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2024年九年级下二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2022·广东深圳·二模）对于抛物线，下列说法中错误的是( )
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数y的最小值为
2．（2022·广东深圳·二模）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
3．（2022·广东深圳·三模）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东东莞·一模）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广东深圳·一模）华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
6．（22-23九年级下·广东深圳·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·广东深圳·三模）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点
C．当时，y取得最小值，且最小值为6 D．当时，y的值随x值的增大而减小
8．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于x的方程的所有实数根的和为4
9．（22-23九年级上·安徽六安·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断（，，，为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广东深圳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·广东深圳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（23-24九年级上·湖北鄂州·期中）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）
A． B． C． D．
15．（20-21八年级下·湖南长沙·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数的最大值是4
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于的方程的所有实数根的和为4
17．（23-24九年级上·山东威海·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
20．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8
23．（2023·广东深圳·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，函数与的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
25．（2023·广东深圳·二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，的取值范围为
26．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
27．（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．③④
28．（22-23九年级下·广东深圳·期中）已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是( )
A． B．
C． D．关于x的方程无实数根
29．（2023·广东深圳·二模）二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：
①；②；③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
30．（2023·广东深圳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．， B．
C． D．时，不等式一定成立
31．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论：
①；
②；
③方程的两个根是，；
④方程有一个实根大于；
⑤当时，随增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
32．（2023·山东济南·三模）一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B． C． D．
33．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
34．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
35．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）二次函数 的图象如图所示，其与 轴交于点 、点 ，下列4个结论：①；②； ③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是 （ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
36．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
37．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·广东深圳·一模）已知二次函数经过点、和，若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
40．（2024·广东深圳·二模）平面直角坐标系中，点A在x轴上，以为边向x 轴下方作，，，将抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)，点 A 的坐标为，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2021·广东深圳·三模）如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论：
①；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
42．（2024·广东深圳·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．若分式有意义，则
B．将抛物线向左平移1个单位，得到抛物线的图象
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．到三角形三边距离相等的点是三边角平分线的交点
43．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B． C． D．
44．（2024·安徽合肥·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
46．（2024·广东深圳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．若甲、乙两组数据的方差，，则甲组数据比乙组数据稳定
C．线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则
D．二次函数的顶点在x轴
47．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
48．（2021·广东深圳·一模）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
49．（2022·广东深圳·一模）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（2021·广东深圳·一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
51．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
52．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ）
A． B． C．或 D．或
53．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
55．（2023·广东深圳·模拟预测）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
56．（20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ．
57．（20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ．
58．（2022·广东深圳·一模）抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ．
59．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是
60．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
61．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线的表达式为 ．
62．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
63．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
64．（2021·广东深圳·三模）抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为 ．
65．（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为 ．
66．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：①∠CBG=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2=BH HD；④若AB=4，连接CG，则△ECG的面积最大值为1．你认为其中正确结论的序号是 ．（填写序号）
67．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．若在直线上方的抛物线上存在点，使，则点的坐标为 ．
68．（23-24九年级下·广东深圳·自主招生）若x为全体实数，则函数与的交点有 个．
69．（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）若抛物线的图象与轴仅一个交点，则的值为 ．
70．（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）的最小值为 ．
71．（2022·广东深圳·二模）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，且BE＝BC＝10，作∠EBC的平分线交CD于点G，CG＝5，F为BC上的一点，H为CG上的一点，且EF⊥BH，给出以下结论，其中正确的结论有 ．（将你认为正确结论的序号都填上）
①GE＝GC；
②△ABE的面积为24；
③EF：BH＝3：4；
④连接FH，则FH的最小值为．
72．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过做 ，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题
73．（20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度．
74．（2022·广东深圳·模拟预测）现在电商行业较火的带货平台一般都是附带着可以直播的购物平台，李杰在抖音上销售某种购入成本为40元/件的特产，如果按照60元/件销售，每天可以卖出100件．通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．设售价为x元/件，日利润为w元．
(1)若日利润保持不变，李杰想尽快销售完这批特产，每件售价应定为多少元？
(2)每件的售价定为多少元时，李杰所获得的日利润最大？最大利润为多少？
75．（22-23九年级上·广东深圳·期末）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5
销售量y（千克） 1000 900 800 700
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）.
