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2024年九年级下三角函数与相似压轴
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
2．（2024·广东深圳·二模）如图，在四边形中，，，是线段上一点(不与点重合)，，连接，交于点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，点在边上，连接，．将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东深圳·模拟预测）将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，，，则得下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（22-23九年级下·广东深圳·开学考试）如图，正方形中，，点E是延长线上的一点，点分别为边上的点，且，连接，过点M作与的平分线交于点F，连接分别与交于点G、H，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有个．（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·广东深圳·三模）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则 ；③ ；④；⑤若 ， ，则的面积为．正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连接交于点F，交于点G．于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④则上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022·广东深圳·二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．（2022·广东深圳·三模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC上一点，且EC＝2BE，连接AE，交BD于点F．过点D作DG⊥AE，交AC于点H，连接HF，则下列结论正确的是（ ）
①AF＝DH；②HFCD；③；④．
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．②④
12．（2022·广东深圳·二模）如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
13．（2022·广东深圳·二模）如图，正方形中，E、F分别为边上的点，且，过F作，交于G，过H作于M，若，则下列结论中：
①；②；③，其中结论正确的是( )
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
14．（2021·广东深圳·中考真题）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2021·广东深圳·三模）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
17．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ．
18．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，， ，点，分别在边，上，且，为的中点，当的值最大时，的值为 ．
19．（2024·广东深圳·模拟预测）在中，，点E为边上的中点，连接，已知点F为的中点，连接并延长，交于点D．若，则的值为 ．
20．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，的长为6，点E是边上的动点，连接，将菱形沿着折叠，将菱形沿DE折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．连接，延长交于点F，连接，若为直角三角形，且时，的长为 ．
21．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，P为线段AD上一个动点，过P做，垂足为G，连接BP，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．
22．（2024·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ．
23．（2024·广东深圳·二模）如图，在矩形中，是的中点，过点E作的垂线交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为 ．
24．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则 ．
25．（2024·广东深圳·一模）如图，在中，，，垂足为D，，，过点E作交于点F，连接，且满足，则的值为 ．
26．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．
27．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
28．（22-23九年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点是的中点，点是线段上动点，点在线段上（不与点重合），且，点在边上，，，，当时，则 ．
29．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
30．（2022·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=2，则OE= ．
31．（2022·广东深圳·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若，，．则AF长为 ．
32．（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝ ．
33．（2021·广东深圳·二模）如图，在和中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，，则 ．
三、解答题
34．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
35．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，E是线段上一动点，连接，在下方作，且．
(1)求证：；
(2)如图2，P、Q分别是和的中点，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)连接，交于G，若，请作出图形，并求CG的长．
36．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
图1 图2 图3 图4
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_________.
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：.
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，求的值.
37．（2023·广东深圳·一模）在矩形中，．点是直线上的一点，点是直线上的一点，且满足，连接交于点．
(1) ；
(2)如图，当点在上，点在线段的延长线上时，
①求证：；
②求证： ；
(3)如图2，当点在的延长线上，点在线段上时，与相交于点．
①这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当，时，请直接写出的长．
38．（2023·广东深圳·二模）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率．如图1，在中，，顶角的张率记作底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义 的张率，例如，，，请根据材料，完成以下问题：
如图2，是线段上的一动点（不与点，重合），点，分别是线段，的中点，以，，为边分别在的同侧作等边三角形，，，连接和．
(1)【理解应用】①若等边三角形，，的边长分别为，，，则，，，三者之间的关系为 ；
② ；
(2)【猜想证明】如图3，连接，，猜想的值是多少，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图4，连接，，若，，则的周长是多少？此时的长为多少？（可直接写出上述两个结果）
39．（2023·广东深圳·二模）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．
(1)若，
①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；
②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；
(2)如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．
40．（2023·广东深圳·一模）(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取）
A．正方形 B ．菱形 C．矩形
(2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
41．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
42．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；
(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长；
(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．
43．（2024·广东深圳·模拟预测）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则 °．
如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．
如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．
44．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
45．（2024·广东深圳·一模）在菱形中，，，动点M在射线上运动．
(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．
46．（2024·广东深圳·二模）在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接 ．
【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；
【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：
【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．
47．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点D的坐标为，动点E沿边从A向O以每秒的速度运动，同时动点F沿边从O向C以同样的速度运动，连接、交于点G．
(1)试探索线段、的关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接、，分别取、、、的中点H、I、J、K，则四边形是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．
(3)如图②当点E运动到中点时，点M是直线上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2024·广东深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点为的三等分点时，请直接写出的值．
49．（2024·广东深圳·一模）已知，在中，，．
(1)【模型识别】：
如图1，已知点在边上，，，连接．求证：；
(2)【类比迁移】：
如图2，已知点在下方，，，连接．若，，，交于点，求的长；
(3)【方法应用】：
如图3，已知点在上方，连接和，与相交于点，若，，，求的面积．
50．（23-24九年级下·广东深圳·期末）已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
51．（23-24九年级上·广东深圳·期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
(1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：；
(2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
(3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）．
52．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，将沿着折叠，点B落在点C点处，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合）连接，将边绕点D顺时针旋转得到射线，使，射线交边于点E，过点A作交射线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)点D在边上运动的过程中，若（如图2）求点F到的距离．
53．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则 °．
〖特例探究〗如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．
〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．
〖拓展探究〗如图4，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
54．（23-24九年级上·四川成都·期中）中，，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．
(1)如图1，当时，求证：线段；
(2)如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，求线段的长．
55．（23-24九年级上·广东深圳·期中）问题背景：如图（1），在矩形中，过作于，交于，图中与相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图（2），在四边形中，，点为上一点，过点作交的延长线于点，交于点，求证：．
拓展创新：如图（3），在四边形中，，，，点，分别在边，上，连接，．若，求的值．
56．（2023·广东深圳·三模）（1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点．
小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点．
（2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长；
（3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
57．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，在中，的角平分线交边于点D，甲、乙两人想作菱形，使得E、F两点分别在边和边上，他们的作法如下：甲：作的中垂线分别交、于点E、F，连接、，则四边形即为所求；乙：分别作交边于点E，交于点F，则四边形即为所求；
(1)对于两人的作法，你认为：______
A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明（作图无须用尺规）；
(2)如图2，菱形中，过点F作，垂足为点G，若点G是的中点，，求的长．
58．（2023·广东深圳·二模）（1）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，延长至使得，延长交于点，求证：；
（2）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转至，且点落在上，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
59．（2023·广东深圳·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______；
(2)如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______；
(3)【证明与理解】如图3，在矩形中，，，，求的值；
(4)【知识点应用】如图4，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．
60．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
(1)求证：；
(2)如图3，若，，且旋转角为时，求的长；
(3)如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．
61．（22-23九年级上·广东深圳·期中）已知正方形，E为对角线上一点．
【建立模型】
(1)如图1，连接，，求证：；
【模型应用】
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②若G为的中点，且，求的长．
【模型迁移】
(3)如图3，F是延长线上一点，，交于点G，，请写出与之间的数量关系，并说明理由．
62．（22-23九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交ED的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，将 沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边上，连接．
①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．
63．（2022·广东深圳·模拟预测）【问题背景】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，EF＝AE，∠AEF＝90°，点G是射线BC上一点，求证：tan∠FCG＝1；
证明思路：取AB的中点K，连接EK，证明△AKE≌ECF，所以∠ECF＝∠AKE，又可证BK＝BE，所以∠BKE＝45°，可证∠FCG＝45°，从而结论成立；
(1)【类比证明】在上例中，如图2，如果点E是边BC上与点B不重合的任意一点，其余条件不变，上述结论仍成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)【深入探究】如图3，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，AB＝kAD，AE＝kEF，∠AEF＝90°，点G是射线BC上一点，则tan∠FCG＝ ；
(3)【拓展应用】如图4，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点E是边AC上与A不重合的任意一点，AB＝kAC，BE＝kEF，∠BEF＝∠BAC，AE＝3，EC＝2，点G是射线AC上一点，若CF∥EB，请直接写出此时k的值．
64．（2022·广东深圳·二模）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点. 小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形. 请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC=6，BE=2，求BP的长.
