(共20张PPT)
分 式
第3讲
第一章 数与式
分式
分式
本课时在中考中基本上占3～8分，常考知识点有分式有意义的条件
和分式的化简求值（10年8考，2017年和2023年没考）.2020年（含）之
前对分式有意义的条件的考查都是融入到分式的化简求值中考查，2020
年后分式有意义的条件和分式的化简就变为单独考查了，其中分式有意
义的条件，近4年1考（2021年第11题），分式的化简，近4年3考.
考点 1 分式有意义及值为零的条件
例1 （2021河南）若代数式 有意义，则实数x的取值范围
是 .
x≠1
本题考查了分式有意义的条件.只要理解分式有意义的条件（分母
不能为零），然后计算即可.分式有意义的条件要和分式无意义及分式
的值为零的条件区分开，特别是分式的值为零，既要满足分母不等于
零，使分式有意义，又要满足分子等于零，不能丢条件.
分式有意义：
要使 有意义
→
分母不为零：
x－1≠0
求未知数的值：
x≠1
→
变式训练 （2023凉山）分式 的值为0，则x的值是（ A ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 0或1
A
考点 2 分式的化简及求值
例2 （2024河南）化简： ÷ .
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝a＋2.
本题考查了分式的化简.解答这类问题时，要注意以下几点：①当
分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分或通分；②整
式和分式进行运算时，可以把整式看成是分母为1的分式；③分式的混
合运算，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；④运
算的结果要化成最简分式或整式，分子、分母中有公因式的要进行约分
化为最简分式或整式.
跟踪训练 （2023河南）化简 ＋ 的结果是（ B ）
A. 0 B. 1 C. a D. a－2
B
下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
－
＝ － …第一步
＝ － …第二步
＝ － …第三步
＝ …第四步
＝ …第五步
＝－ .…第六步
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是
；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是
.
三
分
式的基本性质
五
括号前是“－”
号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
任务一：填空：
任务二：请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简.
解：原式＝
＝－ .
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时
还需注意的事项给其他同学提一条建议.
约分、通分时应根据分式的基本性质进行变形（答案不唯一，写出一条
即可）.
本题是分式化简的创新考法，要求考生对每一步的算理要理解透
彻，并能准确表述.本课时的常考点有：依据分式的基本性质约分、通
分，去括号法则，移项法则等.
素养落地 数学运算、归纳总结
跟踪训练 （2024乐山）先化简，再求值： － ，其中x＝3.
小乐同学的计算过程如下：
解： －
＝ － …①
＝ － …②
＝ …③
＝ …④
＝ .…⑤
③
当x＝3时，原式＝1.
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
解： －
＝ －
＝ －
＝
＝
＝ .
∴当x＝3时，原式＝ .
变式训练 （2023江西）化简（ ＋ ）· .下面是甲、乙两同
学的部分运算过程：
甲同学 解：原式＝[＋ ]· …
乙同学
解：原式＝ · ＋ · …
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填
序号）
①等式的基本性质； ②分式的基本性质；
③乘法分配律； ④乘法交换律.
②
③
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：选择甲同学的解法：
原式＝[＋ ]· ＝ ·
＝ ·
＝2x.
选择乙同学的解法：
原式＝ · ＋ ·
＝ · ＋ ·
＝x－1＋x＋1
＝2x.（任选一种即可）(共22张PPT)
整式与因式分解
第2讲
第一章 数与式
代数式
整式
整式
因式分解
因式分解
本课时在中考中基本上占3～8分，常考知识点有整式的运算和整式
的化简求值.其中整式的运算是高频考点（10年7考），多以选择题的形
式呈现，要求对整式的运算法则、幂的运算法则、乘法公式及因式分解
等非常熟练；整式的化简求值近10年仅2017年和2023年在第16题进行考
查，频次低于对整式的运算的考查，难度低于分式的化简求值.近两年
命题改革，也有了对列代数式（2023年第11题）、同类项（2024年第11
题）等知识的考查，难度均不大，但得分率并不高，这一变化同样引导
着我们在复习备考时不能只看往年考没考，而要看课标要求没要求.
考点 1 列代数式及代数式求值
例1 （2023河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共
需配发 套劳动工具.
3n
本题考查了列代数式，近10年河南省第一次考查此类问题.解题的
关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数.
跟踪训练 （2023深圳）已知实数a，b，满足a＋
b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为 .
变式训练 （2024广州）若a2－2a－5＝0，则2a2－4a＋1＝ .
【解析】∵a2－2a－5＝0，∴a2－2a＝5.∴原式＝2（a2－2a）＋1＝
2×5＋1＝11.故答案为11.
42
11
考点 2 整式的运算
例2 （2024河南）计算（ ）3的结果是（ D ）
A. a5 B. a6 C. D.
D
本题主要考查了有理数的乘方.解题的关键是熟练掌握乘方的意义
和幂的乘方法则.先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，
然后根据幂的乘方法则进行计算即可.
