(共22张PPT)
菱 形
第一节
第五章 四边形
考点通关
知识通关
本课时知识点在中考中是必考知识点，在三大题型中都有体现，常
考知识点有：1.以菱形为背景，与三角形、函数、圆等结合，利用其性
质结合三角函数、全等或相似等求线段的长、角度或点的坐标；2.通过
添加条件判定图形是特殊的平行四边形，或者在平行线、圆等背景下，
探究特殊平行四边形的存在性问题；3.以特殊的平行四边形为背景，结
合旋转、平移、轴对称等图形变换，探究运动中某图形的变化规律，或
在变化过程中某特殊情况存在时线段的长或点的坐标.
考点 1 菱形的性质
例1 （2024绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
AE⊥BC于点E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6 C. D. 12
A
本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识.对于菱形，要
充分认识到菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线把菱形分成了
四个直角三角形，每个小直角三角形的直角边是菱形对角线的一
半，斜边是菱形的边，因此菱形的两条对角线的长和边长知道其中
两个就可以利用勾股定理求第三个.本题中已知CD＝5，BD＝8，可
以求出AC＝6.所求的AE是菱形一边上的高，遇到高线我们可以联
想到面积，菱形的面积等于底乘高，也等于对角线乘积的一半，利
用等面积法即可求出AE的长.
跟踪训练 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB
＝10.
（1）菱形的周长为 ；
（2）若∠ABC＝2∠BAD，则∠BAD＝ ，
BD＝ ，AC＝ ；
（3）若BD＝12，则菱形ABCD的面积为 ，
DF＝ .
40
60°
10
10
96
9.6
变式训练 （2022河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，点E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为
（ C ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
C
考点 2 菱形的判定
例2 （2023齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，
AC⊥BD于点O. 请添加一个条件：
，使四边形ABCD成为菱形.
AD∥BC（AB＝CD或OB＝
OD或∠ADB＝∠CBD等）
跟踪训练 （2024扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一
起，得到四边形ABCD.
图1 图2
（1）试判断四边形的ABCD的形状，并说明理由；
解：（1）四边形ABCD是菱形.理由如下：
如图1，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，CG⊥AD，垂足为点G.
∵两个纸条为宽度相等的矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CH＝CG.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD＝AB·CH＝AD·CG，
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是菱形.
图1
（2）已知矩形纸条的宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图2所示的位置
时，四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1
的度数.
解：（2）如图2，过点A作AM⊥CD，垂足为点M.
∵S菱形ABCD＝CD·AM＝8 cm2，且AM＝2 cm，
∴CD＝4 cm.
∴AD＝CD＝4 cm.
∴在Rt△ADM中， sin ∠1＝ ＝ .
∴∠1＝30°.
图2
考点 3 菱形背景中线段的计算
例3 （2024黑龙江）如图，在菱形ABCD中，点O是BD的中点，
AM⊥BC，垂足为点M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则
MN的长为（ C ）
A. B. C. D.
C
【解析】连接AC，先由菱形的性质，可得对角线AC与BD交于点O，
AC⊥BD，OA＝OC. 由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得OM
＝OA＝OC＝2.利用勾股定理，可以求出菱形的边长为2 .进而利用
等面积法，可以求出AM＝ .接下来易证△AON∽△BOC. 所以
＝ ，即 ＝ .所以AN＝ .所以MN＝AM－AN＝ － ＝
.故选C.
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的
性质与判定.
跟踪训练 （2023金昌）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF
＝ cm.
2
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的
性质.灵活运用这些性质是解题的关键.根据菱形的对角线平分一组对
角，由∠DAB＝60°，得∠DAF＝∠BAE＝30°，然后在Rt△ABE中
可求得AE＝4 ，在△ADF中可求得AF＝2 ，进而得到EF＝AE
－AF＝2 .
考点 4 菱形背景中图形的变换与动点问题
例4 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于
点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，
则MP＋ PB的最小值是 4 .
4
根据学习的“将军饮马”模型，求线段和的最小值，当定点在动点
两侧，三点共线时即为最小值时的状态，题目中出现 PB，则需要将
PB转化成某条线段，题目中易得∠OBC＝30°，则想到30°角所对的
直角边是斜边的一半，于是辅助线即可得到，根据“将军饮马”模型即
可得到答案.
