重庆育才中学教育集团2024-2025学年八年级上学期入学定时练习数学试题（模拟）
1．（2024八上·重庆市开学考）实数中，无理数的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2024八上·重庆市开学考）已知，下列不等式的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·重庆市开学考）估算的结果在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
4．（2024八上·重庆市开学考）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）米．
A．56 B．64 C．80 D．72
5．（2024八上·重庆市开学考）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
6．（2024八上·重庆市开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不相交的两条直线是平行线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．全等三角形对应边上的高相等
7．（2024八上·重庆市开学考）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
9．（2024八上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）、（2，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A1B1C1D1，记为第1次变换，再将正方形A1B1C1D1绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A2B2C2D2，记为第2次变换，依此方式，第n次变换得到正方形AnBnCnDn，那么点Cn的坐标不可能是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
10．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
11．（2024八上·重庆市开学考）若，则的值是 ．
12．（2024八上·重庆市开学考）在平面直角坐标系中，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．若，且，则实数的取值范围是 ．
13．（2024八上·重庆市开学考）一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为2520°，则原多边形的边数是
14．（2024八上·重庆市开学考）为了了解某地区初一年级 名学生的体重情况，从中抽取了名学生的体重，这个问题中的样本容量是 ．
15．（2024八上·重庆市开学考）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．
16．（2024八上·重庆市开学考）如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=3cm2，则S△ABC的值为 cm2．
17．（2024八上·重庆市开学考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ．
18．（2024八上·重庆市开学考）若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定.若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为 .
19．（2024八上·重庆市开学考）解下列方程或方程组：
（1）
（2）
（3）
20．（2024八上·重庆市开学考）解下列不等式和不等式组
(1)；（2）
21．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知，点D为的中点．
（1）请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法）
（2）结合图形，求证：；
证明：∵中，，
∴
∵是角平分线，
∴
∴
∴（ ① ）
又∵点D为的中点，
∴（ ② ）
∴
在和中，
∴（ ④ ）
∴ ⑤ ．
∵点D为的中点，
∴
∴．
22．（2024八上·重庆市开学考）某校为了解本校学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅不完整的统计图：
请根据以上统计图的信息，完成下列问题：
（1）抽取的样本容量为________________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“羽毛球”运动所对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校喜欢足球运动的人数．
23．（2024八上·重庆市开学考）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，．
（1）填空：的面积为 ；
（2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
24．（2024八上·重庆市开学考）如图，，，，，交于点P，若点C在上.
（1），求的度数；
（2）连接，求证：.
25．（2024八上·重庆市开学考）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
26．（2024八上·重庆市开学考）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
（1）若，则=_____°；
（2）如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
（3）如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】解：∵，∴3，，0，是有理数，，是无理数，
则共2个无理数，
故选：B．
【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，依次判断即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a-c＞b-c，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴2a＞2b，故C不符合题意；
D、a＞b，若c＞0时，则ac＞bc；
若c＜0，则ac＜bc；
若c=0则ac=bc，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质1（两边都加上或减去同一个数或同一个试子，不等号的方向不变），可对A、B作出判断；利用不等式的性质2（两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变），可对C作出判断；利用不等式的性质2和3（两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变），可对D作出判断.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴
∴
∴的结果在4和5之间.