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
76．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
77．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元；（用含x的代数式表示）
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
(3)如何降价，商场可获得最大利润？
78．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)求出它的图象与x轴的交点坐标．
(3)在直角坐标系中，画出它的图象．
(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
(5)根据图象说明：当x为何值时，
79．（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．
80．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
81．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．
此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．
任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．
任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．
任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门．
注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．
82．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
83．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
84．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽为，高OC为．
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系求出最右边一条灯带安装点的横坐标．
85．（2024·广东深圳·模拟预测）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线；
(1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
(2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施；
(3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？
86．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
87．（2024·广东深圳·模拟预测）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）．
(1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 （填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点．
(2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由．
(3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
88．（2024·广东深圳·模拟预测）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．
请根据以上信息解决下列问题：
(1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式．
(2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ；
(3)现要对入口处进行加固，如图所示：
方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上；
方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？
89．（2024·广东深圳·三模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．
（米） 0 1 2 3 4
（米）
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求．（结果保留一位小数）．
90．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
91．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线解析式．
(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
92．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是线段的中点，连结并延长与抛物线交于点，求点的坐标．
93．（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
94．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等．
(1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？
(2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？
95．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由．
96．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）先用描点法画出抛物线函数图像，并回答以下问题
(1)列表
x
y
(2)函数的开口方向____，顶点坐标是______，对称轴是________，当时，y随x的增大而增大；当_____ 时，y有最______值，这个值是______．
97．（2024·广东深圳·模拟预测）【阅读理解】
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点．
【问题解决】
(1)求二次函数的零点值；
(2)若二次函数有两个零点，则实数k的取值范围；
(3)若二次函数两个零点都是整数点，请直接写出整数k的值___________．
98．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米．
(1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长；
(2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由；
(3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由．
99．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】
项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．
素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒．
素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
任务—：理解与计算
（1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒．
（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米．
任务二：应用与推理
（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时）
任务三：设计与分析
（4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．
100．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动．
素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示）
任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米
任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A A D D D B D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B D B C C D A B A D
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 A B B C D D B B C D
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 A B B C C C A A C B
题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
答案 C D A B A D D D A C
题号 51 52 53 54 55
答案 A B B B B
1．D
【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，函数y的最大值为，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．B
【分析】利用平移的性质，结合“左加右减，上加下减”解题即可．
【详解】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为,
即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的性质以及平移与抛物线解析式的关系，熟练掌握平移“左加右减，上加下减”求解析式是解决本题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数的图像判断a、b、c的正负，再根据函数性质判断图像即可得到答案；