跟踪训练 （2024长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝
30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点
F. 设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量
x的取值范围）（ C ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
C
【解析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H. 在菱形ABCD
中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∴∠DCH
＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH. ∴DH＝ CD＝3.∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠EHD＝90°.∴△ADF∽△DEH. ∴ ＝ ，即 ＝
.∴y＝ .故选C.
例5 如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠A＝60°，点E为边AD的中
点，点F为射线AB上一动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，得到
△A'EF，当A'F与菱形的边垂直时，线段AF的长为
.
3＋3 或12－
6 或12＋6
本题考查了轴对称变换和分类讨论.首先根据题意画出符合题意
的图形，在一般三角形中通过作辅助线构造直角三角形，通过翻折
中线段的长度相等，表示直角三角形中的边的长度，构造方程解方
程可解决问题.(共27张PPT)
第三节 正方形
第三节
第五章 四边形
考点通关
知识通关
本课时知识点在中考中是必考知识点，在三大题型中都有体现，常
考知识点有：1.以正方形为背景，与三角形、函数、圆等结合，利用其
性质结合三角函数、全等或相似等求线段的长、角度或点的坐标；2.通
过添加条件判定图形是特殊的平行四边形，或者在平行线、圆等背景
下，探究特殊平行四边形的存在性问题；3.以特殊的平行四边形为背
景，结合旋转、平移、轴对称等图形变换，探究运动中某图形的变化规
考点 1 正方形的性质
例1 （2024陕西）如图，已知正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的
边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为
（ B ）
A. 2 B. 3 C. D.
B
【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得
AD∥GF. 所以△ADH∽△FGH. 所以DH∶HG＝AD∶GF＝6∶2
＝3∶1.由DG＝6－2＝4，可得DH＝4÷（1＋3）×3＝3.故选B.
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质.解题的关键
是熟练掌握相似三角形的性质.
跟踪训练 （2024重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是
BC边上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分
∠EAF交CD于点M. 若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ D ）
D
A. 2 B. C. D.
【解析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，可得AE＝
AF. 利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，可得EM＝
FM. 设DM＝x，则MC＝CD－DM＝4－x，EM＝FM＝FD＋DM
＝1＋x.因为CE＝BC－BE＝4－1＝3，在Rt△MCE中，由勾股定
理，得EM2＝MC2＋CE2，即（1＋x）2＝（4－x）2＋32.解得x＝ .
故选D.
考点 2 正方形的判定
例2 （2024黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为
正方形.
AC＝BD（答案不唯一）
【解析】我们知道正方形具有而菱形不具有的性质有四个角是直角，对
角线相等，两条对角线分出的四个大三角形和四个小三角形都是等腰直
角三角形.据此，我们可以添加以下条件中的一个：①菱形ABCD的一
个内角是直角，比如∠ABC＝90°；②菱形ABCD的对角线相等，即
AC＝BD；③其中一个小三角形是等腰直角三角形（已经是直角了），
比如OA＝OD. 故答案为AC＝BD（答案不唯一）.
本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质.虽然是一道半开放
题，但熟练掌握正方形的判定方法是写出正确答案的关键.
跟踪训练 （2024广西）如图，在边长为5的正方形ABCD中，E，
F，G，H分别为各边的中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为
M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ C ）
C
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
【解析】由正方形的边长为5，得CD＝5，CF＝ .
由勾股定理，得DF＝ .由题意，得△DQG∽△DCF.
∴DQ∶QG＝DC∶CF＝2∶1，即DQ＝2QG＝ .∵E，F，G，H分别为各边的中点.∴DQ＝PQ＝ .∴四边形MNPQ的面积为（ ）2＝5.故选C.
考点 3 正方形中的图形变换
例3（2023湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使
点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点
N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连
接BM.
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
解：（1）证明：由翻折和正方形的性质，可得∠EMP＝
∠EBC＝90°，EM＝EB. ∴∠EMB＝∠EBM.
∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，
即∠BMP＝∠MBC. ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC. ∴∠AMB＝∠MBC. ∴∠AMB＝∠BMP.
（2）若DP＝1，求MD的长.
解：（2）如图，延长MN，BC交于点Q.