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根的性质可知，可得到的取值范围，利用不等式的性质可得到的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，多边形的外角和等于360°，
∴，
∴他需要走9次才会回到原来的起点，且一共走了（米）．
故答案为：D．
【分析】由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和等于360°，用369°除以左转的角度40°即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加：AB=DE，
∵AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；
B、添加：BF=BE
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），故B不符合题意；
C、添加∠A=∠D
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA），故C不符合题意；
D、添加∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】题中已知一组对应边和一组对应角相等，若添加边，可以添加BC=EF或BF=CE，利用SAS可证得△ABC≌△DEF，可对A、B作出判断；若添加角，可以添加另外两组对应角，利用AAS或ASA，可证得△ABC≌△DEF，可对C、D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行线的定义与现象；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线， 故B不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故C不符合题意；
D、全等三角形对应边上的高相等，真命题，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用对顶角相等，它的逆命题不成立，可对A作出判断；利用平行线的定义，可对B作出判断；利用两直线平行，同位角相等，可对C作出判断；利用全等三角形的对应边上的高相等，可对D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 去年计划生产玉米的吨数+小麦的吨数=200吨， 采用新技术后玉米的实际产量+采用新技术后小麦的实际产量=225”可列关于x、y的方程组，结合各选项即可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接
与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作轴于，过点作轴于点M．
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
∴
，，
，
，
同理可证得：
∴，
∴
同样方法可得：、、
∴与点重合，之后开始循环
∴当点旋转到第一象限时，坐标为；
当点旋转到第二象限时，坐标为；
当点旋转到第三象限时，坐标为；
当点旋转到第四象限时，坐标为．
综上所述，点的坐标不可能是．
故答案为：A．
【分析】连接、，过点作轴于点，利用正方形的性质可证得BA=BC，∠ABC=90°，利用点A、B第二支部可求出OA，OB的长，再利用余角的性质可证得∠OAB=∠CBH，利用AAS可证得△AOB≌△BHC，利用全等三角形的性质可求出BH、OB的长，即可求出OH的长，可得到点C1的坐标；同样方法可得：点C2、C3、C4的坐标，可证与点重合，之后开始循环，根据它们所在的象限，可得到点Cn的坐标不可能在的象限.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点，
在中
，
∴原结论正确；
②，
，
为的角平分线，
，
在和中
，
，；
∴原结论正确；
③，即：，，
∴点F是三角形ADH的垂心，
∴，
，，
=∠AFP，
，∠GFH=∠AFP=45°，
，
∴∠PHD=∠PDH=45°，
，
与都是等腰直角三角形，
，，
而AG=AF+GF=AF+AP，
=AF+AP，
，
∴DG=AG=AF+AP＞AP+GH；
∴原结论错误；
④，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
∴原结论正确；
综上可得：①②④正确．
故答案为：．
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可求解；
②由题意，用角边角可证△ABP≌△FBP，由全等三角形的对应边相等可求解；
③由题意，用角角边可证△AHP≌△FDP，然后根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
④根据，，由三角形三条高所在直线交于一点可知可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误．
11．【答案】12或4
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a2=16，
∴a=4或a=-4，
∵，
∴-b=（-2）3
解之：b=8，
当a=4时，a+b=4+8=12；
当a=-4时，a+b=-4+8=4；
故答案为：12或4．
【分析】利用平方根的性质可求出a的值；利用立方根的性质可求出b的值，然后将a、b的值分别代入代数式进行计算.
12．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】∵， ，
∴，
整理，得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】由新定义的“两点间距离”： 对两点和，用以下方式定义两点间距离： ，利用已知点A，B的坐标及，可得到关于m的绝对值不等式，然后求出不等式的解集即可.
13．【答案】15
【知识点】截一个几何体；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形的内角边数为n，根据题意得
根据题意得（n2） 180°=2520°，
解之：n=16，
一个多边形只截去一个角后（截线不经过顶点），多边形的边数增加了一条，
∴原多边形的边数是：15．
故答案为：15．
【分析】设新多边形的内角边数为n，利用多边形的内角和定理（n2） 180°（n≥3且n是整数）可求出新多边形的边数；再根据一个多边形只截去一个角后（截线不经过顶点），多边形的边数增加了一条，可求出原来多边形的边数.
14．【答案】480
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意可得，
问题中的样本容量是480，
故答案为480．
【分析】总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量是指样本中个体的数目.据此判断即可.
15．【答案】16
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义可证得∠DBO=∠CBO，利用平行线的性质可推出∠CBO=∠DOB，据此可证得∠DBO=∠DOB，利用等角对等边可得到BD=DO，同理可证得OE=CE，再证明△ADE的周长等于AB+AC，代入计算即可.
