2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知两直线：，：，若，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
4.点关于直线对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.设，直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知，分别为椭圆：的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于，两点已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，下列结论正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是
B. 椭圆的短半轴长是
C. 经过椭圆焦点的最短弦长是
D. 椭圆的焦点坐标分别是，
10.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，若直线：与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是______．
13.已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一、第三象限分别交于点，，若，则的离心率的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且．
求椭圆的标准方程；
若，求的面积．
16.本小题分
已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且_____．
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答．
顶点；
；
．
求圆的标准方程；
若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值．
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点．
求证：平面；
若，且平面平面，求二面角的余弦值大小．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，，，，．
证明：平面平面．
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
若点是的动点，上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
求椭圆的方程；
点是椭圆上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
过点的直线交椭圆于，两点在的左侧，若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．
参考答案
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15.解：已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且，
则，，
所以，，
所以，
即椭圆的标准方程为．
已知，
则，
即，
又，
所以，
则．
16.解：若选：设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆过点，，圆心在直线上，即；
圆过点，，圆心在直线上，即，
圆的圆心为，半径，
圆的标准方程为；
若选：，是直角三角形，
的外接圆圆心为斜边的中点，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
圆的标准方程为；
若选：，圆心为边的中点，为圆的直径，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
圆的标准方程为；
依题意：，，
又，，即，
的最小值为．
17.证明：如图，取的中点，连接，，则，且，
因为是的中点，所以，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：由题意知，三棱柱的所有棱长都相等，则与都是等边三角形，所以，
取的靠近点的四等分点，取的中点，连接，，则，
由三棱柱的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，即，，，四点共面，
因为平面平面，平面平面，且平面平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
因为平面，所以为底面的一个法向量，
则，，
由图知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
18.证明：由平面，平面，平面，
得，， 与底面所成角为，
所以三角形为等腰直角三角形，，
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故AC，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则四边形为正方形，可得，
所以，在等腰直角三角形中，，
则有，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
因为是中点，是中点，所以，，
设平面的一个法向量为，
又，，
则有，取，则，
可得平面的一个法向量为，
而，
所以点到平面的距离为；
设，
注意到，所以，所以，
设，
注意到，所以，
因为，，
所以，，
若平面，则当且仅当，
即当且仅当，此时，
综上所述，当且仅当，重合，
此时存在，使平面．
19.解：由题意知点在上，
因为轴，设椭圆焦距为，则，
将代入中，得，
又在一象限，所以，所以，
因为，所以，解得，，
所以椭圆方程为；
由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设：，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个公共点，
则，即，
又：过，则，即，
将代入可得，，解得，则，
所以：，即得点为．
设原点，由，，
故，
从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为．
设，，，则，
则，
又由，
可得，
结合可得，，
又，，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故D轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号，
故线段的最大值为．
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