(共21张PPT)
一元一次不等式（组）
第8讲
第二章 方程与不等式
一元一次不
等式（组）
一元一次不
等式（组）
本课时在中考中基本上占3～13分，常考知识点有解一元一次不等
式组及解集表示（10年8考）和一元一次不等式的实际应用（10年7
考）.解一元一次不等式组的考查方式有三种：一是求解集并在数轴上
表示；二是求特殊解；三是已知解集或特殊解的个数求参数的值或取值
范围.一元一次不等式的实际应用常在解答题的第20或21题，常和方
程、一次函数等综合考查.
考点 1 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
例1 （2022河南）不等式组的解集为 .
2＜x≤3
确定不等式组的解集常用的方法有两种：（1）借助数轴求解集，
注意空心点和实心点的不同含义；（2）借助口诀“同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小无处找”求解集.
跟踪训练 （2024河南）下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无
解的是（ A ）
A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3
A
【解析】根据不等式组的解集的确定方法逐项判断即可.∵－x＞1，
∴x＜－1.对于选项A，无解，故此选项符合题意；对于选
项B，的解集是x＜－1，故此选项不符合题意；对于选项
C，的解集是x＜－2，故此选项不符合题意；对于选项D，
的解集是－3＜x＜－1，故此选项不符合题意.故选A.
变式训练 （2024浙江）不等式组
的解集在数轴上表示为（ A ）
A
A.
B.
C.
D.
【解析】按照解一元一次不等式组的步
骤进行计算，即可解
答.解不等式①，
得x≥1，解不等式②，得x＜4.∴原不
等式组的解集为1≤x＜4.∴该不等式组
的解集在数轴上表示为：故选A.
考点 2 一元一次不等式的实际应用
例2 （2023河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时
只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.
（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价
为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说
明理由.
解：（1）选择活动一时，需付款450×0.8＝360（元）；
选择活动二时，需付款450－80＝370（元）.
∵360＜370，∴选择活动一更合算.
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活
动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.
解：（2）设一件这种健身器材的原价是x元.
根据题意，得0.8x＝x－80.
解得x＝400.
答：一件这种健身器材的原价是400元.
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选
择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请
直接写出a的取值范围.
解：（3）根据题意可知，选择活动一时，需付款0.8a元；
选择活动二时，若0＜a＜300，需付款a元，
若300≤a＜600，需付款（a－80）元，
若600≤a＜900，需付款（a－160）元.
①当0＜a＜300时，a＞0.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合
算，不符合题意；
②当300≤a＜600时，a－80＜0.8a，解得300≤a＜400，即当300≤a
＜400时，活动二更合算；
③当600≤a＜900时，a－160＜0.8a，解得600≤a＜800，即当
600≤a＜800时，活动二更合算.
综上所述，当300≤a＜400或600≤a＜800时，活动二更合算.
本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用.根据两种活
动的优惠方案，用含x的代数式表示出两种活动方案的费用，并根据题
意列出方程和不等式是解题的关键.在表示的过程中，要关注常见的表
示不等关系的词语，如：大于、小于、超过、不足、不大于、不小于、
至少、最多等，准确表示.
跟踪训练 （2024山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号
的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/
个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不
超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50－
x）个.
根据题意，得540x＋380（50－x）≤21 000.
解得x≤12.5.
∵x为整数，
∴x可取的最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
（2024黑龙江）若关于x的不等式组
恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
－ ≤a＜0
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可
得答案.解不等式4－2x≥0，得x≤2；解不等式 x－a＞0，得x＞
2a.∵不等式组恰有3个整数解，∴－1≤2a＜0，即－ ≤a＜0.故答案
为－ ≤a＜0.
本题考查了含参一元一次不等式组的整数解.解决本题的关键是
找到3个整数解的具体数值，从而得出关于a的不等式组（尤其要注
意是否含等号）.在本题中，当2a＝－1时，符合题意；当2a＝0
时，方程有2个整数解，不符合题意.所以关于a的不等式组为－
1≤2a＜0，求解即可.
素养落地 运算能力、应用意识
跟踪训练 （2023宜宾）若关于x的不等式组的所
有整数解的和为14，则整数a的值为 .