16．【答案】12cm2
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴BE，CE分别是△ABD和△ADC的中线，
∴S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC，
∴S△ABC=2S△BEC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BFC=3，
∴S△BEC=2S△BEF=6
∴S△ABC=2S△BEC=12（cm2）．
故答案为：12．
【分析】利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得S△ABC=2S△BEC，S△BEC=2S△BEF，据此可求出△BEC的面积，然后求出△ABC的面积即可.
17．【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程组
由②得：x=a+2y③
把③代入①得：2（a+2y）-3y=5
解之：y=5-2a，
∴x=a+2（5-2a）=10-3a
∴，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
解之：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
又关于的不等式组无解，
，
解得：，
即，
所有符合条件的整数为：，，0，1，2，3，
所有符合条件的整数和为3．
故答案为：3．
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，再根据y-2x＜0，可得到关于a的不等式，解不等式可求出a的取值范围；再分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据此不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围，然后求出所有整数a的值，求出所有符合条件的整数a的和.
18．【答案】9
【知识点】一次函数的性质；数学常识
【解析】【解答】解：设，则，
∴
，
又∵，
∴，，且，
∴
，
要使最大，必使，且为整数，则，
∴最大为9，
故答案为：9.
【分析】利用四位数的表示方法，设M=1000a+100b+10c+d，再根据将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，可得到N=1000b+100a+10d+c，将其代入 ，可得到F（M）=100a-100b+c-d，再根据题意可知b+c+d=12，可推出c=12-b-d，b+d=12-c，a=b-d，代入可得到F（M）=12-b-102d，要使最大，必使，且为整数，可得到b=3，代入求出F（M）的最大值.
19．【答案】（1）解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得；
（3）解：原方程可化为：
，
由②①，可得，
将代入①，可得，
解得，
∴该方程组的解为．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的解题步骤"去括号，移项、合并同类项，系数化为1"计算即可求解；
（2）根据一元一次方程的解题步骤"去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1"计算即可求解；
（3）先将原方程组化为，然后利用加减消元法求解即可．
20．【答案】（1）解：，
去分母，得12x - 3（x+2）≤2(2x-5) ，
去括号，得12x - 3x-6≤4x-10 ，
移项，得12x - 3x -4x≤6-10，
合并同类项，得5x≤ - 4 ，
系数化为1，得.x≤ - 0.8 ，
（2） 由①得x< -2 ，
由②得x> - 4，
所以
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母（不等式左边的x不能漏乘12），去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），移项合并，然后将x的系数化为1，可得到不等式的解集.
（2）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
21．【答案】（1）解：如图，
即为所作.
（2）等角对等边；三线合一，；；；
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
（2）证明：∵中，，
∴
∵是角平分线，
∴
∴
∴（等角对等边）
又∵点D为的中点，
∴（三线合一）
∴
在和中，
∴
∴．
∵点D为的中点，
∴
∴．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出即可；
（2）根据作图得出，得，再证明，由题意，用角角边可证△ADE≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得，再线段中点的性质即可求解.
22．【答案】（1）100
（2）解：喜欢篮球运动的人数为（人），
补全条形统计图如下
“羽毛球”所对应的圆心角的度数为
（3）解：根据题意得：（人）
即该校喜欢足球运动的人数为360人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取学生的人数为（人），即样本容量为100；
故答案为：100．
【分析】（1）用乒乓球的人数÷乒乓球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数，即为样本容量；
（2）用总人数减去其它人数，求出喜欢篮球的人数，再补全统计图，用乘以羽毛球所占的百分比，即可求出扇形统计图中“羽毛球”所对应的圆心角的度数；
（3）计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答．
（1）解：抽取学生的人数为（人），即样本容量为100；
故答案为：100．
（2）喜欢篮球运动的人数为（人），
如图：
“羽毛球”所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意得：（人）
即该校喜欢足球运动的人数为360人．
23．【答案】（1）5
（2）解：如图，
∴△A1B1C1为所求；△A2B2C2为所求.
