的正方形的边长为
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】在图中标注各正方形，如图所示．
设标注的正方形的边长为，则标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为，标注的正方形的边长为或11，
根据题意得：，
解得：．
故选．
5．（2023秋 新昌县期末）长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”，如图，在一个大灵动长方形中剪下两个灵动长方形，分别是长方形和长方形，若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形的面积为 12 ．
【答案】12．
【解析】设，，
，，，，
，，，
，
设，则长方形和长方形的周长之和为，，
根据题意得，
解得，
，
，
解得，
，
大灵动长方形的面积为12，
故答案为：12．
6．（2023秋 慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为 31.5 ．
【答案】31.5．
【解析】设天头长为 ，则地头长为 ，边宽为，
装裱后的周长与装裱前的周长比为，
，
解得，
，
天头长为；
故答案为：31.5．
7．（2023秋 新昌县期末）如图，一个长方体玻璃容器的内底面长为，宽为，高为，容器内水的高度为，现把一块边长为的立方体金属块放入水中，问容器内的水将升高多少厘米？
【解析】设容器内的水将升高 ，
根据题意得：，
，
解得．
答：容器内的水将升高．
8．（2023秋 杭州期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？
【解析】设竹竿有米，则竹竿入泥部分为米．
淤泥以上的入水部分为米．
由题意可得：，
解得，
则，
答：竹竿有3米，则水深为米．
8．（2023秋 苍南县期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图1所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为 ．
（1）用含的代数式分别表示天头长和地头长．
（2）现要装裱一副五言联，该五言联的长为，宽为，如图2所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的4倍．求五言联装裱预留的天头长．
（3）如图3，徐老师裁出两张长方形纸张准备写一副七言联，每张正好划出7个正方形方格，正方形方格的边长为 ．若装裱用的卷轴长为，正方形方格的边长比装裱后的边宽大，且两者长度均为整数，求徐老师裁剪的长方形纸张的长．
【解析】（1）左、右边的边宽为 ，且为天头长与地头长的和的，
天头长与地头长的和为 ，
天头长与地头长的比是，
天头长为，地头长为；
（2）根据题意，装裱五言联用的卷轴的长为，宽为，
卷轴的长是宽的4倍，
，
解得，
，
五言联装裱预留的天头长；
（3）装裱用的卷轴长为，
，
，
，与都是正整数，
，；
，
徐老师裁剪的长方形纸张的长为．
题型06 与幻方或者图表有关的实际应用问题
1．（2023秋 江北区期末）如图，在一个三阶幻方中，若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为 4 ．
0
【答案】4．
【解析】设第二行第一列的数为，如图所示．
根据题意得：，
解得：，
这个幻方中的值为4．
故答案为：4．
2．（2023秋 西湖区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《易经》中记载了最早的幻方——九宫图．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则的值是 6 ．
8
【答案】6．
【解析】将幻方中的数据补充完整，如图所示．
根据题意得：，
解得：．
故答案为：6．
3．（2023秋 台州期末）下面表格中有12个方格，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是6，则的值为 0 ．
1
【答案】0．
【解析】
1
由题意，得：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：0．
4．（2023秋 德清县期末）如图是2024年2月份的月历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字 “型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为．
（1）分别用，的代数式表示和；
（2）结合月历，若，则的最大值为多少？
【解析】（1），
．
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
当最大时也取得最大值，
由月历图知，的最大值为20，
所以的最大值为219．
题型07 与销售利润有关的实际应用问题
1．（2023秋 路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为，则该商品应打
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】
【解析】设该商品打折销售，
根据题意得：，
解得：，
该商品打8折销售．
故选．
2．（2023秋 南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得的利润，则这件羽绒衣的标价是 900 元．
【答案】900．
【解析】设这件衬衫的标价是元，
依题意得：，
解得：．
故答案为：900．
3．（2023秋 镇海区期末）甲，乙两家水果店以相同的进价购买相同多苹果，标价都为进价的2倍，随后按照各自方式进行促销售卖．甲店按照标价买2斤送1斤斤打包售卖），乙店按照标价的6折售卖．若两家店都以促销方式刚好卖完且他们的利润相差了200元，则每家店购买这批苹果花了 1500 元．
【答案】1500．
【解析】设每家店购买这批苹果花了元，进货单价为元，则进货数量为斤，
甲店获利为，
乙店获利为，
，
解得：，
故答案为：1500．
4．（2023秋 仙居县期末）体育用品专卖店销售某款跳绳，原价5元一根，元旦期间八折优惠，学校用同样多的钱要比打折前多买了10根跳绳，问：学校在元旦期间购买了多少根跳绳？
【解析】设学校在元旦期间购买了根跳绳，由题意得，
，
解得：，
答：学校在元旦期间购买了50根跳绳．
5．（2023秋 嵊州市期末）根据下面柔柔和小齐的对话，请计算小齐买平板电脑的预算．
柔柔：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 柔柔：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
【解析】设小齐买平板电脑的预算是元，则原售价为元，现售价为元，
根据题意知， ，
解得，
小齐买平板电脑的预算是4000元．
6．（2023秋 松阳县期末）2023年9月23日第十九届亚运会在浙江杭州隆重举行，吉祥物莲莲深受大家喜爱，某商店出售非立体的型莲莲钥匙扣和立体的型莲莲钥匙扣，已知型的比型的每个贵10元，售出8个型和2个型共得620元．
（1）求每个型莲莲钥匙扣的售价；
（2）团购25个型莲莲钥匙和15个型莲莲钥匙扣共需多少元钱？
【解析】（1）设每个型莲莲钥匙扣的售价为元，
根据题意得，
解得，
答：每个型莲莲钥匙扣的售价为60元．
（2）根据题意得（元，
答：团购25个型莲莲钥匙和15个型莲莲钥匙扣共需2145元．
7．（2023秋 东阳市期末）列方程解应用题．
欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利售价进价）．
甲 乙
进价（元件） 20 30
售价（元件） 25 40
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【解析】（1）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得，
解得，
，
答：该商场购进甲种商品100件、乙两种商品40件．
（2）（元，
答：该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润900元．
8．（2023秋 西湖区期末）某商店用70000元的资金购进，两种商品共600件．
类型 进价（元件） 标价（元件）
150 220
100 150
（1）求商品购进的数量；
（2）商店为了促销，决定推出优惠活动，商品在标价的基础上打8折，商品在标价的基础上打9折．当600件商品销售完时，求商店获得的总利润．（总利润总售价总进价）
【解析】（1）设商品购进的数量是件，则商品购进的数量是件，
根据题意得，
解得，
答：商品购进的数量是200件．
（2）（件，
商品购进的数量是400件，
（元，
答：商店获得的总利润是19200元．
9．（2023秋 桐乡市期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元件） 40 60
售价（元件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【解析】（1）设第一次购进乙商品件，则购进甲商品件，
由题意，得，
解得，
则甲商品件数为（件，
答：第一次购进甲商品150件，乙商品75件；
（2）设第二次乙商品按原价打折销售，
由题意，得，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打8折销售．
10．（2023秋 南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有、、三种型号的灯笼，已知种灯笼的单价比种灯笼的单价多9元，种灯笼单价20元盏．