A. 2 － ＝2 B. （a＋1）2＝a2＋1
C. （a2）2＝a5 D. 2a2·a＝2a3
变式训练 （2024深圳）下列运算正确的是（ B ）
A. （－m3）2＝－m5 B. m2n·m＝m3n
C. 3mn－m＝3n D. （m－1）2＝m2－1
【解析】（－m3）2＝m6，则A不符合题意；m2n·m＝m3n，则B符合
题意；3mn与m不是同类项，无法合并，则C不符合题意；（m－1）2
＝m2－2m＋1，则D不符合题意.故选B.
B
跟踪训练 （2022河南）下列运算正确的是（ D ）
D
考点 3 整式的化简及求值
例3 （2023河南）化简：（x－2y）2－x（x－4y）.
解：原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋4xy
＝4y2.
在用公式法进行整式运算的过程中，要将积的形式变成和的形式，
这时就会出现变号和去括号这两个易错点，一些同学在运算的过程中会
把括号直接忽略，如果原来括号前恰好是负号，就会导致除第一项外后
边项的符号都出错，要特别注意.
解：原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1
＝2x2＋4x＋1.
∵x2＋2x－2＝0，∴x2＋2x＝2.
∴原式＝2（x2＋2x）＋1
＝2×2＋1
＝5.
变式训练 （2024陕西）先化简，再求值：（x＋y）2＋x（x－2y），
其中x＝1，y＝－2.
解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＝2x2＋y2.
当x＝1，y＝－2时，原式＝2×12＋（－2）2＝6.
跟踪训练 已知x2＋2x－2＝0，求代数式x（x＋2）＋（x＋1）2的值.
（2023河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图
1所示（a＞1）.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝
隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2.
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1＋S2的值；
解：（1）由图可知，S1＝（a＋2）
（a＋1）＝a2＋3a＋2，
S2＝（5a＋1）×1＝5a＋1.
当a＝2时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23.
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由.
解：（2）S1＞S2.理由如下：
由（1）可知，S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝（a－1）2.
又∵a＞1，∴（a－1）2＞0.
∴S1＞S2.
本题考查了多项式乘多项式.解题的关键是列出代数式表示几何图
形的面积.表示面积有两种思路：一种是整体法，分别表示出图2和图3
中两个矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式“长×宽”列出式子，
最后化简即可；另一种是拆分法，分别把图2和图3拆分成若干张甲、
乙、丙三种卡片，进而确定面积.
素养落地 运算能力、几何直观、应用意识
跟踪训练 对于任何实数，我们规定 ＝ad－bc，按照这个规
定请你计算：当x2－3x＋1＝0时， 的值为 .
1 (共24张PPT)
第一章 数与式
第1讲 实 数
第1讲
实数
实数的
相关概念
实数的
相关概念
本课时在中考中基本上占6～10分，常考知识点有实数的相关概
念、科学记数法和实数的运算.实数的相关概念（10年10考），其中绝
对值（10年2考）、相反数（10年4考）、实数的大小比较（10年3
考）、数轴（10年1考）等相关概念在第1题循环考查，数轴上的点表示
的数近些年来第一次考查，体现了命题方向的变化，在复习备考时不能
只看往年考没考，而要看课标要求没要求；科学记数法考查的频次比较
高（10年9考），主要考查较大数（万、亿、万亿）的科学记数法（10
年7考），较小数的科学记数法考查的较少（10年2考）；实数的运算是每年必考内容（10年10考），在2021年之前主要在第11题考查，2021年（含）之后都在第16题考查，体现了考查方式的多样性.
考点 1 实数的相关概念
例1 （2022河南）－ 的相反数是（ A ）
A. B. 2 C. －2 D. －
A
解决此类题的关键是清楚相反数的定义和特征.从定义的角度，只有符
号不同的两个数叫做相反数，－ 与 只有符号不同.从相反数的特征，互为相反数的两数之和为0，－ ＋ ＝0.注意相反数与倒数的区别，倒数是分子、分母交换位置，不改变符号，相反数是只改变符号.
变式训练 请写出一对相反数 .
例2 （2021河南）－2的绝对值是（ A ）
A. 2 B. －2 C. D. －
－1和1 （答案不唯一）
A
解决此类题的关键是清楚绝对值的定义和性质.从定义的角度，在
数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，所以一
个数的绝对值是非负数.从绝对值的性质，由｜a｜＝可
得负数的绝对值等于它的相反数，即｜－2｜＝－（－2）＝2.
变式训练 （2024福建）下列实数中，无理数是（ D ）
A. －3 B. 0 C. D.
例3 （2024山西）中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中.由
于没有大气层的保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上
150 ℃，其背阳面温度可低于零下100 ℃.若零上150 ℃记作＋150 ℃，
则零下100 ℃记作（ B ）
A. ＋100 ℃ B. －100 ℃
C. ＋50℃ D. －50 ℃
D
B
本题考查了用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量是用
正数表示，其相反意义的量就用负数表示.解题的关键是理解相反数的
定义，知道零上和零下是一对具有相反意义的量，进而作答.