【详解】解：由二次函数的图像可得，
，，，
∴，
根据，，即可得到一次函数图像过一二四象限，
根据，可得反比例函数图像过二四象限，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，一次函数图像性质，反比例函数图像性质，解题的关键是熟练掌握图像性质．
4．A
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解．
【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示，
根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，
故选:A．
【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．
6．D
【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案
【详解】解：二次函数的解析式为，
二次函数与轴的交点为，
故B、C选项错误，不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
7．D
【分析】对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为，
∴当时，函数取得最大值，故选项C错误，不符合题意；
又∵抛物线的图象开口向下，
∴图象与x轴有2个交点，
故选项B错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
8．D
【分析】由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确．
【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A、B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
9．B
【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．
10．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、 ，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、 ，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．B
【分析】根据函数的图像与轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：∵函数的图像与轴的交点就是方程的根，
∴函数的图像与轴的交点的纵坐标为，
由表中数据可知：在与之间，
∴对应的的值在与之间即．
故选：B．
【点睛】本题考查求一元二次方程的近似根．掌握函数的图像与轴的交点就是方程的根的关系是解题的关键．
12．D
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误．
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
13．B
【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④．
【详解】解：①观察图形可知，，故①正确；
②设池底所在抛物线的解析式为，
将代入，可得，
故抛物线的解析式为；故②正确；
③，
当时，，
故池塘最深处到水面的距离为，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12时，
将代入，得，
可知此时最深处到水面的距离为，
即为原来的，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
14．C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，
水面宽为：，
故选C．
15．C
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键．
【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意；
B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意；
D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意；
故选：C．
16．D
【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴，
故A错误；
由图象可得，函数没有最大值，故B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D正确，
故选：D．
17．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
18．B
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数图象的综合判断；解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质．
【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意；
B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意；
C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意；
D、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意；
故选：B．
19．A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可．
【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位，
∴，
∵抛物线向下平移3个单位，
∴，
故选：A．
20．D
【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系．
根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可．
【详解】对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，
，
，
，故C选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故D选项正确，
故选：D．
21．A
【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限，
∴，
∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限，
符合的图象为A，
故选A．
22．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴右侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，．
二次函数，对称轴在轴右侧，
∴
．
∴．
．
∵，抛物线开口向上，
二次函数有最小值为：．
故选：B．
23．B
【分析】二次函数的部分图像过点，由此可知，对称轴为直线，根据顶点坐标公式则有，即，由此即可用含有的式子表示，，因为图像开口下，所以，由此即可求解．
【详解】解：∵二次函数的部分图像过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，由对称性可知，当和时函数值相同，即
∴当时，，
即
故结论②正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴
故结论③错误；
∵由对称可得对称点为，
根据在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴
∴结论④错误．
综上所述，正确的有①②．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的对称性，根据题意用二次项系数表示一次项系数和常数项是解题的关键．
24．C
【分析】由图象可得，，，，抛物线与直线的交点坐标为，，则，进而可判断A的正误；根据二次函数当时，，可判断B的正误；将代入，可判断C的正误；根据当时，，判断D的正误即可．
【详解】解：由图象可得，，，，抛物线与直线的交点坐标为，，
∴，
∴，A错误，故不符合要求；
当时，，即，B错误，故不符合要求；
将代入得，，即，C正确，故符合要求；
当时，，即，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．D
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：由 ，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
A.当时，，所以，二次函数与轴总有两个交点，说法正确，故选项A不符合题意；
B.当时，对应点为，关于对称轴对称的点为，即；当时，图象在和之间，所以，，故选项B说法正确，不符合题意；
C.若，则，当时，则两点连线的中点在对称轴右侧，所以，，故选项C说法正确，不符合题意；
D.当 时，，当时，最高点为，所以，，故选项D说法错误，符合题意，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题．
26．D
【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
．
，
∵，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
27．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
28．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A、C进行判断；根据时，，可对B进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故A、C正确，不合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴时，，
即，
故B错误，符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值n，
∴抛物线与直线无交点，
∴一元二次方程无实数根，
