四川省内江市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

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内江一中高2025届高三（上）半期数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（）
A. 1 B. 2 C. D. 5
3. 在等差数列中，若，则的值为（）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
4. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）
A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大
C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小
5. 已知，，则（）
A. B. 或
C. D. 或
6. 已知外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
7. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（）
A B. C. D.
8. 设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（）
A. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大
B. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小
C. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小
D. 这组数据的第75百分位数为181
10. 已知，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（）
A.
B. 若函数（）在上单调递减，则
C. 若，则的最小值为
D. 若函数在上存在两个极值点，则
非选择题部分（共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项为______．
13. 安排甲 乙 丙 丁 戊5名大学生去延安 宝鸡 汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______.
14. 若恒成立，则的取值范围为______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若向量与共线，求a，b的值.
16. 在校运动会上，只有甲 乙 丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲 乙 丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：；
乙：；
丙：.
假设用频率估计概率，且甲 乙 丙的比赛成绩相互独立
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设是甲 乙 丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望.
17. 已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
18已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，证明：；
（3）若，恒有，求实数的取值范围.
19. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
（1）若，（），证明：为递减数列；
（2）若，且，前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
内江一中高2025届高三（上）半期数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BCD
非选择题部分（共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】60
13.
【答案】150
14.
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换，得，结合的取值范围，即可求解；
（2）由与共线，得，得，再根据余弦定理列出方程，即可求解a，b的值.
【详解】（1）
，，，
，解得.
（2）与共线，，
由正弦定理，得，
，由余弦定理，得，
.
16.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式直接计算概率；
（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.
【小问1详解】
设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
【小问2详解】
设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，
，
，，.
所以其分布列为
0 1 2 3
期望.
17.
【解析】
【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；
（2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.
【小问1详解】
∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
【小问2详解】
由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，当时，
∵
∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
18.
【解析】
【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式；
（2）在题设条件下证明，是减函数，，再证明即得证；
（3）时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，由（2）得出时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论．
【小问1详解】
时，，
，
，又，
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
，
时，是递增函数，因此，，
又，所以，在上递减，
，
因为，所以，
从而；
【小问3详解】
，，
当时，，在上减函数，
当时，，因此不可能恒成立，
时，由得，
记，，
则有两个实根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根为，易知它是关于的减函数，
注意到在上是增函数，且，
即时，，时，，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
时，，此时，
记，在上递减，在上递增，且，
因此
当时，，，
当时，，，
综上，时，恒成立
所以的取值范围是．
19.
【解析】
【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；
（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．
【小问1详解】
证明：若，显然．
又，所以，，，，
所以，．
因为，，所以，
，所以，所以是递减数列．
【小问2详解】
①由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，6为公比的等比数列，
则．
②由①得，所以．
当时，，所以；
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
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