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG=2BG，BC=6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE= x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
65．（2022·广东深圳·二模）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
(1)【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当∠BEF＝25°，则∠FE ＝_____°．
(2)【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE＝2 F．
(3)【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式．
(4)【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
66．（2021·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是________；
（2）在（1）的基础上，求四边形的面积；
（3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点M，交于点N，连接，求的周长．
67．（2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，过点作的延长线于点，垂足为点，，，，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；过点作，交于点．当点、中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段也停止运动，连接．解答下列问题：
(1)当 时，点为的中点．
(2) ．
(3)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式．
(4)是否存在某一时刻，使得点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
68．（2024·广东深圳·二模）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点在直线上，，交直线于点．请直接写出线段的长．
69．（2024·广东深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．
70．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A C D D C A
题号 11 12 13 14 15
答案 B D D B C
1．B
【分析】过点作于点，过点作交于，连接，首先解得，，结合，可得，根据平行线分线段成比例定理，可解得，进而证明四边形为平行四边形，可得；作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，由对称的性质可得，故当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得，，，的值，由轴对称的性质可得的值，证明，由相似三角形的性质解得，进而可得，理由勾股定理分别解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，过点作交于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，如图，
由对称的性质可得，
∴，
∴当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，
∵为的中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴在和中，
，，
∴
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数，垂线段最短，作于点，证明，得到，即得，推导出是等边三角形，得到，，由得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作于点，则，
∵， ，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．D
【详解】先利用勾股定理求出的长，再过点作 的垂线，利用勾股定理可求出的长，最后过两点作的垂线，求出垂线段的长即可解决问题，利用图形的旋转得出全等三角形及过点作的垂线构造直角三角形是解题的关键．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
解得，
∴，
过点作的垂线，垂足为，与交于点，
∵由绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
在中， ，
分别过点作的垂线，垂足为，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质及矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数，综合性强，难度大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4．A
【分析】①由折叠的性质和线段垂直平分线的性质得出是等边三角形，①正确；
②设，则，求出，再求出即可得出②正确；
③分别求出的面积和正方形的面积得出③错误；
④证明得出④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
由折叠的性质得：垂直平分，，，，，，
∴，
∴，即是等边三角形，①正确；
设，则，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，②正确；
∵的面积，
正方形的面积，
∴，③错误；
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∴，④正确；
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明是解决问题的关键．
5．A
【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案．
【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：
则，设正方形边长为，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
6．C
【分析】本题是考查了全等、相似、勾股定理的综合性题目，难度较大，合适选择辅助线是解答此题的关键．
①设交于O，在上截取，使得，连接，作于，证明，求出即可证明；
②根据题意证明，通过勾股定理求出，即可判断结论；
④根据求出，从而求出的值，即可计算三角形的面积；
③证明，根据相似三角形的性质求出各线段长，即可证明结论；
⑤根据勾股定理求出的长，即可判断结论．
【详解】解：如图，设交于O，在上截取，使得，连接，作于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故结论①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，故结论②正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，故结论③正确；
在中，，
，
，
，故结论⑤错误；
综上所述，正确结论有①②③④共4个．
故选：C．
7．D
【分析】根据正方形的性质，结合已知条件证明，即可判断①，根据，得出，进而得出 ，即可判断②，证明为的中位线，即可判断③，证明，即可判断④，进而即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，，
则，
，
，
，故②正确；
，
，又，
，又 ，
为的中位线，
，，
；故③④正确；
，
，在中， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
8．D
【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，证明，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和相似三角形的性质分析求解，从而证明③和④．
【详解】解：在菱形中，，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故②正确；
∵在菱形中，，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴，
∴在菱形中，，
又∵，
∴，
∴，
∴
由②已证，
设，
∴，，
∴，故③正确；
由③已知，
设，
∴，
∴在中，，
在中，，
，
在中，，，
∴，
∴在中，，
又由②③已证，，，
设，则，
∴，解得（负值舍去），
∴，
∴，故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
9．C
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【详解】解：在正方形中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
在正方形中，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
则四边形的面积是正方形面积的，故③正确；
过点作，交于点，如下图：
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，故④正确；
由，设，则
，，，
过点作，如下图：
∵，
∴，
∴，
在中，，故⑤错误；
综上，正确的个数为4，
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
10．A
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由，得△ABF∽△CEF，可知，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正确；
即同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），
∵四边形ABCD是菱形，AB=30，
∴，AB=DC=30，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵DE=10，
∴，
即，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
等边三角形的面积公式推导如下：
正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∵△BCF≌△DCF（SAS），
∴，
∵DE=10，CE=20，
∴，故③正确；
连接BD交AC于O，
根据菱形的性质有：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD，
∵，
即设CF=2x，则AF=3x，AC=AB=CD=5x，
∴，则，
∵根据菱形的性质有∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ODC=30°，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴，
∴，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
11．B
【分析】①利用AAS证明△ABF≌△DAH，从而得证AF=DH，即①正确；由△ABF≌△DAH得出BF=AH，从而得证OH=OF，继而推出∠OHF=∠OAB=45°，故HFAB，最后利用平行于同一直线的两直线平行得出HFCD，即②正确；③过点E作EP平行AC交BD于P，可证，，故从而等到，，继而推导出，即③错误；④由可知OH=OD，故DH=OH，所以，即④正确，由此推出正确答案．