∵AD∥BC，∴△DMP∽△CQP.
又∵DP＝1，正方形ABCD的边长为3，
∴CP＝2.∴ ＝ ＝ ＝ .
∴QC＝2MD，QP＝2MP.
设MD＝x，则QC＝2x.∴BQ＝3＋2x.
∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝∠MBQ，∴MQ＝BQ＝3＋2x.
∴MP＝ MQ＝ .在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2，
∴x2＋12＝ .解得x1＝0（舍），x2＝ .∴MD＝ .
本题主要考查了正方形的折叠问题、相似三角形的性质与判定、等
腰三角形的性质与判定、勾股定理等.正确作出辅助线构造相似三角形
是解题的关键.
跟踪训练 （2024德阳）在一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张
边长为4的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，
使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重
合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，
小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，点A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为2 －2；
④DA1达到最小值时，MN＝5－ .
你认为小王同学得到的结论正确的个数是 .
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则点A1到点E的距离恒为2，
即可判断①正确；如图，连接DE，由勾股定理，可得在Rt△ADE中，
DE＝ ＝2 ，由DA1＋A1E≥DE，即可判断③正确；DA1
达到最小值时，点A1在线段DE上，此时△A1DN∽△ADE，所以 ＝
，从而求得DN＝5－ ，所以MN＝AD－DN－AM＝ －2，即
可判断④错误；下面讨论②：如图，
过点A1作A1G⊥AD与点G，作
A1P⊥AB于点P.
在△A1DE中，DE＝2 ，A1E＝AE＝2，∴A1D随着∠DEA1的增大
而增大，∵∠DEA1＝∠NEA1－∠NED＝∠NEA－∠NED＝∠NEA
－（∠AED－∠NEA）＝2∠NEA－∠AED，
∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与
点D重合，∵∠A＝90°，∴四边形AGA1P是矩形，∴A1G＝AP＝
AE＋EP，当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值，
∵∠A1EP＝180°－∠AEN－∠A1EN＝180°－2∠AEN，∴∠A1EP
有最小值，∴在Rt△A1EP中，EP＝A1E· cos ∠A1EP有最大值，即
A1G＝AP＝AE＋EP有最大值，∴当DA1达到最大值时，点A1到AD
的距离达到最大，故②正确.故选C.
考点 4 正方形中的“十字型”
例4 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且
AE⊥BF，垂足为点G.
（1）求证：AE＝BF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥BF，垂足为点G，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE与△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（ASA）.∴AE＝BF.
（2）若BE＝ ，AG＝2，求正方形的边长.
解：（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°.
∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°.∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BGE∽△ABE. ∴ ＝ ，即BE2＝EG·AE.
设EG＝x，则AE＝AG＋EG＝2＋x.
∴（ ）2＝x·（2＋x）.解得x1＝1，x2＝－3（不合题意舍去）.
∴AE＝3.∴AB＝ ＝ ＝ .
∴正方形的边长为 .
跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，
AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.
（1）求证：矩形ABCD为正方形；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°.
∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°.
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°.
∴∠BAF＝∠ADE.
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（AAS）.
∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形.
（2）若AE∶EB＝2∶1，△AEG的面积为4，则四边形BEGF的面积
是 .
9
变式训练 【感知】
如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点（点E不与点A，B重
合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝AF.
（不需要证明）
【探究】
如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，CD上的点（点
E，F不与正方形的顶点重合），
连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为点O.
若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长.
解：【探究】如图，分别过点A，D作AN∥GH，DM∥EF，分别交
BC，AB于点N，M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∠DAB＝∠B＝90°.
∴四边形DMEF是平行四边形.∴ME＝DF＝1，DM＝EF.
∵AN∥GH，GH⊥EF，
∴DM⊥GH.
同理，可得四边形AGHN是平行四边形.
∴GH＝AN.
∵DM∥EF，GH⊥EF，
∴AN⊥DM. ∴∠DAN＋∠ADM＝90°.
∵∠DAN＋∠BAN＝90°，∴∠ADM＝∠BAN.
在△ADM和△BAN中，
∴△ADM≌△BAN（ASA）.
∴DM＝AN. ∴EF＝GH.
∴DM＝GH.
∵点E为AB的中点，∴AE＝ AB＝2.