故D正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次是图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，能够把求二次函数 (a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
29．C
【分析】根据抛物线的开口向下、对称轴、时，，结合二次函数图象性质确定待定参数取值范围．
【详解】由图知抛物线开口向下，故，对称轴
∴
∴，故①正确；
点A，B关于对称，故点B的横坐标
∴
∴，故②错误；
由得
由图知，抛物线与直线恒有两个交点，所以有两个不相等实数根，故③正确；
时，
∴
∴
∴，
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线图象性质，对称轴，方程组解与图象的关系；观察图形，灵活运用关键点及数形结合的思想是解题的关键．
30．D
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，所以不符合题意；
抛物线与轴有个交点，
，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线，
，
，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方，
当时，不等式一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
31．A
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴、以及与轴交点为，，分别判断出的符号，即可判断①；由对称轴为直线得，当时，，即可判断②；当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，，即可判断③；根据二次函数的性质以及已知条件结合对称轴可得，即可判断④，根据函数图象即可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴为直线，、异号，
，
与轴交点为，，
，
，故结论①是正确的；
由对称轴为直线得，
当时，，
，即，
又，，故结论②不正确；
当时，，即过，，抛物线的对称轴为直线，由对称性可得，抛物线过，，
方程的有两个根是；故③正确；
抛物线与轴的一个交点，且，由对称轴为直线，
另一个交点，，因此④是正确的；
根据图象可得当时，随增大而增大，因此⑤是正确的；
正确的结论有个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．B
【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A；
B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能；
C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能；
D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系．
33．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，再根据对称轴可判定b的正负，即可判定①；由抛物线与x轴有两个交点，则其对应一元二次方程的判别式大于零，可判断②；由图像可知当时，由图像可知，再结合函数解析式即可判定③；由图像可知，当时，由图像可知，即；当时，由图像可知，即，然后两式相加即可判定④；由题意可知：当时，函数有最大值，据此即可判定⑤．
【详解】解：①由函数图像可得：，由对称轴，即，则，则①错误；
②抛物线与x轴有两个交点，则其对应一元二次方程的判别式大于零，即，故②正确；
③由，则，当时，由图像可知，即，故③正确；
④由图像可知，当时，由图像可知，即；当时，由图像可知，即，两式相加可得，故④正确；
⑤由题意可知：当时，函数有最大值，即为最大，则，所以，即⑤正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解答本题的关键．
34．C
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，
对称轴在y轴左侧，左同右异，，
∴，一次函数与y轴正半轴有交点，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
35．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．根据对称轴的位置，判断①，对称性判断②，图象法确定方程的根的个数判断③，特殊点和对称轴判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
∴；故①正确；
由图象可知，函数图象与轴的一个交点的横坐标的范围，且图象与 轴交于点 ，
由对称性可知：；故②错误；
由图象可知：抛物线与直线有两个交点，
∴方程：有2个不相等的实数根；故③正确；
∵，
∴，
由图象可知，当，，即：，
∴；故④正确；
故选C．
36．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴有两个交点，可判断①；由对称轴为直线，可判断②；由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
【详解】根据图象可知：
函数与轴有两个交点，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，
该函数和轴的另一个交点为；
当时，，
故③错误；
开口向上，
，
，
，
，
故④正确．
故选：C．
37．A
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据，可得出，解得，进而可确定的取值范围，函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
38．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键，由这三个点在抛物线上的位置建立不等式求解，即可解决问题．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数对称轴为，
，
，
在，，这三个实数中，只有一个是正数，
，，
，
解得，
故选：A．
39．C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【详解】解：因为一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
所以方程无解，
原方程可整理为，
则，
即，
设，
结合函数图象得，
所以四个选项中的C选项符合题意．
故选：C．
40．B
【分析】本题考查了二次函数的平移，含角的直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握基本知识点是解决本题的关键．
先配方出顶点，则，解求出，即可求解．
【详解】解： ，
∴设顶点为D，则 ，
过点D作x轴垂线交于点E，交x轴于点F，
即，，则，
∴在中，由得，
∴，
要使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)，
则D在线段之间（不包括端点），
∴，
故选：B．
41．C
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图像与性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图像上点的坐标特征．根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与轴的交点位置即可判断②；根据抛物线的顶点坐标和函数图像交点与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的增减性即可判断出④；从而得解．解题的关键在于根据顶点坐标表示出、的关系及掌握二次函数的性质．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线的图像与轴的交点在原点上方，
∴，
∴，故结论①错误；
由图像可知：抛物线的图像与轴的一个交点在，之间，
∴当时，，即，
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵顶点坐标为，
∴函数最大值为，
∴抛物线有唯一的解，
∴当时，其图像与抛物线的图像有两个交点，
即关于的一元二次方程有两个不相等实数根，故结论③正确；
∵，且，
∴，
∵抛物线的图像关于对称且开口向下，当时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
∴，故结论④正确，
综上所述，结论正确的是②③④共个．
故选：C．
42．D
【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，二次函数的平移，反比例函数的性质，角平分线性质定理逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
A、根据分式和二次根式有意义的条件即可求解；B、根据二次函数左右平移规律为“左加右减”求解；C、根据反比例函数性质求解；D、根据角平分线性质定理逆定理即可求解．
【详解】解：A、若分式有意义，则，解得，故本选项不符合题意；
B、将抛物线向左平移1个单位，得到抛物线的图象，故本选项不符合题意；
C、对于反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
D、由角平分线的性质定理逆定理可得到三角形三边距离相等的点是三边角平分线的交点，故本选项符合题意．
43．A
【分析】本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为，，三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出，两段，用排除法解决．
【详解】分析平移过程，
①从开始出发至与点重合，由题意可知，如图，
则，
过点作于点，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴与的函数关系是正比例函数；
②当，即从与重合至点与点重合，如图，
由①可得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
此函数图象是开口向下的二次函数；
③当，即从点与点重合至点到达终点，如图，
由①可得，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数关系是一次函数，