【详解】解：①∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，∠ABF=∠DAH=45°，AB=DA，OA=OB=OC=OD，
又∵DG⊥AE，
∴∠AFO+∠OHG=180°．
又∵∠OHG=∠AHD，∠AFO+∠BFA=180°，
∴∠BFA=∠AHD．
∵∠BFA=∠AHD，∠ABF=∠DAH=45°，AB=DA，
∴△ABF≌△DAH（AAS），
∴AF=DH， 即①正确；
②∵△ABF≌△DAH，
∴BF=AH，
∴OB-BF=OA-AH，
即OH=OF，
∴∠OHF=∠OAB=45°，
∴HFAB，
又∵ABCD，
∴HFCD，即②正确；
③EC＝2BE，如图，过点E作EP平行AC交BD于P，
则有，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即③错误；
④∵OH=OF，，
∴OH=OF =OB=OD，
∴DH==OH，
∴，即④正确；
故正确的有：①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，正弦的定义，高相等的三角形的面积之比等于底边长度之比等知识点，难度较大，掌握相关基础知识是解题的关键．
12．D
【分析】设，根据折叠的性质得，，根据轴对称的性质得出，即可判断①，从而得出 ,，继而判断②，设，则，解,即可判断③，分别求得即可判断④．
【详解】解：设，根据折叠的性质得，，
四边形是正方形，则，
，
设正方形的边长为，则，
MN是正方形ABCD的对称轴，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，
,，
，，
△FGM∽△DEG；故②正确，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
，
故③不正确；
，
，
，
，
，
，
故④正确
故①②④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角，相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
13．D
【分析】①根据∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB，得到∠BGF=∠AEB，根据SAS证明△ABE≌△CBF，得到∠AEB=∠CFB，即可得到∠BGF=∠CFB；②将△DFH绕点D顺时针旋转90°，得到△DEN，证明N，E，H三点共线，根据DH=HN即可得到答案；③连接EF，证明EF=，BE=BF= ,根据求出，根据求出，即可得到答案．
【详解】①∵正方形ABCD中，AB=BC=9，∠A=∠C=90°，且AE=CF=3，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠CFB=∠AEB，
∵FG⊥BE，
∴∠BHG=90°，
∴∠BGH+∠ABE=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠BGH=∠AEB，
∴，正确；
②∵AD=CD，AE=CF，
∴DE=DF,
将△DFH绕点D顺时针旋转90°，得到△DEN，点F的对应点为点E，
则∠HDN=90°，∠DFH=∠DEN，DH=DN，FH=EN，
∵∠EDF+∠EHF=180°，
∴∠DEH+∠DFH==180°，
∴∠DEH+∠DEN=180°，
∴N，E，H三点在同一条直线上，
∴∠N=∠DHN= (180°-∠HDN)=45°，
∴DH=HN=EH+EN=EH+FH，
∴，正确；
③连接EF，
∵AD=CD=9，AE=CF=3，，
∴DE=DF=6，
∴EF=，
∵，
∴，
设BH=x，则EH=BE-BH=，
∵，
∴，
∴，即，
∵HM⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴
故正确．
∴正确的结论为①②③，
故选D．
【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的判定定理和性质定理，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数定义．
14．B
【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解；
②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解；
③中先证明GECM，得到即可求解；
④中由得到，再由即可求解．
【详解】解：①∵，
∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，
∴∠GFB=∠EDC，
∵ABCD为正方形，E是BC的中点，
∴BC=CD，
∴，①正确；
②由①知，
又，已知，
∴()，
∴，
∴，
∵，，，
∴()，
∴，故②正确；
③∵，，
∴BE=ME，
且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边，
∴（），
∴，
∵，
∴，
由三角形外角定理可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④由上述可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．C
【分析】①由矩形的性质和特殊角三角函数可得和是等边三角形，进而可以判断；
②连接．由求得答案；
③利用完全平方公式变形，当且仅当时，等号成立，即可判断；
④根据已知条件证明，对应边成比例即可判断．
【详解】解：①∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，
∴和是等边三角形，
∴BD=2OA=2AB=8，故①正确；
②连接，由①知，
∵矩形的两边，，
∴，
∴，，
∴ ．
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴ ，
当且仅当时，等号成立，故③正确；
④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，
∴，
∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,
∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）,
∴AG：DM=5：6,，故④错误．
综上所述，其中正确的结论有①②③，3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等边三角形的判定与性质，灵活运用矩形的性质，特殊角的函数值，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
过点C作垂足为M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/
【分析】过点F作于点G，交于点H，由矩形的性质得，可证明，，则，求得，由折叠得，，，则，所以，由，得，则， ，求得，再证明，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：过点F作于点G，交于点H，如图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了三角形全等的性质及判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
过点 作 且，连接，取 的中点，连接，．先证明，再证明出，在，利用勾股定理及三角函数的概念得到，的关系，再证明即可求得答案．
【详解】如图，过点 作 且，连接，取 的中点，连接，．
∵，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，则，
根据勾股定理，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即 的最大值为．
此时，，三点共线，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：
19．/
【分析】本题主要考查本题考查了相似三角形的性质、直角三角形相关定理、锐角三角函数、中点的解题策略等知识点．掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
如图：过点C作交的延长线于点G，先证明可得，再根据中点的定义可得，进而得到；设可得，再证可得，过点E作于点H，易得，运用勾股定理可得，最后代入求出比值即可．
【详解】解：如图：过点C作交的延长线于点G，
∵点E是中点，
∴,
∵，，
∴，
∴,
∵
∴，
∴
∵点F为的中点，
∴，
∴,
∵
∴设，
∴
∵,
∴,
∴,即，
过点E作于点H，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．/
【分析】过点作直线的垂线，垂足为点过点于点，先证明，得到，，则，在中，解直角三角形得，，在中，由勾股定理得，，解得：，在中，，同上可求：，则，在中，由勾股定理得，．
【详解】解：过点作直线的垂线，垂足为点过点于点，
设，由题意得，
由折叠知，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴,
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠知，
∴，
设，则，
在中，,，
∴在中，由勾股定理得，，
解得：，
在中，，
同上可求：，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
21．
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，在动点问题中找出界点是解题关键．先根据题意确定最小时点的位置，随着动点而动，它的运动轨迹是平行于的直线，所以当垂直于时，即、、三点共线时的值最小，然后根据锐角三角函数求出相应线段的长即可解答．
【详解】解：延长至，使得，连接，如图：
易得，
，，
设，
，是定角，
在定直线上运动，
，，
，，
当最小时，有最小值，
当时，有最小值，
，
，
，
，解得，
，
，
，
，
，即的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
22．
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
，
，
，
设，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
点是边上的三等分点，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点，
，
，
，
，
故答案为：．
23．/
【分析】设，，根据矩形性质和勾股定理可得，再证得，可得，，进而可得，再由，可得，得出，联立得，求得，再证得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，设，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质及勾股定理是解题的关键．过点作于点G，根据角平分线的性质得：，利用平行线的性质及三角函数正切值得，进而得，在中，根据，得，利用勾股定理得，，利用相似三角形的判定及性质得，，进而得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点G，如图：
∵平分，
∴，
∵，
，
，
，D是中点，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
根据勾股定理，得，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
25．