（1）学校决定购买种灯笼30盏，种灯笼40盏，且购买、两种灯笼的费用相同，请问、两种灯笼的单价分别是多少？
（2）商家节日期间为了促销，种灯笼每盏降价6元，种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在、灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买种灯笼．问种灯笼可以购买多少盏？
【解析】（1）设种灯笼的单价为元，则种灯笼的单价为元，根据题意，得：
．
解得：．
．
答：种灯笼的单价为36元，种灯笼的单价为27元；
（2）设种灯笼可以购买盏．
．
．
解得：．
答：种灯笼可以购买25盏．
11．（2023秋 嘉兴期末）根据表中的素材，完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元．
素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为．
素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量．
任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数．
【解析】任务1：设购买钢笔支，笔记本本，由题意可得：
，
即，
解得．
答：购买钢笔80支，笔记本60本．
任务，
送8张兑换券．
设张券兑换钢笔，张券兑换笔记本，由题意可得：
，
解得：．
答：用2张券兑换钢笔．
12．（2023秋 玉环市期末）某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张280元，学生门票每张220元．
（1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人？
（2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为：成人门票每张240元，学生门票每张150元，在（1）的基础上，又有几位同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了，那么新增了几名同学？
【解析】（1）设学生有人，则家长有人，根据题意得：
，
解得：，
（人，
答：学生有45人，则家长有5人．
（2）设新增了名同学，根据题意得：
，
解得：，
答：新增了10名同学．
13．（2023秋 北仑区期末）随着春节的临近，、两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，款盲盒原价为12元个，款盲盒的原价为16元个，但两家店都推出了相应的促销活动：
甲商店：款盲盒打八折促销，款盲盒打九折促销．
乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由3个款盲盒和2个款盲盒组成，大礼包定价为56元个．
（1）若要购买款盲盒6个，款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？
（2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买款盲盒30个，款盲盒个，若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求的值．
（3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案．
【解析】（1）购买款盲盒6个，款盲盒5个，优惠前的价钱是
（元，
在甲店购买的价钱为
（元，
在乙店购买的价钱为
（元，
，
参加乙家店的促销活动总价更优惠，
（元，
答：参加乙家店的促销活动总价更优惠，优惠24元．
（2）由题意可知，，
解得：，
的值为30．
（3）由（2）得，在甲商店购买30个款盲盒和30个款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相
等的，费用为（元，
若在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个款盲盒到甲商店购买，则费用为：
（元，
，
最优惠的采购方案是：去乙商店购买10个盲盒大礼包，去甲商店购买10个款盲盒．
题型08 与阶梯费用有关的实际应用问题
1．（2023秋 上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000元，那么此人的住院医疗费是
住院医疗费（元 报销率
不超过500元的部分 0
超过元的部分 60
超过元的部分 80
A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元
【答案】
【解析】设此人的住院医疗费是元，
根据题意得：，
解得：，
此人的住院医疗费是2500元．
故选．
2．（2023秋 东阳市期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米2.53元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米2.78元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米3.54元．
依此方案请回答：
（1）若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？
（2）若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米．
【解析】（1）天然气处于第二档天然气用量，
需缴纳天然气费为元；
（2），，
该户今年使用天然气超过600立方米，
设该户今年使用天然气立方米，
根据题意得：，
解得：，
该户今年使用天然气800立方米．
3．（2023秋 越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式：
类别 计费方式
计费方式 每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟部分按每分钟0.25元加收通话费．
计费方式 每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟部分按每分钟0.20元加收通话费．
（1）若一个月通话时间为250分钟，则，两种计费方式相差多少元？
（2）小敏爸爸选用计费方式，小聪爸爸选用计费方式，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间．
【解析】（1）用计费方法的话费为（元；
用计费方法的话费为88元，
选用，两种计费方式，用计费方法的花费多，多的费用为（元，
答：选用，两种计费方式相差5元；
（2）设小敏爸爸和小聪爸爸通话时间分钟，
根据题意得：①当时，
或，
解方程得：（与矛盾，舍去），或；
②时，
或，
解方程：，或（不符合实际，舍去）
答：他俩一个月的实际通话时间为450分钟或170分钟．
4．（2023秋 余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下：
电价分类 时段 电价（元千瓦时）
非峰谷电价 全天24小时 0.538
峰谷电价 高峰时段 上午晚上 0.568
低谷时段 晚上次日晨 0.288
现某居民户10月份用电100千瓦时．
（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费．
（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？
【解析】（1）该居民户10月份用电100千瓦时，其中低谷时段用电千瓦时，
则高峰时段用电千瓦时，
元，
答：该居民户这个月应缴纳的电费为元；
（2）设该居民户高峰时段用电千瓦时，
由题意得：，
解得：，
答：该居民户高峰时段用电40千瓦时．
5．（2023秋 舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务．
水费、用水量是多少？
素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”．
素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元吨，其中自来水为3.35元吨，污水处理费为0.95元吨． 第二阶梯吨用水量吨）：水费为5.97元吨，其中自来水为5.02元吨，污水处理费为0.95元吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元吨，其中自来水为10.05元吨，污水处理费为0.95元吨．
素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费（元污水处理费（元水费（元
问题解决
任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？
任务2 确定水费 某用户2023年11月用水吨，则应缴水费多少元？
任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？
【解析】（1），
月份用水量超过14吨不超过21吨，
设该用户12月份的用水量为吨，
，
解答，
（元，
答：设该用户12月份的污水处理费为17.1元；
（2）当时，应缴水费为元；
当时，应缴水费为元；
当时，应缴水费为元；
（3）设该用户5月份的用水量为吨，6月份的用水量为吨，
当时，，
解答（不合题意，舍去），
时，，
解得：，
，
答：该户居民5，6月份各用水20吨和22吨．
6．（2023秋 松阳县期末）移动公司推出两种套餐计费方法：计费方法是每月收月租费38元，通话时间不超过180分钟的部分免费，超过180分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法是每月收月租费58元，通话时间不超过300分钟的部分免费，超过300分的按每分钟0.2元收通话费．