综上，只有选项A的图象符合，
故选：A．
44．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
45．A
【分析】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取的中点F,连接
根据题意得到和，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当时，得，结合三角形面积公式求解即可；（2）当时，得，，和，结合；（3）当时，点、都在上，结合和求面积即可．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，
，
点、是中点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
当时，点在上，点在上，，
；
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
；
如图，当时，点、都在上，
，
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
46．D
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等知识．
根据中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等逐项判断即可．
【详解】解：A、顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形；故此选项不符合题意；
B、若甲、乙两组数据的方差，，则，所以乙组数据比甲组数据稳定；故此选项不符合题意；
C、线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则，，故此选项不符合题意；
D、二次函数的顶点为，所以顶点在x轴上，故此选项符合题意；
故选：D．
47．D
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项．
【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为．
①当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点Q作于点E，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点C作于点F，则为中边上的高．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点P作于点M．
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴．
由题意得：．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
48．D
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对D进行判断．
【详解】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
故B正确；
C．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故C正确；
D．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：0＜x1＜1，
故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质，准确识图，从图中获取准确信息，熟练运用数形结合思想．
49．A
【分析】通过解方程x2 2x 3=0得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y=(x 1)2 4( 1【详解】解：当y=0时，x2 2x 3=0，解得x1= 1，x2=3，则A( 1,0)，B(3,0)，
y=x2 2x 3=(x 1)2 4，则顶点坐标为(1, 4)，
把图象y=(x 1)2 4( 1如图，
当直线y=x+b与y= x2+2x+3( 1方程整理得x2 x+b 3=0，，解得，
，
舍去；
当直线y=x+b过A( 1,0)时， 1+b=0，解得b=1，
当直线y=x+b过B(3,0)时，3+b=0，解得b= 3，
所以，当 3故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．
50．C
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∴2a+3=-a，
∵抛物线开口向下，则a<0，
∴2a+3=-a＞0，
∴a>-，故B正确；
C．点A关于x=1对称的点是A (3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA 与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA +AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A (3,0)，
∴AB=，BA =，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
51．A
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．
52．B
【分析】当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况讨论即可，求出与之间的函数关系式是解题的关键．
【详解】由图、 图可知，当时，点与点重合；
当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，如图作，交的延长线于点，则 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当 时，则 ，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
解得，
∴，
当时， 则，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，运动时间为，
故选：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，
53．B
【分析】连接，为的中位线，则要使最大，即要使最大，根据圆的性质得，当、、三点共线时，最大，求出此时的值即可求解．
【详解】解：如图，连接，
依题得，为中点，
为中点，
为的中位线，
即，
当最大时，则最大，
由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大，
，
，，，
，
又圆半径为，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、二次函数的图像与性质、圆的性质、勾股定理，解题关键是合理添加辅助线，善用“中点”解题．
54．B
【分析】过点F作的垂线交的延长线于点H，则，设，可得出面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立面积与长度的函数关系式是解题的关键．
【详解】过点F作的垂线交的延长线于点H，
∵矩形中，，点G绕点E逆时针旋转得到点F，
∴，
∴，，
∴，
∵的中点G，
∴，
∴，
设，，
∴，，,
∴
故面积的最小值为，
故选B．
55．B
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象有恰有一个公共点．
图1
∴当时，，即，解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
图2
∵经过点，
∴当时，，即，解得．
∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图3
当射线正好经过点时，
即当时，即，解得．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图4
∵经过，
∴．
∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是或．
故选：B．
56．y＝﹣2（x+1）2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5﹣2，
即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点睛】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
57．
【分析】根据题意可知一元二次方程只有一个解．再利用根的判别式即可得出b的值．
【详解】根据二次函数的顶点在x轴上，说明该二次函数与x轴只有一个交点，
即一元二次方程只有一个解．
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
58．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律求出平移后抛物线的表达式，即可求解．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式是，
所以平移后抛物线的顶点坐标是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
59．/
【分析】写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．
60．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．
【详解】解：由题知，抛物线的开口向上，且对称轴是直线，
∴函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
61．
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：，
顶点的坐标为，
令，则，
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：．
62．/
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：，
顶点的坐标为，
令，则，
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：．
63．4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令得，，