【分析】由题意得，，证明，则，即，可得，设，则，，，则，设，则，由勾股定理得，，可求，，由勾股定理得，，如图，作于，则，，，，可得，则，可求，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
如图，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，正切，勾股定理是解题的关键．
26．
【分析】根据，设，过作交于，根据，设，，根据可得，，再延长、交于点，即可得到，求出，，然后根据得到，可以求出，最后求出即可．
【详解】过作交于，延长、交于点，
∵
∴设，
∵，
∴设，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴,
∵矩形，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
整理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系．
27．
【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．
作于点M，于点N，则，
过点G作于点P，
∵于点M，
∴，
设，则，，
又∵，，
∴，，，
∵，即，
∴，，
在中，，，
设，则
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
化简得：，
∴，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
28．
【分析】过点作，交于，交于，设，，则，，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，同理得到，推出，解方程即可得到结论．
【详解】解：过点作，交于，交于，
∴，，
∵四边形是矩形，，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
设，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的判定等知识点．正确作出辅助线是解题的关键．
29．
【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
∴当点P在上时，的最小值为的长，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴,
∴，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键．
30．
【分析】在CA上截取CF=CE，先证明△COE≌△COF，再证明△AOD≌△AOF，得到OD=OE，作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，可证△OCM∽△DCN，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】在CA上截取CF=CE，
∵CD平分∠BCA，∠AC B =90°，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，
在△COE和△COF中
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵EF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=15°，
∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．
∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO
=180°-(∠BAC+∠ACA)
=180°-(180°-60°)
=120°，
∴∠AOF=120°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOF，
在△AOD和△AOF中
，
∴△AOD≌△AOF（ASA），
∴OF=OD，
∴OE=OE．
作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，
∴∠CMO=∠CND=90°，
∵∠OCM=∠DCN，
∴△OCM∽△DCN，
∴．
∵sinB=， BD=4，
∴DN=2，
∵OC=2，∠OCM=45°，
∴CM=OM=2，
∴，
∴OE=OD=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
31．
【分析】如图，延长AF交DC的延长线于点G，过点G作于点H，由四边形ABCD是平行四边形得 ， ，进而证明，再计算得，，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长AF交DC的延长线于点G，过点G作于点H，
四边形ABCD是平行四边形，，，
，，，
， ，
E为CD中点，连接BE，F为BE中点，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定及性质和勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
32．
【分析】先联立方程求出点A坐标，由AD＝BD得CO⊥AB，由OC＝3OD得点C坐标，再通过tan∠OAH＝tan∠COH求出点C坐标而求解．
【详解】解：联立方程，
解得，，
∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），
∵A，B关于原点对称，
∴O为AB中点，
又∵AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CO⊥AB，
又∵AH⊥x轴，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，
∴∠OAH＝∠COH，
作CE⊥x轴于点E，
∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，
∴点C横坐标为﹣3，
∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝ ，
∴CE＝OE＝ ，
∴点C坐标为（﹣3，），
∴k＝﹣3×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．
33．
【分析】根据直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形相似的性质计算
【详解】如图，连接EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=60°，
∴△BAC∽△DAE，
∴AC：AE= AB：AD，
∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠EAC=∠BAD，
∴△EAC∽△DAB，
∴AD：AE= BD：EC=AB：AC，
∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB：AC=tan60°=，
∴AD=AE，BD=EC，
∵∠EFA=∠CFD，∠ACB=∠AED=60°，
∴△EFA∽△CFD，
∴EF：CF= FA：FD，
∵∠EFC=∠AFD，
∴△EFC∽△AFD，
∴DF：CF= AD：EC，
∵DF=3FC，
∴AD=3EC，
∴AD：BD=3EC ：EC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，灵活运用三角形相似的判定，特殊角的三角函数值是解题的关键．
34．（1）证明见解析；（2）1；（3）
【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键．
（1）证明，，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，作，得到，证明，，证明，得到，则，作于W，设，则，得到，得到，解方程即可；
（3）在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，证明是等边三角形，，，则，得到，同理（2）可得，
，则，作于V，则，得到，则，，得到，，得到，进一步即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图1，
在上截取，连接，作，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于W，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，，
同理（2）可得，
，
∴，
作于V，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
35．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由，得到，又，从而得证；
（2）根据三角形中位线定理得到，根据得出，从而得出；
（3）作于Q，设，在直角三角形中，根据勾股定理求出，然后解斜三角形即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，，
，，
，
即，
P、Q分别是和的中点，
；
（3）解：如图1，
作于Q，
，
设，
则，
，
在中，
，
，
如图2，作于H，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
在中，，
，
，
由得，
，
，
，
如图3，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
36．（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】（1）利用证明即可；
（2）证明即可；
（3）过点作交的延长线于点，可证四边形为矩形，即可推出；证即可；
（4）作，连接交于点，连接交于点，由可得，设，可求出；由可求，即可求解．
【详解】（1）解：设与的交点为点，如图：
故答案为：
（2）解：设与的交点为点，如图：
故答案为：
（3）证明：过点作交的延长线于点，如图 ：
∴四边形为矩形
即：
（4）作，连接交于点，连接交于点，如图：
在中，
设
解得：（舍去）
【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的判定于性质、三角函数等知识点．需要学生具备扎实的几何基础．
37．(1)
(2)①详见解析；②详见解析
(3)①成立；②
【分析】（1）由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）①过点作，交于点，则．证明，由全等三角形的性质可得出答案；②设，则，由勾股定理得出 ，由平行线分线段成比例定理得出 ，则可得出答案．
（3）①过点作交于，证，得出；②过点作交于，则，，，则 ，求出，，， ，证明，得出，求出 ， ， ，再证明，得出 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：矩形中，，，
，
故答案为：；
（2）①证明：过点作，交于点，则．
四边形是矩形，
．
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
②证明：设，则，
中，根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①成立；
过点作交于，如图所示：
则，，，
，
在和中，，
，
，
，
，
又，
∴，
②∵，
，
，，
，，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．
38．(1)①；②
(2)，见解析
(3)周长为，的值为4或8
【分析】（1）①利用中点的定义，证明，可得结论；②证明，可得结论；
（2）猜想：，如图中，连接证明，可得结论；
（3）证明，可得，如图中，过点作交的延长线于点求出的值，再利用对称性解决问题即可．
【详解】（1）解：①点，分别是线段，的中点，
，，
，，
，
即，
②由题意得，，，