跟踪训练 （2023永州）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的
概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：粮库把运进30吨
粮食记为“＋30”，则“－30”表示（ A ）
A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食
C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食
A
考点 2 实数的大小比较
例4 （2023河南）下列各数中，最小的数是（ A ）
A. －1 B. 0 C. 1 D.
A
解决实数大小比较的问题，关键是清楚实数的大小比较规律，数轴
上右边的数大于左边的数，即正数大于0和负数，0大于负数.其中负数
比较大小时，常用绝对值法，绝对值大的反而小.
跟踪训练 （2024安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖
冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：
（填“＞”或“＜”）
＞
考点 3 科学记数法
例5 （2024河南）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5 784亿
元.数据“5 784亿”用科学记数法表示为（ C ）
A. 5 784×108 B. 5.784×1010
C. 5.784×1011 D. 0.5784×1012
C
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤｜a｜＜10，n为整数.
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值≥10时，n是正整数；当
原数的绝对值＜1时，n是负整数.因为5 784＝5.784×103，1亿＝108，
所以5 784亿＝5.784×103×108＝5.784×1011.
变式训练 （2022河南）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰
亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万
×1万×1亿，则1兆等于（ C ）
A. 108 B. 1012 C. 1016 D. 1024
C
考点 4 实数的运算
例6 （2023河南）计算：｜－3｜－ ＋5－1.
解：原式＝3－3＋
＝ .
跟踪训练 （2024浙江）计算： － ＋｜－5｜.
解：原式＝4－2＋5
＝7.
（2024河南）如图，数轴上点P表示的数是（ A ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
A
本题考查了数轴.数轴上的点与实数是一一对应的，也就是所有的
实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数不是有理数就是无
理数.一般取右方向为正方向，原点表示0，正半轴上的点表示正数，负
半轴上的点表示负数.
素养落地 数形结合、应用意识
跟踪训练 （2024北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则下列结论中正确的是（ C ）
A. b＞－1 B. ｜b｜＞2
C. a＋b＞0 D. ab＞0
【解析】由数轴，得－2＜b＜－1，2＜a＜3.所以｜b｜＜2，a＋b＞
0，ab＜0，即可作出判断.故选C.
C(共14张PPT)
二次根式
第4讲
第一章 数与式
二次根式
本课时在中考中基本上占3分，常考知识点有二次根式的概念、二
次根式的运算（10年8考）及二次根式的估算.本课时知识点一般不单独
考查，常融入到其他知识中考查：一是融入整式的运算中，常为选择题
或填空题；二是融入整式或分式的化简求值中，作为确定取值代入二次
根式进行运算，多为解答题；三是融入实数的运算中（近4年4考），这
是这几年考查的主流形式.
考点 1 二次根式的概念
例1 （2024北京）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
是 .
【解析】根据题意，得x－9≥0.解得x≥9.故答案为x≥9.
x≥9
解决此类问题的关键是明确二次根式有意义的条件.对二次根式有
意义的条件单独考查时，只需考虑被开方数是非负数；与其他知识（例
如分式）综合考查时，还要满足分式有意义的条件：分母不等于零.
变式训练 （2024烟台）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取
值范围为 .
x＞1
考点 2 二次根式的运算
例2 （2024河南）计算： × －（1－ ）0.
解：原式＝ －1＝10－1＝9.
本题考查了二次根式的乘法运算和零指数幂的性质.一方面根据二
次根式积的运算法则[· ＝ （a≥0，b≥0）]求出 × ＝
，然后再把 化简得到10；另一方面根据零指数幂的性质
（任何非0数的0次幂都等于0）求出（1－ ）0＝1，最后把两项的结
果相减即可得到最终结果.
考点 3 二次根式的估值
例3 已知实数a＝ －1，则a在数轴上对应的点可能是（ C ）
A. A B. B C. C D. D
【解析】根据二次根式的性质，得 ＜ ＜ .∴3＜ ＜4，
即 在3和4之间.故选C.
C
跟踪训练 （2024威海）计算： － × ＝ －2 .
－2
本题考查了二次根式的估值，主要是估算二次根式的整数部分.解
决此类题的关键是利用两端逼近的方法，找到二次根式的值位于哪两个
相邻整数之间，进而确定二次根式的整数部分的值.可熟记常见的二次
根式的值，例如： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236，…
跟踪训练 （2024天津）估计 的值在（ C ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间
C. 3和4之间 D. 4和5之间
C
如图，每个小方格的边长为1，点A，B都在格点上，若BC＝ ，则
AC的长为（ B ）
B
A. B. C. 2 D. 3
本题考查了二次根式的运算与勾股定理的综合.题目不是直接给出
需要计算的二次根式，而是以方格纸为背景，通过构造直角三角形，利
用二次根式的运算求出线段的长.
素养落地 数形结合、转化思想、数学建模
变式训练
（2024乐山）已知1＜x＜2，化简 ＋｜x－2｜的结果为
（ B ）
A. －1 B. 1 C. 2x－3 D. 3－2x
【解析】∵1＜x＜2，∴ ＋｜x－2｜＝x－1＋2－x＝1.
故选B.
B