（3）解：存在，理由如下：
由（2）可知，，
，
的面积是的面积的一半，，
，
设，则S△PB1B2=×B1B2×，
即×2×=2.5，
解得：m=2.5或m=-2.5，
点P的坐标为，.
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【解答】
（1）解：由图可知：
S△ABC.
故答案为：5.
【分析】（1）根据网格图的特征并结合三角形ABC的面积的构成即可求解；
（2）根据平移变换的性质分别作出的A、B、C对应点，，对应点，依次连接得到即可求解；根据翻折的性质在作出对应点，，依次连接得到即可；
（3）根据的面积是△ABC的面积的一半，设，根据S△PB1B2=2.5可列关于m的方程，解方程即可求解．
24．【答案】（1）解：∵，∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知最快的，再利用用证明，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠D的度数，利用三角形外角的性质可得到∠CAD=∠ACB-∠D，代入计算求出∠CAD的度数.
（2）在上取，连接，利用全等三角形的性质可证得，再利用证明，利用全等三角形的性质可推出，，可推出是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得结论.
（1）解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
25．【答案】（1）
（2）①；；
②24，27，30
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图甲可得：
，
解得：；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，
裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，
裁法二产生B型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【分析】（1）由图中的信息，根据裁法一和裁法二中板材的长列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
26．【答案】（1）40
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
【分析】（1）利用等边对等角及三角形内角和定理可证得∠ADE=∠AED=70°，利用三角形外角的性质可求出∠BAD的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由此可推出∠ADB=∠AEC，利用AAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE；延长至H，使，连接，利用SAS可证△AMF≌△HMD，利用全等三角形的性质可证得AF=DH，∠AFD=∠FDH；再利用SAS可证得△ADB≌△ADH，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）由“边角边”可证，可得，由周长＝＝，则当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，即可求解．
（1）（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
1 / 1重庆育才中学教育集团2024-2025学年八年级上学期入学定时练习数学试题（模拟）
1．（2024八上·重庆市开学考）实数中，无理数的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】解：∵，∴3，，0，是有理数，，是无理数，
则共2个无理数，
故选：B．
【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，依次判断即可.
2．（2024八上·重庆市开学考）已知，下列不等式的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a-c＞b-c，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴2a＞2b，故C不符合题意；
D、a＞b，若c＞0时，则ac＞bc；
若c＜0，则ac＜bc；
若c=0则ac=bc，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质1（两边都加上或减去同一个数或同一个试子，不等号的方向不变），可对A、B作出判断；利用不等式的性质2（两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变），可对C作出判断；利用不等式的性质2和3（两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变），可对D作出判断.
3．（2024八上·重庆市开学考）估算的结果在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴
∴
∴的结果在4和5之间.
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根的性质可知，可得到的取值范围，利用不等式的性质可得到的取值范围.
4．（2024八上·重庆市开学考）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）米．
A．56 B．64 C．80 D．72
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转40°，多边形的外角和等于360°，
∴，
∴他需要走9次才会回到原来的起点，且一共走了（米）．
故答案为：D．
【分析】由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和等于360°，用369°除以左转的角度40°即可求解．
5．（2024八上·重庆市开学考）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加：AB=DE，
∵AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；
B、添加：BF=BE
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），故B不符合题意；
C、添加∠A=∠D
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA），故C不符合题意；
D、添加∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】题中已知一组对应边和一组对应角相等，若添加边，可以添加BC=EF或BF=CE，利用SAS可证得△ABC≌△DEF，可对A、B作出判断；若添加角，可以添加另外两组对应角，利用AAS或ASA，可证得△ABC≌△DEF，可对C、D作出判断.
6．（2024八上·重庆市开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不相交的两条直线是平行线
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．全等三角形对应边上的高相等
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行线的定义与现象；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线， 故B不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故C不符合题意；
D、全等三角形对应边上的高相等，真命题，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用对顶角相等，它的逆命题不成立，可对A作出判断；利用平行线的定义，可对B作出判断；利用两直线平行，同位角相等，可对C作出判断；利用全等三角形的对应边上的高相等，可对D作出判断.