，
同理，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：猜想：．
理由：如图中，连接．
点是的中点，，都是等边三角形，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
；
（3）解：，
，
同理可证：，
，
，，
，
点，分别是线段，的中点，等边三角形，，的边长分别为，，，
，，，
，，
，
．
如图中，过点作交的延长线于点．
，，
，，
在中，，
，
，
由对称性可知，，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
39．(1)①见解析；②或
(2)
【分析】（1）①由，得平行四边形是菱形，推出为等边三角形，得到，再证明得到，即可得到结论；
②作于，则，由， ，得到，推出，列得，由此求出，再分当落在左侧时，；当落在右侧时，；
（2）作，且，连接，证明，得到，再证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差．
【详解】（1）①在平行四边形中，， 平行四边形是菱形，
平分
，
为等边三角形
，
在菱形中，
则
，
为等边三角形．
②作于，则
在中，，
在，
，
，
∵，
，
当落在左侧时，
当落在右侧时，
综上，的长度是或；
（2）如图，作，且，连接，
在中，，，平分，
∴ ，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，得，，
∴，
当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，
∴两者之差为
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确理解各判定和性质是解题的关键．
40．(1)C
(2)①证明见详解；②；
【分析】（1）根据可得，结合 可得，，再根据平移得到，可得，即可得到答案；
（2）①根据平移可得，，即可得到四边形是平行四边形，根据，结合根据勾股定理可得，即可得到证明；②根据，即可得到，结合即可得到，根据
可得，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴四边形的形状为矩形，
故选C；
（2）①证明：∵平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．
41．（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
42．(1)见解析
(2)
(3)的值为或
【分析】（1）由四边形是正方形，则，，由翻折的性质得，，，由旋转的性质得，，，，，证明，则，进而可证；
（2）由四边形是菱形，是对角线，，可得 ，，由翻折的性质得，，，，，由旋转的性质得，，则，即是的平分线，证明，则．，如图2，连接，证明，则，由，可得，进而可求的长；
（3）由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
由翻折的性质得，，，
由旋转的性质得，，，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，，
由翻折的性质得，，，，，
由旋转的性质得，，
∴，即是的平分线，
又∵，
∴，
，
，
，
∴．
∴，
如图2，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，
由翻折的性质可知，，，
∴，
由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解；
①当在点右侧，时，如图3，
设，则，，
由勾股定理得，，
∴；
②当在点左侧，时，如图4，
设，则，，
由勾股定理得，，
同理①，；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键．
43．25；见解析；
【分析】图1：由余角的性质和折叠的性质可求解；
图2：由“”可证，可得，，由锐角三角函数可求解；
图3：由“ ”可证，可得，，由锐角三角函数可求解；
【详解】解：如图1，，，
，
将沿直线折叠后，点落在点处，
，
；
如图2，证明：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图3，解：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
44．（1）成立；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；
（2）根据正方形性质得出即可；
（3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
又∵，
∴,
∴
∵,
∴,
故结论成立；
（2）证明：如图2，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）线段的长为cm
理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N，
又∵四边形为菱形,且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴
∵,
∴，
∴
∴,
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴cm，
∴ ，
∴线段的长为 ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键．
45．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）可证得，从而，进而得出 ；
（2）连接，交于点O，作于点F，先求出，，，，设，则，可证得，从而，从而得出，求得x的值，进一步得出结果；
（3）分为两种种情形：当点G在上，且时，同样得出点A、B、G、M共圆，从而，，进而得出和设，作于H，作于点N，可求得
， ，从而表示出，，，根据列出，进而求得结果当时，作于点H，可得出和设，表示出，，根据列出，求得x的值，进一步得出结果；可判定出，进而得出结果．
【详解】（1）证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ；
（2）解：如图1，
连接，交于点O，作于点F，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x1=， （舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图2，
当点G在上，且时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴点A、B、G、M共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
作于H，作于点N，
由得，
AN=，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，
当时，作于点H，
由上知：，
∴，
设，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
当点G在的延长线上时，，
∴，
∴，
∴，
综上所述： 或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出相等关系列方程．
46．探究发现：见解析 能力提升：或 拓展应用：
【分析】探究发现：根据矩形的性质得到，然后得到，然后利用证明即可；
能力提升：分、和三种情况，分别解题即可；
拓展应用：过点作于点，可得到，然后可得点F、Q重合即可解题．
【详解】探究发现：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴；
能力提升：当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，设，连接，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在中，，即，
解得或（舍）；
当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，舍去；
当时，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴点D和E重合，
∴；
故当或时，是等腰三角形；
拓展应用:过点作于点，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴点F、Q重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
47．(1)，，理由见解析
(2)四边形HIJK是正方形，补全图形见解析，理由见解析
(3)存，点N的坐标为或或或
【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得出，，进而得出，即可得出结论；
（2）根据中位线定理，推出，结合，，即可得出结论；
（3）易得，，根据菱形的性质进行分类讨论： ①当是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，与互相垂直平分，则M为的中点，先求出点M的坐标，根据M和N关于对称，即可解答；②当是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，（Ⅰ）若M在y轴的左侧时，通过证明，得出，设，则，，在中，求出x的值，即可解答；（Ⅱ）若M在y轴的右侧时，推出，设，则，在中，由勾股定理求出y的值，即可解答．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
综上：，；
（2）解：四边形是正方形．理由如下：
如图①所示：
∵H、I、J、K分别是、、、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（3）解：存在，理由如下：
∵四边形为正方形，点D的坐标为，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，；
分情况讨论：如图②所示：
①当是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，与互相垂直平分，则M为的中点，
∴点M的坐标为，
∵点M和N关于对称，
∴；
②当是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，
（Ⅰ）若M在y轴的左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴，，，
∴；
（Ⅱ）若M在y轴的右侧时，
由①得：N的坐标为；
作于P，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，，
∴，
综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中点四边形，菱形是判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出图形解答．
48．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定进行推理证明；
（1）证明，列出比例证明即可；
（2）作交延长线于W，证，再利用三角函数求解即可；
（3）作交于P，然后分类讨论，根据相似求出比值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：作交延长线于W，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴．
（3）解：作交于P，
当时，
∴，，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴．
当时，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当点D为的三等分点时，的值为或6．
