新疆维吾尔自治区2024年中考数学试卷
1．（2024·新疆维吾尔自治区）下列实数中，比0小的数是（ ）
A．-2 B．0.2 C． D．1
2．（2024·新疆维吾尔自治区）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·新疆维吾尔自治区）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·新疆维吾尔自治区）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（2024·新疆维吾尔自治区）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，AB是的直径，CD是的弦，.垂足为.若，，则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·新疆维吾尔自治区）若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
8．（2024·新疆维吾尔自治区）某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达，已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkm/h，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在平面直坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是BC的中点；③在的图象上任取点和点，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·新疆维吾尔自治区）若每个篮球30元，则购买个篮球需 元.
11．（2024·新疆维吾尔自治区）学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取.通过计算，你认为 同学将被录取.
12．（2024·新疆维吾尔自治区）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
13．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在正方形ABCD中，若面积周长则= .
14．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在Rt中，.若点在直线AB上（不与点A，B重合），且，则AD的长为 .
15．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点下方)，且.当的值最小时，点的坐标为 .
16．（2024·新疆维吾尔自治区）计算：
（1）；
（2）
17．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）解方程：；
（2）如图，已知平行四边形ABCD.
①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点；
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
②在①的条件下，求证：是等腰三角形.
18．（2024·新疆维吾尔自治区）为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动.为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调(每名学生必选且只选一类)，并根据调查结果制成如下统计图(不完整)：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，喜爱"艺术类"社团活动的学生人数是 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱"阅读类"社团活动
（3）某班有2名男生和1名女生参加"体育类"社团中"追风篮球社"的选拔，2名学生被选中.请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率.
19．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
20．（2024·新疆维吾尔自治区）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
⑴准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
⑵实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿右测角仪的直径剧好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位畳到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
⑶计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ▲ ；
②根据测量数据，画出示意图，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法.
21．（2024·新疆维吾尔自治区）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售是在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为：；成本(万元)与销售量(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点.
（1）求出成本关于销售量的函数解析式；
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少
(注：利润=销售额-成本)
22．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在中，AB是的直径，弦CD交AB于点.
（1）求证：；
（2）若，求CE的长.
23．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）【探究】
已知和都是等边三角形.
①如图1，当点在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数是关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
（2）【运用】
如图3，等边三角形ABC中，，点在AC上，.点是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当为直角三角形时，请直接写出BD的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得1＞＞0.2＞0＞-2，
∴-2比0小，
故答案为：A
【分析】根据题意比较实数的大小，进而即可求解。
2．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它的主视图为
故答案为：C
【分析】根据由小正方体堆积成的组合体的三视图结合题意画出其主视图，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、，B符合题意；
、，C不符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解。
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得
∴的值在2和3之间，
故答案为：A
【分析】根据题意估算无理数的大小，进而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从平均数看，乙，丙的平均数高，成绩更优异；
从方差看，甲，丙的方差成绩数值小，稳定性好；
∴丙运动员成绩优异，
故答案为：C
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意分析数据的离散程度即可求解。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：是的直径，且，
．
在中，
，
．
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到DE，进而根据勾股定理求出OE，再结合题意进行线段的运算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可以是1，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，进而结合题意对比选项即可求解。
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲车的速度为xkm/h，由题意得，
故答案为：D
【分析】设甲车的速度为xkm/h，根据“某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达，已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作轴，垂足为，如图所示：
①∵反比例函数图象关于原点成中心对称图形，
∴点与点关于原点对称，正确；
②点与点关于原点对称，
∴BO=AO，
在和中，
，
，
∴CO=EO，
轴，
，
，
，
是的中点，
是的中位线，正确；
③在每个象限内，随的增大而减小，错误；
④，故正确；
综上所述，正确结论的是①②④，共3个．
故答案为：C
【分析】作轴，垂足为，根据反比例函数的图象结合题意即可判断①；进而得到BO=AO，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明得到CO=EO，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据三角形的中位线即可判断②；根据反比例函数的性质即可判断③；根据反比例函数k的几何意义结合题意即可判断④.