∴AM＝AE－ME＝2－1＝1.
∴DM＝ ＝ ＝ .
∴GH＝ .
【应用】
如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝
CF，BF，AE相交于点G. 若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形
ABCD的面积之比为2∶3，则△ABG的面积为 ，△ABG的周长
为 .
＋3 (共31张PPT)
第五章 四边形
多边形及平行四边形
第22讲
考点通关
素养通关
知识通关
多边形
平行四边形的性质与判定河南中考近10年10考，选择、填空、简答
题皆有涉及.常考知识点有：1.利用对边平行和对角线互相平分的性
质，在三角形中，结合中位线、勾股定理、内角和与外角等计算线段长
或角度；2.以平行四边形为背景，利用边和角的性质结合旋转、折叠、
平移等变换进行证明或计算；3.以圆或者二次函数为背景，结合动点问
题对特殊四边形的存在条件进行判断与计算等.
考点 1 多边形的相关性质
例1 （2024河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于
点M，N，如图所示，则α＋β＝（ B ）
A. 115° B. 120°
C. 135° D. 144°
B
【解析】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据四边形AMNF的
内角和为360°，可得∠AMN＋∠MNF＝120°，最后根据对顶角相
等，得α＋β＝∠AMN＋∠MNF＝120°.故选B.
本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的每个内角的度数
计算.
跟踪训练 （2024遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得
到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
（ C ）
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
C
变式训练 （2024威海）如图所示，在正六边形ABCDEF中，
AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I. 若∠EFG＝20°，则∠ABI
＝ .
50°
【解析】根据题意利用多边形的内角和，可求得∠AFE＝∠BAF＝
120°.所以∠AFG＝100°.∵AH∥FG，∴∠FAH＝80°.所以
∠BAI＝40°.又BI⊥AH，∴∠ABI＝50°.故答案为50°.
考点 2 平行四边形的性质
例2 （2024贵州）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下
列结论一定正确的是（ B ）
A. AB＝BC B. AD＝BC
C. OA＝OB D. AC⊥BD
B
【解析】平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，故A选项错误，
B选项正确；平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，也不一定互
相垂直，故C，D选项均错误.故选B.
本题考查了平行四边形的性质.利用平行四边形的性质一一判断即
可解决问题.
跟踪训练 已知在 ABCD中，点E为对角线AC上一点.
（1）如图1，当BE⊥AC时，若∠1＝30°，AB＝4，AC＝6，则平行
四边形ABCD的面积为 ；
（2）如图2，当BE⊥BC时，点E经过AC的中点，若∠2＝60°，AC
＝6，则另一条对角线的长度为 ；
12
3
（3）如图3，若点E是CD边上一点，当BE平分∠ABC，且CE＝3
时，AD＝ ；
（4）如图4，BE平分∠ABC，交AD延长线与点F，若AD＝3，AB
＝5，则DF＝ .
3
2
考点 3 平行四边形的判定
例3 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上.
（1）当点E，F分别是AD，BC的中点时，求证：四边形AFCE是平
行四边形；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC. ∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）当AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线时，求证：四边形
AFCE是平行四边形；
证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB ＝∠BCD，AD∥BC.
∴∠AFB＝∠DAF.
∵AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DAF＝ ∠DAB，∠ECF＝ ∠BCD.
∴∠EAF＝∠ECF. ∴∠AFB＝∠ECF.
∴AF∥EC. ∴四边形AFCE是平行四边形.
（3）当EF恰好经过AC的中点O时，求证：四边形AFCE是平行四
边形.
证明：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴AE∥CF.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵EF恰好经过AC的中点O，∴OA＝OC.
∵∠EOA＝∠FOC，
∴△AOE≌∠COF（ASA）.
∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
本题主要考查了平行四边形的判定.掌握平行四边形的判定方法即
可解决问题，注意格式的书写，不要跳步.
跟踪训练 （2024乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为
平行四边形的是（ D ）
D
A. AB∥DC，AD∥BC B. AB＝DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO D. AB∥DC，AD＝BC
变式训练 （2024河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，
点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴① .
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB（② ）.