2或－1
变式训练 （2024安徽）已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋
1＜1，则下列判断正确的是（ C ）
A. － ＜a＜0 B. ＜b＜1
C. －2＜2a＋4b＜1 D. －1＜4a＋2b＜0
C
【解析】∵a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∵0＜a＋b＋1＜1，∴0＜a＋
a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1，∴－1＜a＜－ ，故选项A错误；∵b
＝a＋1，－1＜a＜－ ，∴0＜b＜ ，故选项B错误；由－1＜a＜－
，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2，由0＜b＜ ，得0＜4b＜2，0＜
2b＜1，∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确；∴－4＜4a＋2b＜－1，
故选项D错误.故选C.(共18张PPT)
一元二次方程
第6讲
第二章 方程与不等式
一元二次方程
本课时在中考中基本上占3～9分，常考知识点有一元二次方程根的
判别式（10年10考）和实际应用.根的判别式主要以选择题、填空题的
形式考查，考查方式主要有两种：一是不解方程直接判断一元二次方程
的根的情况，二是根据方程根的情况确定参数的值或取值范围.实际应
用单独考查较少，主要有面积、增长率、利润等问题，近几年考查较少
（仅2020年第9题），更多的是融入到用勾股定理或相似求线段的长度
中或二次函数中考查.
考点 1 解一元二次方程
例1 方程（x－2）（x＋3）＝0的解是（ D ）
A. x＝2 B. x＝－3
C. x1＝－2，x2＝3 D. x1＝2，x2＝－3
D
解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法和因式分解法.这三
种方法要熟练掌握并灵活运用.一般先把方程化成一般形式，若一次项
系数为0，可直接开平方；若常数项为0，可因式分解.若一次项系和常
数项都不为0，当满足完全平方公式时，用因式分解法；当二次项系数
为1，一次项系数是偶数时，
用配方法；如果都不符合，
用公式法.
跟踪训练 （2024赤峰）若等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋
21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ C ）
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
【解析】x2－10x＋21＝0，（x－3）·（x－7）＝0，解得x1＝3，x2＝
7.当等腰三角形的边长是3，3，7时，3＋3＜7，不符合三角形的三边关
系，应舍去；当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是7
＋7＋3＝17.故选C.
C
考点 2 一元二次方程根的判别式
例2 （2023河南）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是
（ A ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
A
一元二次方程根的判别式的考法主要有两种：（1）不解方程，直
接判断根的情况；（2）根据根的情况，确定参数的值或取值范围.不管
哪种考法都要熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的
判断方法：（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝
0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.若一
元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值
时，要注意不能忽略隐含条件“a≠0”.另外，在确定a，b，c的值
时，一定要注意符号.
跟踪训练 （2024河南）若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的
实数根，则c的值为 .
【解析】因为关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，所以Δ
＝（－1）2－4× ×c＝0.解得c＝ .故答案为 .
考点 3 一元二次方程的实际应用
例3 （2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年
增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程
为（ C ）
C
A. 5 000（1＋2x）＝7 500
B. 5 000×2（1＋x）＝7 500
C. 5 000（1＋x）2＝7 500
D. 5 000＋5 000（1＋x）＋5 000（1＋x）2＝7 500
解本题一定要注意数据7 500亿元的含义，若表示2019年的业务
量，则答案选C；若表示2017年到2019年总的业务量，则答案选D.
跟踪训练 （2024云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随
着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品
成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ B ）
A. 80（1－x2）＝60
B. 80（1－x）2＝60
C. 80（1－x）＝60
D. 80（1－2x）＝60
B
变式训练 （2024通辽）如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围
成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧
面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料组成），则BC的长为
（ C ）
C
A. 5 m或6 m B. 2.5 m或3 m
C. 5 m D. 3 m
【解析】设BC的长为x m，则AB的长为 （10＋1－x）m.根据题意，
得 （10＋1－x）x＝15.解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）.所以BC的
长为5 m.故选C.
欧几里得在《几何原本》中记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方
法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋x－1＝0的一个正根.
如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点
G，H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH
上，得到点D的新位置P，并连接NP，NH，此时，在下列四个选项
中，有一条线段的长度恰好是方程x2＋x－1＝0的一个正根，则这条线
段是（ B ）
B
A. 线段BH B. 线段DN
C. 线段CN D. 线段NH
【解析】设DN＝m，则NC＝1－m.由题意，得△ADN≌△APN，H
是BC的中点.∴DN＝NP＝m，CH＝ .∵S正方形＝S△ABH＋S△ADN＋
S△CHN＋S△ANH，∴1×1＝ ×1× ＋ ×1×m＋ × ×（1－m）＋
× ×m.∴m＝ .∵x2＋x－1＝0的解为x＝－ ± ，∴取正
值为x＝ .∴这条线段是线段DN. 故选B.