10．【答案】30n
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得每个篮球30元，则购买个篮球需30n元，
故答案为：30n
【分析】根据总价=单个价格×个数结合题意列出代数式即可求解。
11．【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得甲同学的成绩为：（分；
乙同学的成绩为：（分；
，
乙同学将被录取，
故答案为：乙
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算，进而即可求解。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得△，
解得，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到△，进而解不等式即可求解。
13．【答案】40
【知识点】正方形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
由题意得，
由②得③，
③②得：，
整理得，
即，
故答案为：40
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，根据面积和周长即可得到，进而即可得到③，再运用加减消元法③②即可得到，从而得到即可求解。
14．【答案】6或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
当点在点左上方时，如图所示，
，，
．
又，
，
，
．
当点在点的右下方时，如图所示，
，，
．
在中，，
．
综上所述，的长为6或12．
故答案为：6或12
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到，进而根据勾股定理求出AC，再分类讨论：当点在点左上方时，当点在点的右下方时，进而根据等腰三角形的判定与性质结合余弦函数即可求解。
15．【答案】（4，1）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，如图所示：
此时的值最小，，
令，则，
点，
令，则，
解得或，
点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
设直线的解析式为，
代入A'、的坐标得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
故答案为：
【分析】根据轴对称-最短距离问题作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，，进而根据二次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而根据待定系数法求出直线A'B的函数式，再代入x=4即可求解。
16．【答案】（1）原式=1+9-4+1=7
（2）原式=
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、乘方、开平方、零指数幂，进而根据有理数的加减运算即可求解；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再根据分式的乘除运算进行化简即可求解。
17．【答案】（1）解：
2x-2-3=x
x=5
（2）①解：如图，即为所求．
②证明：为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；解含括号的一元一次方程；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）先去括号，进而移项即可求解；
（2）①根据作图-角平分线结合题意画图即可求解；
②先根据角平分线的定义得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，等量代换后根据等腰三角形的判定结合题意即可求解。
18．【答案】（1）100；25
（2）解：由题意得（名．
估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动．
（3）解：列表如下：
男 男 女
男 （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种，
选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了（名）学生．
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人．
故答案为：100；25人．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出总人数，进而用总人数乘喜爱“艺术类”社团活动的学生人数所占的百分比即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）先列表，进而得到共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种，再根据等可能事件的概率即可求解。
19．【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
20．【答案】（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
②，
，
在中，，
，
．
即旗杆的高度为．
③三角板只有、的三角板和的三角板，而点的仰角为，
三角板测不出仰角的度数；
如图，作，则为等腰直角三角形，，
，
，
，
向右走，用直角三角板测量即可（或向左走用三角板测量即可）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
【分析】（3）①根据测角仪结合题意进行角的运算即可求解；
②先根据BC得到AE，再根据正切函数得到，从而解直角三角形（边角的运算）得到DE，再根据CD=CE+DE即可求解；
③先根据三角板的特点结合题意得到三角板测不出仰角的度数，作，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出AF，再根据题意即可求解。
21．【答案】（1）解：顶点为，，
可设抛物线为．
又抛物线过，
．
．
．
（2）解：由题意得当，
∵销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：，
当时，销售额为．
此时利润为（万元）
（3）解：=，
，
∴当时，利润取最大值，最大值为7
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据顶点坐标设顶点式，进而代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据二次函数的最值求出最低的成本，进而根据一次函数求出销售额，从而相减即可求解；
（3）根据题意结合利润，根据二次函数的最值即可求解。
22．【答案】（1）
又
（2）
又是的直径
在Rt中
在Rt中
又
∴EB=AB-AE
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据弧与圆心角、弦的关系得到，进而得到，根据相似三角形的判定-AA即可求解；
（2）先根据相似三角形的判定证明得到，再根据圆周角定理结合勾股定理得到AB，从而即可得到，则，再根据相似三角形的性质得到，结合题意代入各边即可求解。
23．【答案】（1）解：①．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，则为等边三角形．
①当点在左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形．
②当点在右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得，
，，
此时只有有可能为，
当时，，
，
，
，
又，
．
③当点在右侧，且延长线上时，如图3，
此时只有，
，
，
，
，
，
．
综上：的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①先根据等边三角形的性质得到，，，进而进行角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到CE=BD，进而根据线段的运算即可求解；
②先根据等边三角形的性质得到，，，进而根据角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据线段的运算即可求解；
（2）过作，则为等边三角形，进而分类讨论：①当点在左侧时，②当点在右侧，③当点在右侧，且延长线上时，进而根据三角形全等的判定与性质结合直角三角形的判定即可求解。
1 / 1新疆维吾尔自治区2024年中考数学试卷
1．（2024·新疆维吾尔自治区）下列实数中，比0小的数是（ ）