∴MD＝MB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ D ）
A. ∠1＝∠3，AAS B. ∠1＝∠3，ASA
C. ∠2＝∠3，AAS D. ∠2＝∠3，ASA
【解析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠3.因为∠CAN＝∠ABC＋∠3＝
∠1＋∠2，且∠1＝∠2，所以∠2＝∠3.又MA＝MC，∠4＝∠5，所
以△MAD≌△MCB（ASA）.所以MD＝MB. 所以四边形ABCD是平
行四边形.故选D.
D
考点 4 平行四边形中的图形变换与动点问题
例4 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.
若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ C ）
A. 108° B. 109°
C. 110° D. 111°
C
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角以
及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形和折叠的性质是
解题的关键.
跟踪训练
（2024烟台）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝
10，E为边CD的中点，F为边AD上的一个动点，将△DEF沿EF翻折
得到△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为 .
20 － 16
先确定点D'是以E为圆心，CD为直径的圆周上一点，过点E作
EH⊥AB交直线AB于点H，交☉E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点
M，连接EM，推出△ABD'的面积等于4D'M，再求出D'M的最小值即
可解决问题.
变式训练 （教材练习改编）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB
＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时
△CDE恰好为等边三角形，则AD＝ ，重叠部分的周长
为 （6＋3 ） cm ，面积为 cm2 .
6 cm
（6＋3 ） cm
cm2
考点 5 平行四边形与函数图象相结合问题
例5 （2024绥化）如图，已知点A（－7，0），B（x，10），C（－
17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝
（k≠0）的图象相交于点D，且OD∶OB＝1∶4，则k＝ .
－15
【解析】根据平行四边形的性质及点的坐标关系，
可得点B坐标为（－24，10）.根据位似坐标的特
征及OD∶OB＝1∶4，可得点D的坐标为
D .所以k＝－ ×6＝－15.故答案为－15.
分别过点B，C，D向x轴作垂线，垂足分别为点E，F，G，则
由题意及平行四边形的性质，可求得点B的坐标.由辅助线的作法可
知，△ODG∽△OBE，由OD∶OB＝1∶4，可求得点D的坐标，由点
D在反比例函数的图象上，可求得k的值.
跟踪训练 如图所示，已知 ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向
右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y
关于x的函数图象大致是（ B ）
A B C D
B
1. 已知：如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF∥BC，DF＝BC；
②∴CF∥AD，CF＝AD，即CF∥BD，CF＝BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝ BC.
则正确的证明顺序应是（ C ）
A. ①→③→②→④ B. ①→③→④→②
C. ②→③→①→④ D. ②→③→④→①
C
本题考查了平行四边形的性质与判定，难度不大.
素养落地 推理能力、模型观念
2. （课后习题改编）如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点
A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘.想使池塘
的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成
平行四边形的形状，请你设计出所要求的平行四边形.
解：如图所示.
把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的二倍.就可连接对角
线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行
线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交
于M，N，G，H四点，则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，
OCGD均为平行四边形.由全等就可证明扩大后的面积是原来的二倍.
素养落地 推理能力、应用意识(共26张PPT)
矩 形
第二节
第五章 四边形
考点通关
素养通关
知识通关
本课时知识点在中考中是必考知识点，在三大题型中都有体现，常
考知识点有：1.以矩形为背景，与三角形、函数、圆等结合，利用其性
质结合三角函数、全等或相似等求线段的长、角度或点的坐标；2.通过
添加条件判定图形是特殊的平行四边形，或者在平行线、圆等背景下，
探究特殊平行四边形的存在性问题；3.以特殊的平行四边形为背景，结
合旋转、平移、轴对称等图形变换，探究运动中某图形的变化规
考点 1 矩形的性质
例1 （2024甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，若∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ C ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
跟踪训练 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AB＝6.
（1）若BC＝8，则BO的长为 ；
5
图1 图2
（2）若AO＝6，则∠ABD＝ ，BD＝ ，矩形的周长
是 ；
（3）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若ED＝3BE，则AE
＝ 3 ，AD＝ 6 .
60°
12
12＋12
3
6
图1 图2
变式训练 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE平
分∠BAD，∠AOD＝120°，则∠AEO的度数为（ C ）
C
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
考点 2 矩形的判定
例2 （2024泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能
判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD D. AC⊥BD
D
【解析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可知，选项A能判
定 ABCD为矩形；根据平行四边形性质，得AB∥CD，则∠B＋∠C
＝180°，再根据∠B＝∠C，得∠B＝∠C＝90°，选项B也能判定
ABCD为矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，选项C能
判定 ABCD为矩形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，
选项D不能判定 ABCD为矩形.故选D.