（1）当通话时间为360分钟时，采用计费方法需 83 元；采用计费方法需 元．
（2）用计费方法的用户一个月通话360分钟所需的话费，若改用计费方法，则可以多通话多少分钟？
（3）每月通话时间为多少分钟时，，两种计费方法的话费相等？
【解析】（1）由题意可得，
方案费用：（元，
方案费用：（元，
故答案为：83，70；
（2）设可多通话分钟，
，
解得，
答：可多通话65分钟；
（3）设每月通话时间为分钟，
①当时，种计费方法话费为38元，种计费方法话费为58元，，两种计费方法话费不可能相等：
②当时，，
解得，
③当时，，
解得（不合题意，舍去），
综上所述，每月通话时间为260分钟时，，两种计费方法的话费相等．
7．（2023秋 鄞州区期末）某移动公司推出两款“套餐”，计费方式如下：
套餐类别 套餐一 套餐二
通话不超时且流量不超量 通话200分钟及以下，流量及以下，各种费用月费共计69元． 通话250分钟及以下，流量及以下，各种费用月费共计99元．
通话超时或上网超量 通话超时部分加收0.15元分；流量超量部分加收2.5元． 通话超时部分加收0.12元分；流量超量部分加收2元．
（1）若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需要的费用是 96.5 元；按套餐二计费需要的费用是 元；
（2）若上网流量为，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由；
（3）为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元．小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由．
【解析】（1）按套餐一计费需要的费用：（元，
按套餐二计费需要的费用：（元，故答案为：96.5，105；
（2）设通话时长为分钟，
①当时，由题意得，，
，不合题意，舍去；
②当时，由题意得，
，
解得，不合题意，舍去；
③当时，由题意得，
，
解得，符合题意；
当分钟时，套餐一和套餐二的计费相等；
（3）小明的判断正确，两款套餐费用差额为定值，定值为5元，
理由如下：
设通话时长为分钟，上网流量为 ，由题意得：
套餐一优惠后费用：，
套餐二优惠后费用：，
费用差为：，
两款套餐费用差额为定值，定值为5元．
8．（2023秋 慈溪市期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴专车两种网约车，收费标准见表：
出租车 滴滴专车
起步价：14元公里以内包括3公里） 超公里部分：超过3公里：2.4元公里 起步价：17元公里以内包括5公里） 超公里部分：里程费：3.5元公里；时长费：0.5元分钟
（注：车费起步价超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用超公里里程费超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里小时）
（1）如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用；
（2）若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省14.2元，求甲、乙两地间的里程数；
（3）若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数．
【解析】（1）出租车费用：（元，
滴滴专车平均时速为60公里小时，即1公里分钟，
滴滴专车费用：（元，
答：出租车费用为26元，滴滴专车费用29元；
（2）里程数为5公里时，出租车费用（元，
（元，
里程数超过5公里，
设甲，乙两地问的里程数为公里，
由题意得，，
解得，，
答：甲，乙两地问的里程数为15公里；
（3）设甲，乙两地问得里程数为公里，
由题意得，，
解得，，
答：甲，乙两地问的里程数为7.25公里．
题型09 与数轴上动点有关的实际应用问题
1．（2023秋 越城区校级期末）电影《哈利波特》中，哈利波特穿墙进入“站台”的镜头（如图中的站台），构思巧妙，给观众留下了深刻的印象．若，分别称为“站台”和“站台”，且，则站台用类似电影中的方法可称为“ 或 站台”．
【答案】或．
【解析】设表示的数为，则：，，
，
，
或，
站台可称为或站台；
故答案为：或．
2．（2023秋 金东区期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为0．
（1）点是数轴上不与点重合的点，且、两点间的距离为6个单位长度．则点所表示的数为 1或 ；
（2）若有一只小乌龟从点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度．
【解析】（1）点表示的数为，点是数轴上不与点重合的点，且、两点间的距离为6个单位长度，
当点位于点的右侧时，，
当点位于点的左侧时，，
故答案为：1或；
（2）小乌龟运动秒的长度为，小白兔运动秒的长度为，，
①小乌龟在小白兔的左边时，
当时，小乌龟所在的表示为，
小白兔所在的表示为，
小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
②小白兔在小乌龟的左边时，
时，小乌龟所在的表示为，
小白兔所在的表示为，
小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
时，小乌龟所在的表示为，
小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为，
小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
时，小乌龟所在的表示为，
小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为，
小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况，
故综上所述，当1或4分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
故答案为：1或4．
3．（2023秋 舟山期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 ．
（1）当 2或3.6 时，；
（2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ．
【解析】（1）点表示的数为8，是数轴上一点，且，
，即对应的数为，
而运动中对应的数为：，
，
，
，
或，
解得：或．
故答案为：2或3.6；
（2）当时，
，
当时，此时代数式有最小值10；
当时，
，
当时，
，
当时，此时最小值为10；
综上：的最小值为10，此时，
当时，解得，
当时，解得，
．
故答案为：．
4．（2023秋 椒江区校级期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 或30 秒时，、两点到点的距离相等．
【解析】，
，，
，，
表示的数是9，表示的数是15，
①当时，在线段上，在线段上，此时不存在、两点到点的距离相等；
②当时，、都在线段上，表示的数为，表示的数是，
、两点到点的距离相等只需，解得，
③当时，在线段上，在线段上，此时不存在、两点到点的距离相等；
④当时，在射线上，在射线上，表示的数为，表示的数是，
、两点到点的距离相等只需，解得，
综上所述，、两点到点的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
5．（2023秋 嵊州市期末）已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数；
（2）已知，数轴上点从点向左出发速度为每秒1个单位长度，同时点从点向左出发速度为每秒2个单位长度，经秒后，求的值．
【解析】（1）根据题意得：点所对应的数是；对应的数是20．
（2）依题意，当到，距离相等，
，
解得；
故的值为4．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，点、为数轴上的两点，点表示，点表示4，点为数轴上一动点．
（1）若点在、之间，满足时，求点表示的数；
（2）若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点到点的距离是点到点的距离的3倍时，求点运动的时间．
【解析】（1）设点表示的数为，
则，
解得：，
答：点表示的数为；
（2）设点运动的时间为秒，则，
解得：或，
答：点运动的时间为1秒或10秒．
7．（2023秋 上城区期末）如图（1），已知，为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动．
（1）若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
时间（秒 0 1 2
点在数轴上的位置所表示的数
点在数轴上的位置所表示的数 3 2
（2）若点先出发2秒后，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．
（3）如图（2），若动点，以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点以恒定速度和方向从点出发运动．在运动过程中，如果点为线段的中点，且，试求点的运动方向和速度．
【解析】（1）从表中得点1秒运动（个单位长度），
秒运动到，
从表中得点1秒运动（个单位长度），
秒位于，
故答案为：，4．
（2）相遇时间为：（秒，
相遇时的位置所表示的数为：．
（3）设运动速度为个长度单位秒，运动时间为秒，
表示的数为：，表示的数为：，