A．-2 B．0.2 C． D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意得1＞＞0.2＞0＞-2，
∴-2比0小，
故答案为：A
【分析】根据题意比较实数的大小，进而即可求解。
2．（2024·新疆维吾尔自治区）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它的主视图为
故答案为：C
【分析】根据由小正方体堆积成的组合体的三视图结合题意画出其主视图，进而即可求解。
3．（2024·新疆维吾尔自治区）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、，B符合题意；
、，C不符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解。
4．（2024·新疆维吾尔自治区）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得
∴的值在2和3之间，
故答案为：A
【分析】根据题意估算无理数的大小，进而即可求解。
5．（2024·新疆维吾尔自治区）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从平均数看，乙，丙的平均数高，成绩更优异；
从方差看，甲，丙的方差成绩数值小，稳定性好；
∴丙运动员成绩优异，
故答案为：C
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意分析数据的离散程度即可求解。
6．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，AB是的直径，CD是的弦，.垂足为.若，，则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：是的直径，且，
．
在中，
，
．
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到DE，进而根据勾股定理求出OE，再结合题意进行线段的运算即可求解。
7．（2024·新疆维吾尔自治区）若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可以是1，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，进而结合题意对比选项即可求解。
8．（2024·新疆维吾尔自治区）某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达，已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkm/h，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲车的速度为xkm/h，由题意得，
故答案为：D
【分析】设甲车的速度为xkm/h，根据“某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达，已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
9．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在平面直坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是BC的中点；③在的图象上任取点和点，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作轴，垂足为，如图所示：
①∵反比例函数图象关于原点成中心对称图形，
∴点与点关于原点对称，正确；
②点与点关于原点对称，
∴BO=AO，
在和中，
，
，
∴CO=EO，
轴，
，
，
，
是的中点，
是的中位线，正确；
③在每个象限内，随的增大而减小，错误；
④，故正确；
综上所述，正确结论的是①②④，共3个．
故答案为：C
【分析】作轴，垂足为，根据反比例函数的图象结合题意即可判断①；进而得到BO=AO，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明得到CO=EO，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据三角形的中位线即可判断②；根据反比例函数的性质即可判断③；根据反比例函数k的几何意义结合题意即可判断④.
10．（2024·新疆维吾尔自治区）若每个篮球30元，则购买个篮球需 元.
【答案】30n
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得每个篮球30元，则购买个篮球需30n元，
故答案为：30n
【分析】根据总价=单个价格×个数结合题意列出代数式即可求解。
11．（2024·新疆维吾尔自治区）学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取.通过计算，你认为 同学将被录取.
【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得甲同学的成绩为：（分；
乙同学的成绩为：（分；
，
乙同学将被录取，
故答案为：乙
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算，进而即可求解。
12．（2024·新疆维吾尔自治区）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得△，
解得，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到△，进而解不等式即可求解。
13．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在正方形ABCD中，若面积周长则= .
【答案】40
【知识点】正方形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
由题意得，
由②得③，
③②得：，
整理得，
即，
故答案为：40
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，根据面积和周长即可得到，进而即可得到③，再运用加减消元法③②即可得到，从而得到即可求解。
14．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在Rt中，.若点在直线AB上（不与点A，B重合），且，则AD的长为 .
【答案】6或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
当点在点左上方时，如图所示，
，，
．
又，
，
，
．
当点在点的右下方时，如图所示，
，，
．
在中，，
．
综上所述，的长为6或12．
故答案为：6或12
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到，进而根据勾股定理求出AC，再分类讨论：当点在点左上方时，当点在点的右下方时，进而根据等腰三角形的判定与性质结合余弦函数即可求解。
15．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点下方)，且.当的值最小时，点的坐标为 .
【答案】（4，1）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，如图所示：
此时的值最小，，
令，则，
点，
令，则，
解得或，
点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
设直线的解析式为，
代入A'、的坐标得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
故答案为：
【分析】根据轴对称-最短距离问题作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，，进而根据二次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而根据待定系数法求出直线A'B的函数式，再代入x=4即可求解。
16．（2024·新疆维吾尔自治区）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）原式=1+9-4+1=7
（2）原式=
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、乘方、开平方、零指数幂，进而根据有理数的加减运算即可求解；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再根据分式的乘除运算进行化简即可求解。
17．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）解方程：；
（2）如图，已知平行四边形ABCD.