本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，理解平行四边形
的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键.
跟踪训练
如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM
的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.
求证：四边形ACBD是矩形.
证明：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM.
∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM.
∴∠OCB＝∠OBC. ∴OC＝OB.
同理可得OB＝OD.
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB，∴AB＝CD.
∴四边形ACBD是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）.
变式训练 （2024长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝
90°，O是AB边的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是
矩形.
解：∵O是AB边的中点，∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（ASA）.∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°.
∴DA∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
考点 3 矩形背景中线段的计算
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交
于点O，点P是AD上一动点（不与点A，D重合），过点P作AC和
BD的垂线，垂足分别为点E，F，则PE＋PF的值是（ A ）
A. B. C. D. 3
A
题中点P是动点，但是答案中PE＋PF的值却是定值，说明点P在
运动范围内任意一点答案都不变，那么我们可以考虑方法1：用特殊位
置的方法来求解，比如，点P在AD的中点处；方法2：用等面积法，过
点A构造△AOD中OD边上的高，则可表示△AOD的面积，连接PO，
也可以利用S△POD＋S△POA表示△AOD的面积，利用等面积法构造方程
可发现PE＋PF的值等于点A到BO的距离.
跟踪练习 （2024绥化）在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，
点E在直线AD上，且DE＝2 cm，则点E到矩形对角线所在直线的距
离是 cm.
【解析】对点E的位置分两种情况，对对角线分两种情况，共四种情况
讨论，利用相似或锐角三角函数分别求解即可.故答案为 或 或
2 .
或 或2
考点 4 矩形背景中图形的变换与动点问题
例4 （2024苏州）如图，矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，动点E，
F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向
终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为
点G，则AG的最大值为（ D ）
D
A. B. C. 2 D. 1
【解析】因为点E，F在运动过程中始终有AE＝CF，则借助矩形的中
心对称性，可以证明EF始终经过矩形对角线的交点（记为O）.由勾股
定理，可得AC＝2.所以AO＝CO＝1.由AG⊥EF，根据“垂线段最
短”，可得AG≤AO＝1.所以当点G与点O重合时，AG有最大值，为1.
故选D.
本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质及圆
的有关知识.根据题意发现EF始终经过矩形的中心（对角线的交点）是
解题的关键.
跟踪训练 （2024信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝
6，点H是AC的中点，沿对角线AC把矩形剪开得到两个三角形，固定
△ABC不动，将△ACD沿AC方向平移（点A'始终在线段AC上），得
到△A'C'D'，连接HD'，设平移的距离为x，则当HD'的长度最小时，x
的值为（ C ）
C
A. B. C. D.
跟踪训练
【解析】根据勾股定理，得AC＝ ＝ ＝10.所以
AH＝ AC＝5.所以A'H＝5－x.当HD'⊥AC时，HD'的长度最小.根
据平移的性质，得A'D'＝AD＝6，D'C'＝AB＝8，A'C'＝AC＝10.
所以HD'＝ ＝ ＝ .进而可求得x＝ .故选C.
变式训练 （2024梁园一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A
（4，0），点C在y轴正半轴上，D是AB上一点，连接OD，作点A关
于OD的对称点E，连接OE，DE，当tan∠DOA＝ 时，OE的延长线
恰好经过点B，则点B的坐标为（ B ）
B
变式训练
A. （4，5） B.
C. D.
【解析】先求得AD＝ OA＝2.进而可得DE＝DA＝2，∠E＝90°.所
以△BED∽△BAO. 所以 ＝ ＝ .所以BE＝ ，BD＝ .所以
AB＝ ，即点B的坐标为 .故选B.
1. 如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成
图3，若图3中∠CFE＝108°，则图1中的∠DEF的度数是 .
24°
本题考查了图形的翻折变换以及平行线的性质.纸条中隐含矩形的
性质，矩形中隐含平行线，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它
属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
素养落地 应用意识、几何直观
2. 小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB'与A4纸
的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 .