所以函数的图象与y轴的交点坐标为．
方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点．
如图所示，
当时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
64．
【分析】反向思考即可得到原抛物线的解析式，即把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线．
【详解】∵抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到
∴把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线
∴
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，关键是反向思考，另外掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
65．
【分析】先求出直线AB的解析式，然后根据P点特征，设出坐标，得到M，N的坐标，然后根据两点间距离公式列出二次函数表达式，从而利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为：，
将A（0，4），B（3，0）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∵点P在线段AB上，
∴设P点坐标为，其中，
∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，
∴，，
∴根据两点间距离公式得：，
整理得：，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
即：此时，有最小值，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数法求线段的最值，准确根据题意建立二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
66．①②④
【分析】①由∠CBD=∠GBE=45°，可知∠CBG=∠DBE；
②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，从而得到△ABF∽△DBE；
③由∠BEH=∠EDB，∠EBH=∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；
④设EC=x，则DE=4-x，证明△BCG∽△BDE，求得CG=(4-x)，得到GI =(4-x)，根据三角形面积公式以及二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△CBD和△GBE都是等腰直角三角形，
∴∠CBD=∠GBE=45°，
∴∠CBG=∠DBE；∴①正确，符合题意；
②∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴，∠ABD=∠FBE=45°，
∴∠ABF=∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；
③∵∠BEH=∠EDB=45°，
∠EBH=∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴，
∴BE2=BD×BH，
∵BE=BG，
∴2BG2=BD BH，∴③错误，不符合题意；
④过点G作GI⊥DC并交DC的延长线于点I，如图：
设EC=x，则DE=4-x，
同理可证△BCG∽△BDE，
∴，∠BCG=∠BDC=45°，
∴CG=DE=(4-x)，△CGI是等腰直角三角形，
∴CI=GI=CG=(4-x)，
∴△ECG的面积=CE×GI=(x2-4x)=(x-2)2+1，
∵<0，
∴△ECG的面积有最大值，最大值为1，∴④正确，符合题意；
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
67．
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点的坐标，过点作轴交抛物线与点，过点作与于点，证明，得到，设，求出的值，即可得出点的坐标．
【详解】解：把，代入抛物线解析式，
则，解得，
故抛物线的解析式为．
令，解得或4，
，
，
如图，过点作轴交抛物线与点，过点作与于点，
轴，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
解得：或（舍）
，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求出抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
68．2/两
【分析】本题主要考查了绝对值函数的性质、一元二次方程的求解以及函数图像之间的交点判断，利用了分类讨论的思想，解题关键是根据x的取值范围去掉绝对值符号，整理成一般形式求解；根据二次函数的性质，分和两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x的值，确定交点个数即可．
【详解】对于
当时，，
，
解得：或；
当时，，
∴（舍去）或（舍去）；
综上所述：函数与的交点有2个，分别是 和．
故答案为：2．
69．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求代数式的值，根据抛物线的图象与轴只有一个交点，可以得到关于的方程，然后整理变形，即可求得所求式子的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵抛物线的图象与轴仅一个交点，
令时，即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
70．
【分析】此题考查了二次函数的最值．利用完全平方公式展开并合并同类项后，化为顶点式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：
，
，
∴当时，有最小值，
故答案为：770．
71．①②④
【分析】利用角平分线的定义求出，即可证明，可判断①正确；再通过矩形的性质证明，利用相似三角形的性质求出即可判断②正确；过点A作，交BC于M，交BH于N，先证明四边形AMFE是平行四边形，再证明，利用相似三角形性质即可判断错误；分别以BA、BC为y轴、x轴建立坐标系，可得，设，根据两点间距离公式表示出FH，利用二次函数求最值进行求解即可．
【详解】平分∠EBC
，故①正确；
四边形ABCD为矩形
，
，
设
解得
，故②正确；
过点A作，交BC于M，交BH于N
四边形ABCD为矩形
四边形AMFE是平行四边形
EF⊥BH
即，故③错误；
分别以BA、BC为y轴、x轴建立坐标系
设
整理得
即，则FH的最小值为，故④正确；
综上，正确的有①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、建立平面直角坐标系、两点间距离公式及二次函数的最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
72．
【分析】本题考查了二次函数的性质，在矩形中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点，过作于N，交于，由，则有，设，则，，，，通过两点间的距离得，然后根据最值即可求解，建立坐标系，构造关于的二次函数，利用二次函数的性质求解是解题的关键．
【详解】在矩形中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点，如图，
过作于N，交于，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴,
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴线段的最小值为,
故答案为：．
73．（1）；（2）；（3）线段的长为或
【分析】（1）先根据解析式，可得 ，再由，可求出，然后利用待定系数法，即可求解；
（2）过点作轴于点，根据题意可知：，，，由，可得，利用相似三角形的对应边成比例，可得，即可求出与的函数关系式；
（3）作轴于点，由（2）可得当时，有最大值，再由，可得， ，再利用勾股定理可求出，再由∽，可得，然后根据直线把的面积分成两部分，可得或，即可求解．
【详解】解：（1）对于直线，当时，，
∴ ，
∴，
∵
∴，
∴ ，
把代入，解得，
∴直线的解析式是；
（2）解：如图，过点作轴于点，
根据题意可知：，，
∴，
在中，，
∵，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得：
∴ ；
（3）解：由（2）可知，
∴当时，有最大值
则，，
如图，作轴于点，
由（2）知，
∴，即，
解得：， ，
∴，
在中，，
∴，
∵向右平移得到，
∴ ，
∴∽，
∴，
∴，
∵直线把的面积分成两部分，
∴或，
①当时，；
②当时，；
综中小学教育资源及组卷应用平台
2024年九年级下二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2022·广东深圳·二模）对于抛物线，下列说法中错误的是( )
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数y的最小值为
2．（2022·广东深圳·二模）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
3．（2022·广东深圳·三模）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·东莞一模）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东深圳·一模）华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
6．（23九下·深圳·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
7．（2023·广东深圳·三模）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点
C．当时，y取得最小值，且最小值为6 D．当时，y的值随x值的增大而减小
8．（22-23九下·深圳·）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于x的方程的所有实数根的和为4