当点向左运动时，表示的数为：，
为线段的中点，
表示的数为：，
又，
，
，
不合题意，舍去；
当点向右运动时，表示的数为：，
为线段的中点，
表示的数为：，
又，
，
，
故答案为：点向右运动，速度为1个长度单位秒．
8．（2023秋 杭州期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，．求出的值．
【解析】（1）点表示数，点表示数5，
；
（2）点以点为折点向右对折后点在点的右边，且，
对折后的点表示的数为，
点表示的数为；
（3）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，
秒时点表示的数为，点表示的数为，
，
①当点在点右边时，，
，
，
解得：；
①当点在点右边时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为0.8或12．
9．（2023秋 苍南县期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示．
【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图2．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置．
【问题2】小李以50米分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留8分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题1的数轴上．（注请画在答题纸上）
【解析】（1）游客中心为原点，碗窑大桥为点，
数轴上一个单位是100米，
由题得出各景点之间的距离，米，米，米，
所标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置如图所示，
（2），，
小李到达手工作坊时用时23分钟，
，，，
小王到达手工作坊停留后用时21分钟，
相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，
设相遇时间为分钟，
由题得，，
，
他们经过22分钟相遇，
相遇点如图所示点．
10．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最小的正整数，且，满足．
（1）求 ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点对应的数是 ；
（3）若点以每秒0.2个单位的速度向右运动，点以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动．
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点先运动秒后，点开始运动，，两点恰好在点处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点是否有可能比点多运动1.5个单位？说明理由．
【解析】（1），
，，
解得，，
是最小的正整数，
，
故答案为：，1，4；
（2），
，
，
与点重合的点对应的数是，
故答案为：；
（3）①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
解得，
此时，
相遇处的点所表示的数为0.4；
②设点开始运动秒后，，在点相遇，
根据题意得：，
解得，
的值为5；
③不可能．理由：
设，运动的时间为秒，
由题意得：，
解得，
点不可能比点多运动1.5个单位．
11．（2023秋 东阳市期末）已知数轴上点与点的距离为16个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ，
（2）用含的代数式表示到点和点的距离： ， ．
（3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒点3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点．
①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上．
②在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由．
【解析】（1）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为10；
（2），
；
（3）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据题意得
，
解得．
答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上；
②分两种情况：
Ⅰ点从点向点运动时，
如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是；
如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是；
Ⅱ点从点返回到点时，
如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是；
如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是．
答：在点开始运动后，、两点之间的距离能为2个单位，此时点表示的数分别是，，，．
故答案为：，，10；，．
12．（2023秋 北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
（1）线段的中点 不是 该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”
（2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
（3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．
①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
【解析】（1）设线段的中点为，
．
点到，两点的距离不呈2倍关系．
线段的中点不是线段的“倍距点”．
故答案为：不是．
（2）点是线段的“倍距点”，
或．
①点在线段上，．
，
；
②点在线段上，．
．
③点在点的左边，．
；
④点在点的右边，．
．
故答案为：3或6或9或18．
（3）点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点，
点表示的数为：．
由题意得：点表示的数为．
，．
点为的“倍距点”，
或．
①．
，
或．
解得：或．
②．
，
或．
解得：（不合题意，舍去）或．
综上：为4或10或2.5．
答：当为4或10或2.5时，点为的“倍距点”；
（3）由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：．
，．
点为的“倍距点”，
，．
①．
．
或，
解得：或；
②．
．
或．
解得：或．
综上：的值为5或8或10或13．
13．（2023秋 婺城区期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点、、、都在数轴上．点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ．
（2）当时，求的值．
（3）在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为．
①的最大值为 ，持续的时间为 秒；
②当时，点所表示的数为 ．
【解析】（1），
，．
解得：，．
，．
，
，．
．
点表示的数是，点表示的数是14．
故答案为：，14；
（2）秒后点表示的数为：，点表示的数为：．
，
．
或．
解得：或3．
故答案为：或3；
（3）①当长方形全部进入到长方形中时，重合的面积最大，为长方形的面积：；
由图可得：当长方形全部在长方形中时，运动的路程为5，
两个长方形相向而行，
持续的时间为：．
故答案为：15，；
②Ⅰ、当时，．
．
解得：．
点表示的数是；
Ⅱ、当时，．
．
．
．
解得：．
点表示的数是．
故答案为：3或9．
14．（2023秋 玉环市期末）如图，点，是数轴上的两点，表示，表示100，动点分别从点，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，，两点相距40个单位长度．
【解析】（1）点表示的数为：，点表示的数为．
故答案为：；．
（2）
，
为定值，
，
解得：．
（3）当点在点的左侧时，，
解得：；
当点在点的右侧时，，
解得：，
综上分析可知，或32时，，两点相距40个单位长度．
15．（2023秋 诸暨市期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为与4，若数轴上，两点之间存在点，使得．
（1）点所表示的数为 2 ．
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒，当时，求的值．
【解析】（1）设点所表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
点所表示的数为2．
故答案为：2；
（2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：的值为或2．
16．（2023秋 南浔区期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”
素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以2个单位长度秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度