49．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）证明四边形为正方形，则，，在中， ，在中，，进而求解；
（3）延长，交于，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，得出 ，求出 ，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
；
（2）解：延长和交于点，
同（1）可知，
，，
，
，
，
又，，
故四边形为矩形，
而，
故四边形为正方形，
在中，
，
则，，
在中， ，
在中，，
故；
（3）解：延长，交于，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
50．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）可得出，，从而得出结论；
（2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得，
从而得出；
（3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
不妨设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当时，即，
设，
分别延长，，分别交于，交于，
，
、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
同理可得：，
，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
51．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则，根据，可得；
（2）如图（2），连接，交于，由（1）可知，，则，证明四边形是平行四边形，则，由为菱形，，可得，，，如图（2）作于，则，，然后计算求解即可；
（3）由勾股定理得，，如图（3），连接，作于，同理（2）可知，，证明，则，求得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图（2），连接，交于，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形，
∴，
∵为菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
如图（2）作于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵为矩形，；，
由勾股定理得，，
如图（3），连接，作于，
同理（2）可知，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
52．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）通过导角证明，利用折叠的性质得出，即可证明；
（2）解求出，，通过证明，得出，求出，再根据推出，代入数值即可求出的长；
（3）过点F作于点M，过点A作于点H，则四边形是矩形，通过证明，得出，通过得出，进而求出，再证求出，最后根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵将沿着折叠，点B落在点C点处，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点F作于点M，过点A作于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴得，，
又，
∴，
∴，
∴，
即点F到的距离为．
【点睛】本题考查主要相似三角形的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理等，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识点，从图中找出相似三角形．
53．〖问题背景〗25
〖特例探究〗见解析
〖深入探究〗
〖拓展探究〗
【分析】
〖问题背景〗由余角的性质和折叠的性质可求解；
特例探究〗由“”可证，可得，，由锐角三角函数可求解；
〖深入探究〗由“ ”可证，可得，，由锐角三角函数可求解；
〖拓展探究〗设，，可得，通过证明，可得，可求解．
【详解】
〖问题背景〗解：，，
，
将沿直线折叠后，点落在点处，
，
，
故答案为：25；
〖特例探究〗证明：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
〖深入探究〗解：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
〖拓展探究〗解：如图4，在上截取，连接，在上截取，连接，
四边形是菱形，，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
设，
，，
，，
，
，
，
将沿直线折叠后，当点恰好落在上时，
，，，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
设，，
，
，，
，
，
，
，（负值舍去），
，，
．
又∵，
∴．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
54．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）如图1，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接，先求，再由线段垂直平分线的性质得，则，然后证 ，进而得出结论；
（3）过作于，由等腰三角形的在得，则，分两种情况，①当在上时；②当点在上时；证，得，分别求解即可．
【详解】（1）（1）连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，连接，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
，
在中，，
，
，
；
（3）过作于，
∵，，
，
，
，
①当在上时， 如图， 连接，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，在的左侧，
，
∵ ,
∴,
∴,
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，
，
即 ，
解得: ；
②当点在上，如图，连接，
同①可得，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．
55．问题背景：，证明见解析；尝试运用：见解析；拓展创新：
【分析】（1）根据相似三角形判定：两角分别对应相等的两个三角形相似，求证即可；
（2）如图（2），作平行线，由同旁内角互补证明，即可证得是平行四边形，，再由相似三角形的判定，证明，得到，即，即可证明；
（3）如图（3），过点作于点，连接、交于点，根据线段垂直平分线逆定理，得垂直平分，再由证得，进而得到，再根据三角函数找到与的关系即，利用勾股定理得，列方程求得，，的值，由三角形面积公式得到的关系，然后计算出的值，即可由计算出答案．
【详解】问题背景：解：，证明如下：
四边形是矩形，，
，
，
．
尝试运用：证明：如图（2），过点作，交于点，
则，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
拓展创新：解：如图（3），过点作于点，连接、交于点，
，，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，矩形的性质，平行四边形的判定与性质及三角函数等，熟练掌握相关知识及合理添加辅助线利用数形结合思想是解题关键．
56．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）延长交于点，则由折叠可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明；
（2）延长交于点，由折叠可知点是的中点、，结合得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由，得到，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长；
（3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助（1）（2）的思路求解．
【详解】解：（1）证明：如图①，延长交于点．
由折叠可知，，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）如图②，延长交于点，
由折叠可知，点是的中点，，
，
，
是的中位线，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
；
（3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，
①如图③，当点在上时，延长交于点，
由（1）可得，，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图④，当点在上时，延长交于点，则，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型．
57．(1)A
(2)
【分析】（1）运用菱形的判定定理分别对甲、乙的作法进行判断即可；
（2）由题意和菱形的性质可知，利用三角函数得出，再根据角平分线得到，作于点，利用三角函数得出，进而得出答案．
【详解】（1）①甲的作法：
证明：如图，
垂直平分，
，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形，
所以甲的作法正确；
②乙的作法：
证明：如图，
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
为菱形，
所以乙的作法正确；
综上所述，甲、乙都对，故选A．
（2）解：如图，
四边形为菱形，
，
为中点，
，
，
，
，
平分，
，
作于点，
，
，
，
四边形为菱形，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定、平行线的性质、三角函数等知识点，属于综合题，熟练掌握各个定理是解题的关键．
58．（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）利用证明≌，得到，再通过等量代换和三角形内角和公式可证出结论；
（2）过点作，证明，在中，求出即可；
（3）分和两种情况讨论．过点作交的延长线于点，过点作于点，然后在，，中利用三角函数或勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
；
（2）解：将绕点顺时针旋转至，且点落在上，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，，
，
设，，
则，
在中，
，，
，
解得：，或舍去，
，
，
；
或．
理由如下：
以为腰的等腰三角形有两种情况：
，如图：
过点作交的延长线于点，过点作于点，
则，
，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，
，
在中，
；
，如图：
过点作交的延长线于点，过点作于点，
由知：，，，
设，
则，
在中，
，
，
解得，
即，
，
在中，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，一元一次方程方程及其解法，一元二次方程及其解法，解题还涉及分类讨论，构建直角三角形，利用好勾股定理是解题的关键．
59．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正方形的性质，互余的性质，证明即可；
（2）根据矩形的性质，互余的性质，证明即可；
（3）如图3，过点作，垂足为，根据矩形的性质，互余的性质，证明即可；