9．（22-23九年级上·安徽六安·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断（，，，为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广东深圳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·广东深圳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（23-24九年级上·湖北鄂州·期中）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）
A． B． C． D．
15．（20-21八年级下·湖南长沙·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24九上·深圳·）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数的最大值是4
C．当直线与该图象恰有三个公共点时，则
D．关于的方程的所有实数根的和为4
17．（23-24九年级上·山东威海·期中）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
18．（23九上·深圳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
20．（23-24九下·深圳·开学考）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8
23．（2023·广东深圳·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，函数与的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
25．（2023·深圳·二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，的取值范围为
26．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
27．（2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．③④
28．（22-23九年级下·广东深圳·期中）已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是( )
A． B．
C． D．关于x的方程无实数根
29．（2023·广东深圳·二模）二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：
①；②；③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
30．（2023·广东深圳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．， B．
C． D．时，不等式一定成立
31．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论：
①； ②； ③方程的两个根是，；
④方程有一个实根大于； ⑤当时，随增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
32．（2023·山东济南·三模）一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B． C． D．
33．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
34．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
35．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）二次函数 的图象如图所示，其与 轴交于点 、点 ，下列4个结论：①；②； ③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是 （ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
36．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
37．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·广东深圳·一模）已知二次函数经过点、和，若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
40．（2024·广东深圳·二模）平面直角坐标系中，点A在x轴上，以为边向x 轴下方作，，，将抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)，点 A 的坐标为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·广东深圳·三模）如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论：
①；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
42．（2024·广东深圳·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．若分式有意义，则
B．将抛物线向左平移1个单位，得到抛物线的图象
C．对于反比例函数，y随x的增大而减小
D．到三角形三边距离相等的点是三边角平分线的交点
43．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B． C． D．
44．（2024·安徽合肥·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
45．（2024·深圳·三模）如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
46．（2024·广东深圳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．若甲、乙两组数据的方差，，则甲组数据比乙组数据稳定
C．线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则
D．二次函数的顶点在x轴
47．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
48．（2021·广东深圳·一模）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
49．（2022·广东深圳·一模）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（2021·广东深圳·一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
51．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点
E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
52．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ）
A． B． C．或 D．或
53．（23-24九下·深圳·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
55．（2023·广东深圳·模拟预测）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
56．（20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ．
57．（20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ．
58．（2022·广东深圳·一模）抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ．
59．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是
60．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
61．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线的表达式为 ．
62．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
63．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
64．（2021·广东深圳·三模）抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为 ．
65．（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为 ．
66．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：①∠CBG=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2=BH HD；④若AB=4，连接CG，则△ECG的面积最大值为1．你认为其中正确结论的序号是 ．（填写序号）
67．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．若在直线上方的抛物线上存在点，使，则点的坐标为 ．
68．（23-24九年级下·广东深圳·自主招生）若x为全体实数，则函数与的交点有 个．
69．（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）若抛物线的图象与轴仅一个交点，则的值为 ．
70．（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）的最小值为 ．
71．（2022·广东深圳·二模）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，且BE＝BC＝10，作∠EBC的平分线交CD于点G，CG＝5，F为BC上的一点，H为CG上的一点，且EF⊥BH，给出以下结论，其中正确的结论有 ．（将你认为正确结论的序号都填上）
①GE＝GC；
②△ABE的面积为24；
③EF：BH＝3：4；
④连接FH，则FH的最小值为．
72．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过做 ，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题