问题解决
探索1 动点从点运动至点需要多少时间？
探索2 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间
【解析】探索1：根据题意得：
（秒．
答：动点从点运动至点需要秒；
探索
（秒．
根据题意得：当时，点表示的数为，
当动点运动至点和点之间时，点表示的数为；
探索，，，
共2两种情况．
当点在点和点之间，即时，点表示的数为，
，，
，
解得：；
当点在点的右侧，即时，点表示的数为，
，，
，
解得：．
答：动点的运动的时间是秒或秒．
题型10 与赛事以及其他问题有关的实际应用问题
1．（2023秋 宁波期末）2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为枚，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设银牌的数量为枚，则金牌数量是枚，
由题意得：，
故选．
2．（2023秋 仙居县期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 17 ．
【答案】17．
【解析】设小明答对的题数是，则答错的题数为，
由题意，得：，
解得：；
故答案为：17．
3．（2023秋 拱墅区期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．
（1）居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数．
（2）圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚， 中国、日本、韩国三个国家共获得761枚奖牌 ，求中国获得的奖牌数．”
芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）
解：设中国获得了枚奖牌．
根据题意，得
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
请你根据上面的正确结果，帮圆圆在 中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程．
【解析】（1）设韩国获得的金牌数为枚，
则，
解得：，
，
答：中国获得的金牌数为201枚；
（2）中国、日本、韩国三个国家共获得761枚奖牌，
解：设中国获得了枚奖牌．
根据题意，得，
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
故答案为：中国、日本、韩国三个国家共获得761枚奖牌（答案不唯一）．
4．（2022秋 拱墅区校级期末）有两所图书馆，自建馆以来每年各进图书0.5万册．若今年甲馆共有藏书27万册，乙馆共有藏书11万册，从今年起，年后甲馆的藏书是乙馆的2倍，则 10 ．
【解析】由题可知，年后甲馆共有藏书万册，乙馆共有藏书万册，
由题意可得：，
解得，
故答案为：10．
5．（2023秋 临海市期末）在一定范围内，弹簧会随着所挂物体质量的增加均匀伸长，如果要使弹簧长度为，根据下表给出的信息，应挂相同砝码 5 个．
砝码个数（个 0 1 2
弹簧长度 10 12 14
【答案】5．
【解析】由表可知，每增加一个砝码，弹簧的长度就增加，
设应挂个相同砝码，弹簧长度为，
根据题意，得：，
解得：，
故答案为：5．
6．（2023秋 越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 36 人．
【答案】36．
【解析】设成绩合格的学生有人，成绩不合格的学生有人，给不及格的学生加上5分成为及格的学生有人，
，
解得：，
加分后可得：，
整理得：，
，
解得：，
全班人数为：，
该班学生人数在30到40人之间，
，
是正数，
，
，
全班人数为36人；
故答案为：36．
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期末专项06 一元一次方程的实际应用（十大题型）
题型01 与数学文化有关的实际应用问题
题型02 与路程有关的实际应用问题
题型03 与分配有关的实际应用问题
题型04 与工程有关的实际应用问题
题型05 与几何有关的实际应用问题
题型06 与幻方或者图表有关的实际应用问题
题型07 与销售利润有关的实际应用问题
题型08 与阶梯费用有关的实际应用问题
题型09 与数轴上动点有关的实际应用问题
题型10 与赛事以及其他问题有关的实际应用问题
题型01 与数学文化有关的实际应用问题
1．（2023秋 椒江区校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程
A． B． C． D．
2．（2023秋 台州期末）我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”若设有个人，则可列方程是
A． B． C． D．
3．（2023秋 越城区校级期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多少尺？
A． B．5.5 C．6.5 D．11
4．（2023秋 北仑区期末）我国明代数学读本《算法统综》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为
A． B． C． D．
5．（2023秋 鄞州区期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有间客房，则所列方程为
A． B． C． D．
6．（2023秋 杭州期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驾马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则可列方程为
A． B．
C． D．
7．（2022秋 拱墅区校级期末）程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有人，依题意列方程得
A． B．
C． D．
8．（2023秋 舟山期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为
A． B．
C． D．
9．（2023秋 娄星区期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为
A． B．
C． D．
10．（2023秋 江陵县期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是
A． B． C． D．
11．（2023秋 桐乡市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B． C． D．
题型02 与路程有关的实际应用问题
1．（2023秋 东阳市期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多10分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 西湖区期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多6分钟，如果设上学路上所花的时间为小时，根据题意所列方程正确的是
A． B． C． D．
3．（2023秋 武义县期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息（如图）．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米小时．
（1）汽车原来的速度是 45 千米小时．
（2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是 分钟．
4．（2023秋 金东区期末）随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从，两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，，相距45米．
（1）甲、乙两个机器人的速度分别是多少？
（2）从，两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？
5．（2023秋 椒江区校级期末）甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米时，乙队步行速度为6千米时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米时．
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？
6．（2023秋 仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间
驶出时间
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为．
（2）一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站．
①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾．
②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）．
7．（2023秋 临海市期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：
第1次从起点出发以的速度运动到记录点；第2次从出发以的速度运动到记录点；第3次从出发以的速度运动到记录点；第4次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．