7．（2024八上·重庆市开学考）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 去年计划生产玉米的吨数+小麦的吨数=200吨， 采用新技术后玉米的实际产量+采用新技术后小麦的实际产量=225”可列关于x、y的方程组，结合各选项即可判断求解．
8．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接
与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
9．（2024八上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）、（2，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A1B1C1D1，记为第1次变换，再将正方形A1B1C1D1绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A2B2C2D2，记为第2次变换，依此方式，第n次变换得到正方形AnBnCnDn，那么点Cn的坐标不可能是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作轴于，过点作轴于点M．
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
∴
，，
，
，
同理可证得：
∴，
∴
同样方法可得：、、
∴与点重合，之后开始循环
∴当点旋转到第一象限时，坐标为；
当点旋转到第二象限时，坐标为；
当点旋转到第三象限时，坐标为；
当点旋转到第四象限时，坐标为．
综上所述，点的坐标不可能是．
故答案为：A．
【分析】连接、，过点作轴于点，利用正方形的性质可证得BA=BC，∠ABC=90°，利用点A、B第二支部可求出OA，OB的长，再利用余角的性质可证得∠OAB=∠CBH，利用AAS可证得△AOB≌△BHC，利用全等三角形的性质可求出BH、OB的长，即可求出OH的长，可得到点C1的坐标；同样方法可得：点C2、C3、C4的坐标，可证与点重合，之后开始循环，根据它们所在的象限，可得到点Cn的坐标不可能在的象限.
10．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点，
在中
，
∴原结论正确；
②，
，
为的角平分线，
，
在和中
，
，；
∴原结论正确；
③，即：，，
∴点F是三角形ADH的垂心，
∴，
，，
=∠AFP，
，∠GFH=∠AFP=45°，
，
∴∠PHD=∠PDH=45°，
，
与都是等腰直角三角形，
，，
而AG=AF+GF=AF+AP，
=AF+AP，
，
∴DG=AG=AF+AP＞AP+GH；
∴原结论错误；
④，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
∴原结论正确；
综上可得：①②④正确．
故答案为：．
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可求解；
②由题意，用角边角可证△ABP≌△FBP，由全等三角形的对应边相等可求解；
③由题意，用角角边可证△AHP≌△FDP，然后根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
④根据，，由三角形三条高所在直线交于一点可知可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误．
11．（2024八上·重庆市开学考）若，则的值是 ．
【答案】12或4
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a2=16，
∴a=4或a=-4，
∵，
∴-b=（-2）3
解之：b=8，
当a=4时，a+b=4+8=12；
当a=-4时，a+b=-4+8=4；
故答案为：12或4．
【分析】利用平方根的性质可求出a的值；利用立方根的性质可求出b的值，然后将a、b的值分别代入代数式进行计算.
12．（2024八上·重庆市开学考）在平面直角坐标系中，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．若，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】∵， ，
∴，
整理，得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】由新定义的“两点间距离”： 对两点和，用以下方式定义两点间距离： ，利用已知点A，B的坐标及，可得到关于m的绝对值不等式，然后求出不等式的解集即可.
13．（2024八上·重庆市开学考）一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为2520°，则原多边形的边数是
【答案】15
【知识点】截一个几何体；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形的内角边数为n，根据题意得
根据题意得（n2） 180°=2520°，
解之：n=16，
一个多边形只截去一个角后（截线不经过顶点），多边形的边数增加了一条，
∴原多边形的边数是：15．
故答案为：15．
【分析】设新多边形的内角边数为n，利用多边形的内角和定理（n2） 180°（n≥3且n是整数）可求出新多边形的边数；再根据一个多边形只截去一个角后（截线不经过顶点），多边形的边数增加了一条，可求出原来多边形的边数.
14．（2024八上·重庆市开学考）为了了解某地区初一年级 名学生的体重情况，从中抽取了名学生的体重，这个问题中的样本容量是 ．
【答案】480
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意可得，
问题中的样本容量是480，
故答案为480．
【分析】总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量是指样本中个体的数目.据此判断即可.