本题考查了一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段
之间的关系是解题的关键.
素养落地 数形结合、数学建模
跟踪训练 如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的.如果AB＝8，
阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 .
6
【解析】设小矩形的长为x，则小矩形的
宽为8－x.根据题意，得x[x－（8－x）]
＝24.解得x＝6或x＝－2（舍）.故答案为6.(共16张PPT)
分式方程
第7讲
第二章 方程与不等式
分式方程
本课时在中考中基本上占3分，常考知识点有解分式方程（10年1
考，2017年第4题）和分式方程的实际应用（10年1考，2022年第21
题）.解分式方程的考查方式主要有：一是以选择或填空的形式解分式
方程；二是判断某步求解过程是否正确.
考点 1 解分式方程
例1 （2024北京）方程 ＋ ＝0的解为 .
x＝－1
解分式方程的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1、检验.本题考查了去分母.去分母时有两点需要特别注意：
（1）确定最简公分母，特别是分母上出现互为相反数的式子时，去分
母时要注意符号的变化；（2）去分母时，对于整式项不能漏乘，特别
是单独的一个数字.另外，还要明确每个步骤的变形依据，这是新的考
试方向.
跟踪训练 （2024福建）解方程： ＋1＝ .
解：原方程两边都乘（x＋2）（x－2），并去分母，得3（x－2）＋
（x＋2）（x－2）＝x（x＋2）.
整理得3x－10＝2x.
解得x＝10.
检验：当x＝10时，（x＋2）（x－2）≠0.
故原方程的解为x＝10.
检验：当x＝10时，（x＋2）（x－2）≠0.
故原方程的解为x＝10.
变式训练 （2024牡丹江）若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则
整数m的值为 .
－1
【解析】原方程化简，得 ＝3＋ .去分母，得x＝3（x－1）＋
mx.移项合并，得（2＋m）x＝3.解得x＝ .由方程的解是正整
数，得到x为正整数，即2＋m＝1或2＋m＝3.解得m＝－1或m＝1
（舍去，会使得分式无意义）.故答案为－1.
考点 2 分式方程的实际应用
例2 （2024云南）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，
已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，
C型车的平均速度是D型车平均速度的3倍，求D型车的平均速度.
解：设D型车的平均速度是x千米/时，则C型车的平均速度是3x千米
/时.
根据题意，得 － ＝2.
解得x＝100.
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意.
答：D型车的平均速度是100千米/时.
本题考查了分式方程的应用.读懂题意，找准等量关系，正确列出
分式方程是解题的关键.设D型车的平均速度是x千米/时，则C型车的平
均速度是3x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐C型车比乘坐D
型车少用2小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出
结论.检验时不仅要检验整式方程的解是否为原分式方程的解，也要检
验分式方程的解是否符合实际问题.
跟踪训练 （2024自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校
组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个
粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相
同，求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x
＋20）个粽子.
根据题意，得 ＝ .
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解.
∴x＋20＝100.
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80
个粽子.
变式训练 （2023乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是
金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始
种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了
20％，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1＋20％）
x棵.
根据题意，得 － ＝2.
解得x＝500.
经检验，x＝500是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天种植梨树500棵.
（2024达州）若关于x的方程 － ＝1无解，则k的值为 .
【解析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这
个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.具体如下：方程去分母，得
3－（kx－1）＝x－2.整理，得（1＋k）x＝6（*）.
2或－ 1
①当k＋1＝0，即k＝－1时，方程（*）无解，所以原分式方程无解，
符合题意；②当k＋1≠0，即k≠－1时，方程（*）的解为x＝ ，当
＝2，即k＝2时，方程（*）的解不是原分式方程的解，此时原分式
方程无解，符合题意.综上，k的值为2或－1.故答案为2或－1.
本题考查了根据含参分式方程解的情况确定参数的值或取值范围.
根据解分式方程的步骤，先把分式方程转化为整式方程，求出整式方程
的解，当所求整式方程的解满足分式的分母不为0时，才是分式方程的
解，否则分式方程无解.