（1）当时，到起点的距离为 ；
（2）若机器人的运动速度不超过．
①的最大值为： ．
②当点到起点的距离为时，求的值；
③记录点能恰好为终点吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
题型03 与分配有关的实际应用问题
1．（2023秋 慈溪市期末）学校参加研学活动，某班级乘游览车参观湿地公园，若5个人乘一辆车，则空1辆车；若4个人乘一辆车，则有2个人要步行．设该班级共有个人，则可列方程是
A． B． C． D．
2．（2023秋 义乌市期末）已知某小组同学想分若干盒糖果，且每盒中的糖果数量相同．若拆开其中3盒，每人分5颗，则还剩下1颗；若拆开其中4盒，每人分7颗，则有位同学少1颗．请问：这个小组有几名同学？假设这个小组有名同学，那么下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 德清县期末）某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗棵，则根据题意列出方程正确的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 温州期末）学校组织义务劳动，已知在甲处有10人，在乙处有16人，现调19人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处人，则可列方程为
A． B．
C． D．
5．（2023秋 上城区期末）某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？
6．（2023秋 镇海区期末）2023年11月，全国各地爆发了呼吸道感染和流感疫情，各地疾病预防控制中心呼吁加强个人防护，戴口罩，勤洗手，多通风．为做好防控工作，镇海区某学校采购了一批抑菌洗手液发放给各班，若每班分3瓶，则剩下16瓶；若每班分4瓶，则还缺20瓶．
（1）求这所学校一共有多少个班级？
（2）请你设计一种分配方案，要求整瓶发放，全部发完，并且班级与班级之间分到的数量尽可能接近．
7．（2022秋 拱墅区校级期末）某校开展劳动教育，在植树节当天组织植树活动，该校七年级共有120人参加活动，分成树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的2倍．
（1）求树苗保障组的人数；
（2）已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有人．
①用含的代数式表示种植组在乙处的人数；
②若，树苗保障组人员在运送完树苗后全部去支援种植组，使在甲处种植的人数是乙处种植人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？
8．（2023秋 江北区期末）七年级师生计划冬游观景．若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可少租一辆，也正好坐满．
（1）求参加冬游观景的师生总人数？
（2）景区门票的购买与客车的租赁联手促销：50座的客车租赁费用为1600元辆，门票原价20元位打6折优惠；60座的客车租赁费用为2500元辆，且免门票．请问单独租用哪种客车更划算？为什么？
题型04 与工程有关的实际应用问题
1．（2023秋 玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
题型05 与几何有关的实际应用问题
1．（2023秋 衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，设雕塑的底面边长为 ，则有
A． B．
C． D．
2．（2023秋 松阳县期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为
A． B． C． D．
3．（2023秋 温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起，露出水面部分高度为，保持甲玻璃棒离容器底部不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为
A． B． C． D．
4．（2023秋 路桥区期末）1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形，其中最小正方形的边长是1，则标注的正方形的边长为
A． B． C．2 D．3
5．（2023秋 新昌县期末）长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”，如图，在一个大灵动长方形中剪下两个灵动长方形，分别是长方形和长方形，若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形的面积为 ．
6．（2023秋 慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为 ．
7．（2023秋 新昌县期末）如图，一个长方体玻璃容器的内底面长为，宽为，高为，容器内水的高度为，现把一块边长为的立方体金属块放入水中，问容器内的水将升高多少厘米？
8．（2023秋 杭州期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？
8．（2023秋 苍南县期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图1所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为 ．
（1）用含的代数式分别表示天头长和地头长．
（2）现要装裱一副五言联，该五言联的长为，宽为，如图2所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的4倍．求五言联装裱预留的天头长．
（3）如图3，徐老师裁出两张长方形纸张准备写一副七言联，每张正好划出7个正方形方格，正方形方格的边长为 ．若装裱用的卷轴长为，正方形方格的边长比装裱后的边宽大，且两者长度均为整数，求徐老师裁剪的长方形纸张的长．
题型06 与幻方或者图表有关的实际应用问题
1．（2023秋 江北区期末）如图，在一个三阶幻方中，若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为 ．
0
2．（2023秋 西湖区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《易经》中记载了最早的幻方——九宫图．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则的值是 ．
8
3．（2023秋 台州期末）下面表格中有12个方格，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是6，则的值为 ．
1
4．（2023秋 德清县期末）如图是2024年2月份的月历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字 “型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为．
（1）分别用，的代数式表示和；
（2）结合月历，若，则的最大值为多少？
题型07 与销售利润有关的实际应用问题
1．（2023秋 路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为，则该商品应打
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
2．（2023秋 南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得的利润，则这件羽绒衣的标价是 元．
3．（2023秋 镇海区期末）甲，乙两家水果店以相同的进价购买相同多苹果，标价都为进价的2倍，随后按照各自方式进行促销售卖．甲店按照标价买2斤送1斤斤打包售卖），乙店按照标价的6折售卖．若两家店都以促销方式刚好卖完且他们的利润相差了200元，则每家店购买这批苹果花了 元．
4．（2023秋 仙居县期末）体育用品专卖店销售某款跳绳，原价5元一根，元旦期间八折优惠，学校用同样多的钱要比打折前多买了10根跳绳，问：学校在元旦期间购买了多少根跳绳？
5．（2023秋 嵊州市期末）根据下面柔柔和小齐的对话，请计算小齐买平板电脑的预算．
柔柔：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 柔柔：这台平板电脑现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
6．（2023秋 松阳县期末）2023年9月23日第十九届亚运会在浙江杭州隆重举行，吉祥物莲莲深受大家喜爱，某商店出售非立体的型莲莲钥匙扣和立体的型莲莲钥匙扣，已知型的比型的每个贵10元，售出8个型和2个型共得620元．
（1）求每个型莲莲钥匙扣的售价；
（2）团购25个型莲莲钥匙和15个型莲莲钥匙扣共需多少元钱？
7．（2023秋 东阳市期末）列方程解应用题．
欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利售价进价）．
甲 乙
进价（元件） 20 30
售价（元件） 25 40
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
8．（2023秋 西湖区期末）某商店用70000元的资金购进，两种商品共600件．
类型 进价（元件） 标价（元件）
150 220
100 150
（1）求商品购进的数量；
（2）商店为了促销，决定推出优惠活动，商品在标价的基础上打8折，商品在标价的基础上打9折．当600件商品销售完时，求商店获得的总利润．（总利润总售价总进价）
