2024-2025学年江苏省宿迁市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.已知点与点关于直线对称，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若点，到直线的距离相等，则
C. 直线与轴一定相交
D. 若直线不过第二象限，则
10.设为实数，方程表示圆，则下列说法正确的有( )
A.
B. 若，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线对称，则
D. 无论取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
11.在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有( )
A. 轴 B.
C. 以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为实数，直线：，：，若，则的值为______．
13.圆上有且只有个点到直线的距离等于，则半径的取值范围为______．
14.如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求顶点，的坐标；
求的面积．
16.本小题分
设为实数，圆的方程为．
若圆和圆的公共弦长为，求的值；
若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程．
17.本小题分
已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆：的一条切线，为切点，过作直线：的垂线，垂足为．
求点的轨迹方程；
当、、三点共线时，求线段的长；
判断满足的点有几个，并说明理由．
18.本小题分
已知双曲线：的右顶点为，实轴长为，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形．
求双曲线的方程；
当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标；
当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程；
若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量设、为实数，直线：的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：由已知：，：，
则，解得，即，
设，则中点，
又点在直线上，点在直线上，
即，解得，即；
综上所述：，；
由得，
直线的方程为，
到直线的距离，
则．
16.解：圆的方程为，圆：；
两圆方程相减可得，，即两圆公共弦所在直线方程，
圆和圆的公共弦长为，圆心到直线的距离为，
所以，解得或，
所以实数的值为或．
过点的圆与圆相切，切点为，
可将点代入圆：，可得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的圆心为，半径为，
设圆的标准方程为，
因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线，
所以直线的方程为，即，
将点代入得，又点在圆上，
则，即，
由两式解得，，，，
所以圆的标准方程为．
17.解：由题意可知，动点到点的距离比到直线的距离小，可知，点到点的距离等于点到直线的距离，
点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程，
设其方程为，则，可得，点的轨迹方程为．
由过作圆：的一条切线，为切点，过作直线：的垂线，垂足为如图，当、、三点共线时，点，直线的方程为，
联立，解得，此时，点，
则，
，由勾股定理可得．
，由题意可得，
化简可得，
联立，可得，，
故满足条件的点有两个．
18.解：由题意得，
解得，
则双曲线的方程为；
易知双曲线的渐近线方程为，
当直线与平行时，
直线的方程为，
联立，
解得．
当直线与平行时，
直线的方程为，
联立，
解得，
所以直线与双曲线的交点坐标为或；
因为双曲线的渐近线方程为，
显然直线不与轴重合，
设直线的方程为，，，
直线的方程为，
当时，
解得，
即，
直线的方程为，
当时，
解得，
即，
所以以为直径的圆方程为，
当时，，
联立，消去并整理得，其中，
此时，且，，
由韦达定理得，．
所以
，
所以，
解得或．
则轴上存在定点或始终在以为直径的圆上．

19.解：由题意得，
解得，
则椭圆的方程为；
易知，
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
即，
若的面积最大，
此时点到直线的距离取最大值，
设，，
则点到直线的距离为，
因为，
所以，
当，即时，取得最大值，
此时，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
故当的面积最大时，直线的方程为；
若直线的方程为，
该直线的一个方向向量为，一个法向量为，
设直线与椭圆相切于点，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
即，
所以直线的一个法向量为，
，，
所以点在直线上的投影为，
点在直线上的投影为，
则．
故点，在直线上的投影数量的乘积为定值，定值为．
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