15．（2024八上·重庆市开学考）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．
【答案】16
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义可证得∠DBO=∠CBO，利用平行线的性质可推出∠CBO=∠DOB，据此可证得∠DBO=∠DOB，利用等角对等边可得到BD=DO，同理可证得OE=CE，再证明△ADE的周长等于AB+AC，代入计算即可.
16．（2024八上·重庆市开学考）如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=3cm2，则S△ABC的值为 cm2．
【答案】12cm2
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴BE，CE分别是△ABD和△ADC的中线，
∴S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC，
∴S△ABC=2S△BEC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BFC=3，
∴S△BEC=2S△BEF=6
∴S△ABC=2S△BEC=12（cm2）．
故答案为：12．
【分析】利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得S△ABC=2S△BEC，S△BEC=2S△BEF，据此可求出△BEC的面积，然后求出△ABC的面积即可.
17．（2024八上·重庆市开学考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ．
【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程组
由②得：x=a+2y③
把③代入①得：2（a+2y）-3y=5
解之：y=5-2a，
∴x=a+2（5-2a）=10-3a
∴，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
解之：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
又关于的不等式组无解，
，
解得：，
即，
所有符合条件的整数为：，，0，1，2，3，
所有符合条件的整数和为3．
故答案为：3．
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，再根据y-2x＜0，可得到关于a的不等式，解不等式可求出a的取值范围；再分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据此不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围，然后求出所有整数a的值，求出所有符合条件的整数a的和.
18．（2024八上·重庆市开学考）若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”.将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定.若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为 .
【答案】9
【知识点】一次函数的性质；数学常识
【解析】【解答】解：设，则，
∴
，
又∵，
∴，，且，
∴
，
要使最大，必使，且为整数，则，
∴最大为9，
故答案为：9.
【分析】利用四位数的表示方法，设M=1000a+100b+10c+d，再根据将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，可得到N=1000b+100a+10d+c，将其代入 ，可得到F（M）=100a-100b+c-d，再根据题意可知b+c+d=12，可推出c=12-b-d，b+d=12-c，a=b-d，代入可得到F（M）=12-b-102d，要使最大，必使，且为整数，可得到b=3，代入求出F（M）的最大值.
19．（2024八上·重庆市开学考）解下列方程或方程组：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得；
（3）解：原方程可化为：
，
由②①，可得，
将代入①，可得，
解得，
∴该方程组的解为．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的解题步骤"去括号，移项、合并同类项，系数化为1"计算即可求解；
（2）根据一元一次方程的解题步骤"去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1"计算即可求解；
（3）先将原方程组化为，然后利用加减消元法求解即可．
20．（2024八上·重庆市开学考）解下列不等式和不等式组
(1)；（2）
【答案】（1）解：，
去分母，得12x - 3（x+2）≤2(2x-5) ，
去括号，得12x - 3x-6≤4x-10 ，
移项，得12x - 3x -4x≤6-10，
合并同类项，得5x≤ - 4 ，
系数化为1，得.x≤ - 0.8 ，
（2） 由①得x< -2 ，
由②得x> - 4，
所以
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母（不等式左边的x不能漏乘12），去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），移项合并，然后将x的系数化为1，可得到不等式的解集.
（2）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
21．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知，点D为的中点．
（1）请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法）
（2）结合图形，求证：；
证明：∵中，，
∴
∵是角平分线，
∴
∴
∴（ ① ）
又∵点D为的中点，
∴（ ② ）
∴
在和中，
∴（ ④ ）
∴ ⑤ ．
∵点D为的中点，
∴
∴．
【答案】（1）解：如图，
即为所作.
（2）等角对等边；三线合一，；；；
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
（2）证明：∵中，，
∴
∵是角平分线，
∴
∴
∴（等角对等边）
又∵点D为的中点，
∴（三线合一）
∴
在和中，
∴
∴．
∵点D为的中点，
∴
∴．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出即可；
（2）根据作图得出，得，再证明，由题意，用角角边可证△ADE≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得，再线段中点的性质即可求解.