9．（2023秋 桐乡市期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元件） 40 60
售价（元件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
10．（2023秋 南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有、、三种型号的灯笼，已知种灯笼的单价比种灯笼的单价多9元，种灯笼单价20元盏．
（1）学校决定购买种灯笼30盏，种灯笼40盏，且购买、两种灯笼的费用相同，请问、两种灯笼的单价分别是多少？
（2）商家节日期间为了促销，种灯笼每盏降价6元，种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在、灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买种灯笼．问种灯笼可以购买多少盏？
11．（2023秋 嘉兴期末）根据表中的素材，完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元．
素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为．
素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探究购买方案 分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量．
任务2 确定兑换方式 求出用于兑换钢笔的兑换券的张数．
12．（2023秋 玉环市期末）某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张280元，学生门票每张220元．
（1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人？
（2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为：成人门票每张240元，学生门票每张150元，在（1）的基础上，又有几位同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了，那么新增了几名同学？
13．（2023秋 北仑区期末）随着春节的临近，、两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，款盲盒原价为12元个，款盲盒的原价为16元个，但两家店都推出了相应的促销活动：
甲商店：款盲盒打八折促销，款盲盒打九折促销．
乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由3个款盲盒和2个款盲盒组成，大礼包定价为56元个．
（1）若要购买款盲盒6个，款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？
（2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买款盲盒30个，款盲盒个，若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求的值．
（3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案．
题型08 与阶梯费用有关的实际应用问题
1．（2023秋 上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000元，那么此人的住院医疗费是
住院医疗费（元 报销率
不超过500元的部分 0
超过元的部分 60
超过元的部分 80
A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元
2．（2023秋 东阳市期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米2.53元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米2.78元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米3.54元．
依此方案请回答：
（1）若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？
（2）若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米．
3．（2023秋 越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式：
类别 计费方式
计费方式 每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟部分按每分钟0.25元加收通话费．
计费方式 每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟部分按每分钟0.20元加收通话费．
（1）若一个月通话时间为250分钟，则，两种计费方式相差多少元？
（2）小敏爸爸选用计费方式，小聪爸爸选用计费方式，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间．
4．（2023秋 余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下：
电价分类 时段 电价（元千瓦时）
非峰谷电价 全天24小时 0.538
峰谷电价 高峰时段 上午晚上 0.568
低谷时段 晚上次日晨 0.288
现某居民户10月份用电100千瓦时．
（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费．
（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？
5．（2023秋 舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务．
水费、用水量是多少？
素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”．
素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元吨，其中自来水为3.35元吨，污水处理费为0.95元吨． 第二阶梯吨用水量吨）：水费为5.97元吨，其中自来水为5.02元吨，污水处理费为0.95元吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元吨，其中自来水为10.05元吨，污水处理费为0.95元吨．
素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费（元污水处理费（元水费（元
问题解决
任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？
任务2 确定水费 某用户2023年11月用水吨，则应缴水费多少元？
任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？
6．（2023秋 松阳县期末）移动公司推出两种套餐计费方法：计费方法是每月收月租费38元，通话时间不超过180分钟的部分免费，超过180分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法是每月收月租费58元，通话时间不超过300分钟的部分免费，超过300分的按每分钟0.2元收通话费．
（1）当通话时间为360分钟时，采用计费方法需 元；采用计费方法需 元．
（2）用计费方法的用户一个月通话360分钟所需的话费，若改用计费方法，则可以多通话多少分钟？
（3）每月通话时间为多少分钟时，，两种计费方法的话费相等？
7．（2023秋 鄞州区期末）某移动公司推出两款“套餐”，计费方式如下：
套餐类别 套餐一 套餐二
通话不超时且流量不超量 通话200分钟及以下，流量及以下，各种费用月费共计69元． 通话250分钟及以下，流量及以下，各种费用月费共计99元．
通话超时或上网超量 通话超时部分加收0.15元分；流量超量部分加收2.5元． 通话超时部分加收0.12元分；流量超量部分加收2元．
（1）若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需要的费用是
元；按套餐二计费需要的费用是 元；
（2）若上网流量为，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由；
（3）为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元．小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由．
8．（2023秋 慈溪市期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴专车两种网约车，收费标准见表：
出租车 滴滴专车
起步价：14元公里以内包括3公里） 超公里部分：超过3公里：2.4元公里 起步价：17元公里以内包括5公里） 超公里部分：里程费：3.5元公里；时长费：0.5元分钟
（注：车费起步价超公里部分费用；滴滴专车超公里部分费用超公里里程费超公里时长费；滴滴专车平均时速为60公里小时）
（1）如果乘车里程为8公里，请分别算出乘坐出租车和滴滴专车的费用；
（2）若从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴专车省14.2元，求甲、乙两地间的里程数；