①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点；
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
②在①的条件下，求证：是等腰三角形.
【答案】（1）解：
2x-2-3=x
x=5
（2）①解：如图，即为所求．
②证明：为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；解含括号的一元一次方程；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）先去括号，进而移项即可求解；
（2）①根据作图-角平分线结合题意画图即可求解；
②先根据角平分线的定义得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，等量代换后根据等腰三角形的判定结合题意即可求解。
18．（2024·新疆维吾尔自治区）为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动.为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调(每名学生必选且只选一类)，并根据调查结果制成如下统计图(不完整)：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，喜爱"艺术类"社团活动的学生人数是 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱"阅读类"社团活动
（3）某班有2名男生和1名女生参加"体育类"社团中"追风篮球社"的选拔，2名学生被选中.请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）100；25
（2）解：由题意得（名．
估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动．
（3）解：列表如下：
男 男 女
男 （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种，
选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了（名）学生．
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人．
故答案为：100；25人．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出总人数，进而用总人数乘喜爱“艺术类”社团活动的学生人数所占的百分比即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）先列表，进而得到共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种，再根据等可能事件的概率即可求解。
19．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
20．（2024·新疆维吾尔自治区）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
⑴准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
⑵实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿右测角仪的直径剧好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位畳到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
⑶计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ▲ ；
②根据测量数据，画出示意图，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法.
【答案】（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
②，
，
在中，，
，
．
即旗杆的高度为．
③三角板只有、的三角板和的三角板，而点的仰角为，
三角板测不出仰角的度数；
如图，作，则为等腰直角三角形，，
，
，
，
向右走，用直角三角板测量即可（或向左走用三角板测量即可）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
【分析】（3）①根据测角仪结合题意进行角的运算即可求解；
②先根据BC得到AE，再根据正切函数得到，从而解直角三角形（边角的运算）得到DE，再根据CD=CE+DE即可求解；
③先根据三角板的特点结合题意得到三角板测不出仰角的度数，作，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出AF，再根据题意即可求解。
21．（2024·新疆维吾尔自治区）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售是在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为：；成本(万元)与销售量(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点.
（1）求出成本关于销售量的函数解析式；
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少
(注：利润=销售额-成本)
【答案】（1）解：顶点为，，
可设抛物线为．
又抛物线过，
．
．
．
（2）解：由题意得当，
∵销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：，
当时，销售额为．
此时利润为（万元）
（3）解：=，
，
∴当时，利润取最大值，最大值为7
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据顶点坐标设顶点式，进而代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据二次函数的最值求出最低的成本，进而根据一次函数求出销售额，从而相减即可求解；
（3）根据题意结合利润，根据二次函数的最值即可求解。
22．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，在中，AB是的直径，弦CD交AB于点.
（1）求证：；
（2）若，求CE的长.
【答案】（1）
又
（2）
又是的直径
在Rt中
在Rt中
又
∴EB=AB-AE
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据弧与圆心角、弦的关系得到，进而得到，根据相似三角形的判定-AA即可求解；
（2）先根据相似三角形的判定证明得到，再根据圆周角定理结合勾股定理得到AB，从而即可得到，则，再根据相似三角形的性质得到，结合题意代入各边即可求解。
23．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）【探究】
已知和都是等边三角形.
①如图1，当点在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数是关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
（2）【运用】
如图3，等边三角形ABC中，，点在AC上，.点是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当为直角三角形时，请直接写出BD的长.
【答案】（1）解：①．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，则为等边三角形．
①当点在左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形．
②当点在右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得，
，，
此时只有有可能为，
当时，，
，
，
，
又，
．
③当点在右侧，且延长线上时，如图3，
此时只有，
，
，
，
，
，
．
综上：的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①先根据等边三角形的性质得到，，，进而进行角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到CE=BD，进而根据线段的运算即可求解；
②先根据等边三角形的性质得到，，，进而根据角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据线段的运算即可求解；
（2）过作，则为等边三角形，进而分类讨论：①当点在左侧时，②当点在右侧，③当点在右侧，且延长线上时，进而根据三角形全等的判定与性质结合直角三角形的判定即可求解。
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