22．（2024八上·重庆市开学考）某校为了解本校学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅不完整的统计图：
请根据以上统计图的信息，完成下列问题：
（1）抽取的样本容量为________________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“羽毛球”运动所对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校喜欢足球运动的人数．
【答案】（1）100
（2）解：喜欢篮球运动的人数为（人），
补全条形统计图如下
“羽毛球”所对应的圆心角的度数为
（3）解：根据题意得：（人）
即该校喜欢足球运动的人数为360人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取学生的人数为（人），即样本容量为100；
故答案为：100．
【分析】（1）用乒乓球的人数÷乒乓球所占的百分比，即可求出抽取学生的人数，即为样本容量；
（2）用总人数减去其它人数，求出喜欢篮球的人数，再补全统计图，用乘以羽毛球所占的百分比，即可求出扇形统计图中“羽毛球”所对应的圆心角的度数；
（3）计算足球的百分比，根据样本估计总体，即可解答．
（1）解：抽取学生的人数为（人），即样本容量为100；
故答案为：100．
（2）喜欢篮球运动的人数为（人），
如图：
“羽毛球”所对应的圆心角的度数为；
（3）解：根据题意得：（人）
即该校喜欢足球运动的人数为360人．
23．（2024八上·重庆市开学考）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，．
（1）填空：的面积为 ；
（2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）5
（2）解：如图，
∴△A1B1C1为所求；△A2B2C2为所求.
（3）解：存在，理由如下：
由（2）可知，，
，
的面积是的面积的一半，，
，
设，则S△PB1B2=×B1B2×，
即×2×=2.5，
解得：m=2.5或m=-2.5，
点P的坐标为，.
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【解答】
（1）解：由图可知：
S△ABC.
故答案为：5.
【分析】（1）根据网格图的特征并结合三角形ABC的面积的构成即可求解；
（2）根据平移变换的性质分别作出的A、B、C对应点，，对应点，依次连接得到即可求解；根据翻折的性质在作出对应点，，依次连接得到即可；
（3）根据的面积是△ABC的面积的一半，设，根据S△PB1B2=2.5可列关于m的方程，解方程即可求解．
24．（2024八上·重庆市开学考）如图，，，，，交于点P，若点C在上.
（1），求的度数；
（2）连接，求证：.
【答案】（1）解：∵，∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知最快的，再利用用证明，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠D的度数，利用三角形外角的性质可得到∠CAD=∠ACB-∠D，代入计算求出∠CAD的度数.
（2）在上取，连接，利用全等三角形的性质可证得，再利用证明，利用全等三角形的性质可推出，，可推出是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得结论.
（1）解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
25．（2024八上·重庆市开学考）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】（1）
（2）①；；
②24，27，30
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图甲可得：
，
解得：；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，
裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，
裁法二产生B型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【分析】（1）由图中的信息，根据裁法一和裁法二中板材的长列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
26．（2024八上·重庆市开学考）如图1，在中，，D、E在边上，连接．
（1）若，则=_____°；
（2）如图2，，F为上一点，连接，且，M为中点，连接，证明：．
（3）如图3，，F为的中点，连接，点M在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值．
【答案】（1）40
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
【分析】（1）利用等边对等角及三角形内角和定理可证得∠ADE=∠AED=70°，利用三角形外角的性质可求出∠BAD的度数.
（2）利用等边对等角可证得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由此可推出∠ADB=∠AEC，利用AAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE；延长至H，使，连接，利用SAS可证△AMF≌△HMD，利用全等三角形的性质可证得AF=DH，∠AFD=∠FDH；再利用SAS可证得△ADB≌△ADH，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）由“边角边”可证，可得，由周长＝＝，则当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，即可求解．
（1）（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，延长至H，使，连接，
∵点M为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，分别取，的中点G，H，连接、、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵点F是的中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴，，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长＝＝ ，
∴当点M，点A，点H三点共线，有最小值为的长，
∴周长的最小值为．
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