73．（20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度．
74．（2022·广东深圳·模拟预测）现在电商行业较火的带货平台一般都是附带着可以直播的购物平台，李杰在抖音上销售某种购入成本为40元/件的特产，如果按照60元/件销售，每天可以卖出100件．通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．设售价为x元/件，日利润为w元．
(1)若日利润保持不变，李杰想尽快销售完这批特产，每件售价应定为多少元？
(2)每件的售价定为多少元时，李杰所获得的日利润最大？最大利润为多少？
75．（22-23九年级上·广东深圳·期末）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5
销售量y（千克） 1000 900 800 700
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）.
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
76．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
77．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元；（用含x的代数式表示）
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
(3)如何降价，商场可获得最大利润？
78．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)求出它的图象与x轴的交点坐标．
(3)在直角坐标系中，画出它的图象．
(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
(5)根据图象说明：当x为何值时，
79．（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．
80．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
81．（2024·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．
此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．
素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．
任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．
任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．
任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门．
注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．
82．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
83．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
84．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）
如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽为，高OC为．
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系求出最右边一条灯带安装点的横坐标．
85．（2024·广东深圳·模拟预测）拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度为，拱顶C离地面高，拱桥的形状是一条抛物线；
(1)以的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
(2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施；
(3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为，竖直距离为，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？
86．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
87．（2024·广东深圳·模拟预测）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）．
(1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 （填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点．
(2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由．
(3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
88．（2024·广东深圳·模拟预测）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．
请根据以上信息解决下列问题：
(1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式．
(2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ；
(3)现要对入口处进行加固，如图所示：
方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上；
方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？
89．（2024·广东深圳·三模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．
（米） 0 1 2 3 4
（米）
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求．（结果保留一位小数）．
90．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
91．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线解析式．
(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
92．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是线段的中点，连结并延长与抛物线交于点，求点的坐标．
93．（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
94．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等．
(1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？
(2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？
95．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由．
96．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）先用描点法画出抛物线函数图像，并回答以下问题
(1)列表
x
y
(2)函数的开口方向____，顶点坐标是______，对称轴是________，当时，y随x的增大而增大；当_____ 时，y有最______值，这个值是______．
97．（2024·广东深圳·模拟预测）【阅读理解】
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点．
【问题解决】
(1)求二次函数的零点值；
(2)若二次函数有两个零点，则实数k的取值范围；
(3)若二次函数两个零点都是整数点，请直接写出整数k的值___________．
98．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米．
(1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长；
(2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由；
(3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由．
99．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】
项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．
素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒．
素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
任务—：理解与计算
（1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒．
（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米．
任务二：应用与推理
（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时）
任务三：设计与分析
（4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．
100．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动．
素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示）
任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米
任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