素养落地 运算能力、应用意识
跟踪训练 （2024齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 － ＝0的解是
负数，那么实数m的取值范围是（ A ）
A. m＜1，且m≠0 B. m＜1
C. m＞1 D. m＜1，且m≠－1
A
【解析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程 － ＝0的解是
负数及分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可.具体如下：
∵ － ＝0，
∴x＋1－mx＝0，即x－mx＝－1，即（1－m）x＝－1.根据题意
知，1－m≠0.所以x＝ .∵关于x的分式方程 － ＝0的解是负
数，∴m－1＜0，且m－1≠－1.解得m＜1且m≠0.故选A.
【解析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程 － ＝0的解是
负数及分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可.具体如下：
∵ － ＝0，
∴x＋1－mx＝0，即x－mx＝－1，即（1－m）x＝－1.根据题意
知，1－m≠0.所以x＝ .∵关于x的分式方程 － ＝0的解是负
数，∴m－1＜0，且m－1≠－1.解得m＜1且m≠0.故选A.
A. m≤1，且m≠－1 B. m≥－1，且m≠1
C. m＜1，且m≠－1 D. m＞－1，且m≠1
变式训练 （2023聊城）若关于x的分式方程 ＋1＝ 的解为非负
数，则m的取值范围是（ A ）
A(共24张PPT)
第二章 方程与不等式
一次方程（组）
第5讲
方程
方程
一元一次方程
一元一次方程
两元一次方程(组)
两元一次方程(组)
本课时在中考中基本上占3～10分，常考知识点有解二元一次方程
组和一次方程（组）的实际应用（10年8考）.考查形式主要有三种：一
是单独列二元一次方程组（仅2018年在第6题考查）；二是单独解二元
一次方程组（仅2023年在第12题考查）；三是结合不等式和一次函数的
增减性设计方案或求最值（10年6考，2016年第20题，2017年第21题，
2019年第20题，2021年第22题，2023年第21题，2024年第21题）.
考点 1 二元一次方程组的解法
例1 （2023河南）方程组的解为 .
解决此类问题的关键是熟练掌握二元一次方程组常用的两种解法：
代入消元法和加减消元法.当方程组中一个方程的常数项为0或者一个未
知数的系数为1或－1时，常采用代入消元法；当同一个未知数的系数相
同或互为相反数时，常采用加减消元法.当不存在以上这些特殊关系
时，常根据等式的基本性质，将相同
未知数的系数变成相同或互为相反
数，再利用加减消元法.本题利用加
减消元法或代入消元法求解都比较
简便.
跟踪训练 （2024浙江）解方程组：
解：
①×3＋②，得10x＝5.
解得x＝ .
把x＝ 代入①，得2× －y＝5.
解得y＝－4.
所以原方程组的解是
考点 2 一次方程（组）的应用
例2 （2024吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑
色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键
的个数.
解：设白色琴键的个数为x，黑色琴键的个数为y.
由题意，得
解得
答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36.
本题考查了二元一次方程组的实际应用.解题的关键是正确理解题
意，找出题中的未知量、已知量，结合等量关系列出方程（组），并进
行求解、作答.不难发现，本题的等量关系有：白色琴键和黑色琴键共
有88个及白色琴键比黑色琴键多16个.设白色琴键的个数为x，黑色琴键
的个数为y，根据题意可列方程组解方程组可以解得
即白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36.
跟踪训练 （2024安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创
业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种
农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金
共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是
y公顷.
根据题意，得
解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.
变式训练 （2024北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年
7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标
准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35
mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.
已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一
次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B类物质排放量降
低了75％，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进
后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.理由如
下：
设技术改进前该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类
物质排放量为（92－x）mg/km.
根据题意，得（1－50％）x＋（1－75％）（92－x）＝40.
解得x＝68.
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为（1－50％）x＝34
（mg/km）.
∵“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
答：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
（2024成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：
今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、琎价各几
何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出
钱，又差了3钱.问人数、琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可
列方程组为（ B ）
B
A. B. C. D.
【解析】根据“每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱”，
即可列出关于x，y的二元一次方程组故选B.
《孙子算经》《九章算术》等古代数学著作中记载的数学问题是全
国各地中考的热点，体现了我国古代数学的辉煌成就.解决这类问题，
首先要读懂题意，特别是涉及一些古代的计量单位，我们只需要把它当
成一个一般的计量单位去看待就可以了，不必过度追究.在读懂题意的
基础上，最关键的是要通过分析找到题目中的等量关系，设出未知数，
列出方程.这类问题一般设一个或者两个未知数都可以列出方程，具体
根据题目的要求或者自己的熟练情况去灵活选择.
素养落地 阅读理解、数学建模、数学文化