（4）过点作于点，连接交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可．
【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）如图，四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（3）如图，过点作，垂足为，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：．
（4）解：过点作于点，连接交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，设，则，
，
，
（负值舍去），
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，方程组，三角函数，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键．
60．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转得到，根据等边得到即可得到证明；
（2）根据，得到，过点E作于点F，根据旋转角得到，得到，再根据正切计算即可得到答案；
（3）根据可得，，结合可得，根据得到，，，即可得到，从而得到即可得到，，得到，即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵绕点A顺时针旋转，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
；
（2）解：∵，，
∴，
过点E作于点F，
∵旋转角为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形行的性质，三角形全等的性质与判定及三角函数，解题的关键是根据三角形全等得到角相等边相等，结合角度得到等角．
61．(1)见解析
(2)①为等腰三角形，理由见解析；②
(3)，理由见解析
【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论；
（2）①根据（1）证明出；②过点F作于H，先求出，，进而求出,最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，,即可判断出结论．
【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①为等腰三角形，理由：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②
如图，过点F作于H，
∵四边形为正方形，点G为的中点，，
∴，，
由①知，，
∴，
∴，
在与中，∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由（1）知，，
由（2）知，，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键．
62．(1)1
(2)
(3)见解析
(4)①，②
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点C作交AF的延长线于点H，证明，列出比例式，证明结论；
（4）①过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，根据正切的定义得到，②根据勾股定理分别求出，根据三角形的面积公式求出，再计算即可．
【详解】（1）解：如图1，设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
（2）解：如图2，设与交于点G，
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点H，
∵，
∴
∴四边形为矩形，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：①如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，
∵
∴
∴
∴，
由对折可得：
在中，
∴，
在中，
∴，
设，则，
∵
∴，
∴（负值中小学教育资源及组卷应用平台
2024年九下三角函数与相似压轴
一、单选题
1．（2024·深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
2．（2024·深圳·二模）如图，在四边形中，，，是线段上一点(不与点重合)，，连接，交于点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·深圳·一模）如图，矩形中，，，点在边上，连接，．将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·深圳·模拟预测）将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，，，则得下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2024·深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（22-23九下·深圳·开学考试）如图，正方形中，，点E是延长线上的一点，点分别为边上的点，且，连接，过点M作与的平分线交于点F，连接分别与交于点G、H，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有个．（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·深圳·三模）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则 ；③ ；④；⑤若 ， ，则的面积为．正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连接交于点F，交于点G．于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④则上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（22-23九年级上·深圳·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022·深圳·二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．（2022·深圳·三模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC上一点，且EC＝2BE，连接AE，交BD于点F．过点D作DG⊥AE，交AC于点H，连接HF，则下列结论正确的是（ ）
①AF＝DH；②HFCD；③；④．
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．②④
12．（2022·深圳·二模）如图，MN是正方形ABCD的对称轴，沿折痕DF，DE折叠，使顶点A，C落在MN上的点G．给出4个结论：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
13．（2022·深圳·二模）如图，正方形中，E、F分别为边上的点，且，过F作，交于G，过H作于M，若，则下列结论中：
①；②；③，其中结论正确的是( )
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
14．（2021·深圳·中考真题）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2021·深圳·三模）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．（2024·深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
17．（2024·深圳·模拟预测）如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ．
18．（2024·深圳·模拟预测）如图，在中，， ，点，分别在边，上，且，为的中点，当的值最大时，的值为 ．
19．（2024·深圳·模拟预测）在中，，点E为边上的中点，连接，已知点F为的中点，连接并延长，交于点D．若，则的值为 ．
20．（2024·深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，的长为6，点E是边上的动点，连接，将菱形沿着折叠，将菱形沿DE折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．连接，延长交于点F，连接，若为直角三角形，且时，的长为 ．
21．（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，P为线段AD上一个动点，过P做，垂足为G，连接BP，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．
22．（2024·深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ．
23．（2024·深圳·二模）如图，在矩形中，是的中点，过点E作的垂线交于点，对角线分别交，于点，，当时，则的值为 ．
24．（2023·深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则 ．
25．（2024·深圳·一模）如图，在中，，，垂足为D，，，过点E作交于点F，连接，且满足，则的值为 ．
26．（2022·深圳·模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．
27．（2023·深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．
28．（22-23九下·深圳·期中）如图，在矩形中，点是的中点，点是线段上动点，点在线段上（不与点重合），且，点在边上，，，，当时，则 ．
29．（22-23九年级上·深圳·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
30．（2022·深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=2，则OE= ．
31．（2022·深圳·二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若，，．则AF长为 ．
32．（21-22九年级上·深圳·期中）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝ ．
33．（2021·深圳·二模）如图，在和中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，，则 ．
三、解答题
34．（2024·深圳·二模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长．
35．（23-24九年级上·深圳·期中）如图1，矩形中，，，E是线段上一动点，连接，在下方作，且．
(1)求证：；
(2)如图2，P、Q分别是和的中点，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)连接，交于G，若，请作出图形，并求CG的长．
36．（23-24九年级上·深圳·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
图1 图2 图3 图4
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_________.
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：.
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，求的值.