（3）若滴滴专车下单有优惠活动：超过5公里，超公里部分的费用打八折．某人发现，从甲地到乙地（超过5公里）乘坐两种车的费用相同，求甲、乙两地间的里程数．
题型09 与数轴上动点有关的实际应用问题
1．（2023秋 越城区校级期末）电影《哈利波特》中，哈利波特穿墙进入“站台”的镜头（如图中的站台），构思巧妙，给观众留下了深刻的印象．若，分别称为“站台”和“站台”，且，则站台用类似电影中的方法可称为“ 站台”．
2．（2023秋 金东区期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为0．
（1）点是数轴上不与点重合的点，且、两点间的距离为6个单位长度．则点所表示的数为 ；
（2）若有一只小乌龟从点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度．
3．（2023秋 舟山期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 ．
（1）当 时，；
（2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ．
4．（2023秋 椒江区校级期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等．
5．（2023秋 嵊州市期末）已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数；
（2）已知，数轴上点从点向左出发速度为每秒1个单位长度，同时点从点向左出发速度为每秒2个单位长度，经秒后，求的值．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，点、为数轴上的两点，点表示，点表示4，点为数轴上一动点．
（1）若点在、之间，满足时，求点表示的数；
（2）若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点到点的距离是点到点的距离的3倍时，求点运动的时间．
7．（2023秋 上城区期末）如图（1），已知，为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动．
（1）若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
时间（秒 0 1 2
点在数轴上的位置所表示的数
点在数轴上的位置所表示的数 3 2
（2）若点先出发2秒后，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．
（3）如图（2），若动点，以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点以恒定速度和方向从点出发运动．在运动过程中，如果点为线段的中点，且，试求点的运动方向和速度．
8．（2023秋 杭州期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，．求出的值．
9．（2023秋 苍南县期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示．
【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图2．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置．
【问题2】小李以50米分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留8分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题1的数轴上．（注请画在答题纸上）
10．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最小的正整数，且，满足．
（1）求 ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点对应的数是 ；
（3）若点以每秒0.2个单位的速度向右运动，点以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动．
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点先运动秒后，点开始运动，，两点恰好在点处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点是否有可能比点多运动1.5个单位？说明理由．
11．（2023秋 东阳市期末）已知数轴上点与点的距离为16个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ，
（2）用含的代数式表示到点和点的距离： ， ．
（3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒点3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点．
①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上．
②在点开始运动后，、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由．
12．（2023秋 北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
（1）线段的中点 该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”
（2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
（3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．
①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
13．（2023秋 婺城区期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点、、、都在数轴上．点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ．
（2）当时，求的值．
（3）在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为．
①的最大值为 ，持续的时间为 秒；
②当时，点所表示的数为 ．
14．（2023秋 玉环市期末）如图，点，是数轴上的两点，表示，表示100，动点分别从点，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，，两点相距40个单位长度．
15．（2023秋 诸暨市期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为与4，若数轴上，两点之间存在点，使得．
（1）点所表示的数为 ．
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒，当时，求的值．
16．（2023秋 南浔区期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”
素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以2个单位长度秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度
问题解决
探索1 动点从点运动至点需要多少时间？
探索2 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间
题型10 与赛事以及其他问题有关的实际应用问题
1．（2023秋 宁波期末）2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为枚，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 仙居县期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 17 ．
3．（2023秋 拱墅区期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．
（1）居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数．
（2）圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚， ，求中国获得的奖牌数．”
芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）
解：设中国获得了枚奖牌．
根据题意，得
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
请你根据上面的正确结果，帮圆圆在 中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程．
4．（2022秋 拱墅区校级期末）有两所图书馆，自建馆以来每年各进图书0.5万册．若今年甲馆共有藏书27万册，乙馆共有藏书11万册，从今年起，年后甲馆的藏书是乙馆的2倍，则 ．
5．（2023秋 临海市期末）在一定范围内，弹簧会随着所挂物体质量的增加均匀伸长，如果要使弹簧长度为，根据下表给出的信息，应挂相同砝码 个．
砝码个数（个 0 1 2
弹簧长度 10 12 14
6．（2023秋 越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 人．
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