37．（2023·深圳·一模）在矩形中，．点是直线上的一点，点是直线上的一点，且满足，连接交于点．
(1) ；
(2)如图，当点在上，点在线段的延长线上时，
①求证：；
②求证： ；
(3)如图2，当点在的延长线上，点在线段上时，与相交于点．
①这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当，时，请直接写出的长．
38．（2023·深圳·二模）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率．如图1，在中，，顶角的张率记作底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义 的张率，例如，，，请根据材料，完成以下问题：
如图2，是线段上的一动点（不与点，重合），点，分别是线段，的中点，以，，为边分别在的同侧作等边三角形，，，连接和．
(1)【理解应用】①若等边三角形，，的边长分别为，，，则，，，三者之间的关系为 ；
② ；
(2)【猜想证明】如图3，连接，，猜想的值是多少，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图4，连接，，若，，则的周长是多少？此时的长为多少？（可直接写出上述两个结果）
39．（2023·深圳·二模）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．
(1)若，
①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；
②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；
(2)如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．
40．（2023·深圳·一模）(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取）
A．正方形 B ．菱形 C．矩形
(2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
41．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
42．（23-24九下·深圳·阶段练习）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；
(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长；
(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．
43．（2024·深圳·模拟预测）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则 °．
如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．
如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．
44．（2022·深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
45．（2024·深圳·一模）在菱形中，，，动点M在射线上运动．
(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．
46．（2024·深圳·二模）在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接 ．
【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；
【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：
【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．
47．（2024·深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点D的坐标为，动点E沿边从A向O以每秒的速度运动，同时动点F沿边从O向C以同样的速度运动，连接、交于点G．
(1)试探索线段、的关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接、，分别取、、、的中点H、I、J、K，则四边形是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．
(3)如图②当点E运动到中点时，点M是直线上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2024·深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点为的三等分点时，请直接写出的值．
49．（2024·深圳·一模）已知，在中，，．
(1)【模型识别】：
如图1，已知点在边上，，，连接．求证：；
(2)【类比迁移】：
如图2，已知点在下方，，，连接．若，，，交于点，求的长；
(3)【方法应用】：
如图3，已知点在上方，连接和，与相交于点，若，，，求的面积．
50．（23-24九下·深圳·期末）已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
51．（23-24九年级上·深圳·期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
(1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：；
(2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
(3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）．
52．（23-24九年级上·深圳·阶段练习）如图，在中，，，将沿着折叠，点B落在点C点处，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合）连接，将边绕点D顺时针旋转得到射线，使，射线交边于点E，过点A作交射线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)点D在边上运动的过程中，若（如图2）求点F到的距离．
53．（23-24九年级上·深圳·阶段练习）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则 °．
〖特例探究〗如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．
〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．
〖拓展探究〗如图4，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
54．（23-24九年级上·四川成都·期中）中，，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．
(1)如图1，当时，求证：线段；
(2)如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，求线段的长．
55．（23-24九年级上·深圳·期中）问题背景：如图（1），在矩形中，过作于，交于，图中与相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图（2），在四边形中，，点为上一点，过点作交的延长线于点，交于点，求证：．
拓展创新：如图（3），在四边形中，，，，点，分别在边，上，连接，．若，求的值．
56．（2023·深圳·三模）（1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点．
小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点．
（2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长；
（3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
57．（23-24九年级上·深圳·期中）如图1，在中，的角平分线交边于点D，甲、乙两人想作菱形，使得E、F两点分别在边和边上，他们的作法如下：甲：作的中垂线分别交、于点E、F，连接、，则四边形即为所求；乙：分别作交边于点E，交于点F，则四边形即为所求；
(1)对于两人的作法，你认为：______
A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明（作图无须用尺规）；
(2)如图2，菱形中，过点F作，垂足为点G，若点G是的中点，，求的长．
58．（2023·深圳·二模）（1）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，延长至使得，延长交于点，求证：；
（2）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转至，且点落在上，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
59．（2023·深圳·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______；
(2)如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______；
(3)【证明与理解】如图3，在矩形中，，，，求的值；
(4)【知识点应用】如图4，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．
60．（22-23八年级下·深圳·期中）如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
(1)求证：；
(2)如图3，若，，且旋转角为时，求的长；
(3)如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．
61．（22-23九年级上·深圳·期中）已知正方形，E为对角线上一点．
【建立模型】
(1)如图1，连接，，求证：；
【模型应用】
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②若G为的中点，且，求的长．
【模型迁移】
(3)如图3，F是延长线上一点，，交于点G，，请写出与之间的数量关系，并说明理由．
62．（22-23九年级上·深圳·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交ED的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，将 沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边上，连接．
①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．
63．（2022·深圳·模拟预测）【问题背景】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，EF＝AE，∠AEF＝90°，点G是射线BC上一点，求证：tan∠FCG＝1；
证明思路：取AB的中点K，连接EK，证明△AKE≌ECF，所以∠ECF＝∠AKE，又可证BK＝BE，所以∠BKE＝45°，可证∠FCG＝45°，从而结论成立；
(1)【类比证明】在上例中，如图2，如果点E是边BC上与点B不重合的任意一点，其余条件不变，上述结论仍成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)【深入探究】如图3，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，AB＝kAD，AE＝kEF，∠AEF＝90°，点G是射线BC上一点，则tan∠FCG＝ ；
(3)【拓展应用】如图4，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点E是边AC上与A不重合的任意一点，AB＝kAC，BE＝kEF，∠BEF＝∠BAC，AE＝3，EC＝2，点G是射线AC上一点，若CF∥EB，请直接写出此时k的值．
64．（2022·深圳·二模）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点. 小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形. 请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC=6，BE=2，求BP的长.
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG=2BG，BC=6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE= x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
65．（2022·深圳·二模）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
(1)【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当∠BEF＝25°，则∠FE ＝_____°．
(2)【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE＝2 F．
(3)【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与F之间的数量关系式．
(4)【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
66．（2021·深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是________；
（2）在（1）的基础上，求四边形的面积；
（3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点M，交于点N，连接，求的周长．
67．（2024·深圳·三模）如图，在平行四边形中，过点作的延长线于点，垂足为点，，，，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；过点作，交于点．当点、中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段也停止运动，连接．解答下列问题：
(1)当 时，点为的中点．
(2) ．
(3)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式．
(4)是否存在某一时刻，使得点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
68．（2024·深圳·二模）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点在直线上，，交直线于点．请直接写出线段的长．
69．（2024·深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．
70．（2024·深圳·模拟预测）综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．
