(共19张PPT)
一次函数的图象与性质
第10讲
第三章 函 数
考点通关
素养通关
知识通关
一次函数的图像和性质
本课时常考知识点有三个：1.一次函数的图象与性质，此考点考查
的是函数的基础知识，利用一次函数的图象与性质，判断增减性或大致
图象，并以此来判断函数图象上点的横、纵坐标的大小关系； 最近两
年中考出现了新的考试动向：与图形的平移结合在一起命题，常以选择
题或填空题的形式出现，分值为3分.2.一次函数解析式的确定，此考点
是中考的重点考查内容，在函数综合题的某一小问出现，一般与反比例
函数结合，常用待定系数法确定解析式，10年5考. 3.一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组的综合应用，此考点单独考查的次数较少，一般会在综合应用题中进行考查；利用函数图象与坐标轴的交点或两个函数图象的交点，数形结合，判断不等式的解集.
考点 1 一次函数的图象与性质
例1（2024山西）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y
＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ B ）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1≥y2
【解析】对于正比例函数y＝kx，k＞0，函数图象从左到右上升，y随
x的增大而增大；k＜0，函数图象从左到右下降，y随x的增大而减小.
在本题中，k＝3＞0，所以y随x的增大而增大.又因为x1＜x2，所以y1
＜y2.故选B.
B
本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征.熟知正比例函数
的图象和性质是解题的关键.
跟踪训练 （2024长沙）对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是
（ A ）
A
A. 它的图象与y轴交于点（0，－1）
B. y随x的增大而减小
C. 当x＞ 时，y＜0
D. 它的图象经过第一、二、三象限
考点 2 一次函数解析式的确定
例2 （2024山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y
（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之
间的关系式为（ A ）
尾长（cm） 6 8 10
体长y（cm） 45.5 60.5 75.5
A
A. y＝7.5x＋0.5 B. y＝7.5x－0.5
C. y＝15x D. y＝15x＋45.5
【解析】根据题意，可设y＝kx＋b，则由表格，可得
解得∴y与x之间的关系式为y＝7.5x＋
0.5.故选A.
本题主要考查了用待定系数法求一次函数的关系式.熟练掌握待定
系数法是解题的关键.
跟踪训练 （2024凉山）如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A
（3，6），B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 .
9
【解析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝x＋3，再求出
点C坐标（－3，0），根据三角形面积公式，求得S△AOC＝ ×3×6＝
9.故答案为9.
变式训练 （2024苏州）已知直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直
线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式
是 .
y＝ x－
【解析】如图所示，将x＝0代入y＝x－1，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）.将y＝0代入y＝x－1，得x＝1，即点A的坐标为（1，0）.所以OA＝OB＝1.所以∠OBA＝∠OAB＝45°.由旋转可知，∠BAC＝15°.∴∠OAC＝45°＋15°＝60°.在Rt△AOC中，tan∠OAC＝ ，所以OC＝ ，即点C的坐标为（0，－ ）.令直线l2的函数表达式为y＝kx＋b，则解得所以直线l2对应的函数表达式为y＝ x－ .故答案为y＝ x－ .
考点 3 一次函数与不等式、方程组的关系
例3 （2024广东）已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y
＝kx＋b的图象大致是（ B ）
B
A B C D
本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系.正确理解函数图
象的意义，并借助数形结合思想是解题的关键.
例4 （2024内蒙古）已知点P（x，y）在直线y＝－ x＋4上，坐标
（x，y）是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在（ D ）
D
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
本题考查了一次函数与二元一次方程、两直线的交点与二元一次方
程组的关系.点P（x，y）在直线y＝－ x＋4上，也就是说坐标
（x，y）是方程y＝－ x＋4的解，又因为坐标（x，y）是二元一次
方程5x－6y＝33的解，所以坐标（x，y）是二元一次方程组
的解，通过解方程组即可求出点P的坐标，进而判断
坐标的位置.
跟踪训练 （2024扬州）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图
象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方
程kx＋b＝0的解为 .
x＝－2
（2024北京）已知在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）
与y＝－kx＋3的图象交于点（2，1）.
（1）求k，b的值；
解：（1）∵直线y＝－kx＋3经过点（2，1），
∴－2k＋3＝1.
解得k＝1.
将点（2，1）代入y＝x＋b，得2＋b＝1.
解得b＝－1.
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大
于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的
取值范围.
解：（2）m≥1
素养落地 几何直观、运算能力(共34张PPT)
反比例函数及其应用
第12讲
第三章 函 数
考点通关
素养通关
知识通关
反比例函
数及其应用
反比例函
数及其应用
反比例函数是中考的必考内容，常考知识点有：1.反比例函数的图
象与性质，此考点多考查基础知识，常以选择题、填空题的形式呈现，
利用反比例函数的图象与性质，判断函数的增减性，并以此来比较自变
量或函数值的大小，10年3考，分值3分.2.反比例函数解析式的确定，
此考点为高频考点，常考查的类型有：①利用反比例函数中k的几何意
义确定解析式；②利用待定系数法确定解析式，常出现在填空题和解答
题中，10年9考. 3.反比例函数与一次函数的综合，此考点在填空题与解答题中都有出现，常与三角形、四边形等知识综合考查，常考查的类型有：①解析式的确定；②根据图象确定不等式的解集；③几何图形面积的计算或点的坐标的确定等.
考点 1 反比例函数的图象与性质
例1 （2020河南）若点A（－1，y1），B（2，y2），C（3，y3）均在
反比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ C ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y2＞y1
C
本题考查了反比例函数的增减性.明确k的正负与增减性之间的关
系是解题的关键.数据比较简单，也可用代入求值比较大小.
根据k的值
确定增减性
判断点的位置 确定大小关系
变式训练 （2024浙江）反比例函数y＝ 的图象上有P（t，y1），Q
（t＋4，y2）两点，下列正确的选项是（ A ）
A. 当t＜－4时，y2＜y1＜0
B. 当－4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C. 当－4＜t＜0时，0＜y1＜y2
D. 当t＞0时，0＜y1＜y2
A
【解析】因为反比例函数y＝ 中，k＝4＞0，所以此函数图象的两
个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.当
t＜－4时，t＋4＜0，∵t＜t＋4＜0，∴y2＜y1＜0，A选项正确；当
－4＜t＜0时，t＋4＞0，∵t＜0＜t＋4，∴y1＜0＜y2，B，C选项均
错误；当t＞0时，t＋4＞0，∵0＜t＜t＋4，∴y1＞y2＞0，D选项错
误.故选A.
考点 2 反比例函数解析式的确定
①利用反比例函数中k的几何意义确定解析式
例2 （2023长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝
（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为
点B，连接OA. 若△OAB的面积为 ，则k＝ .
本题考查了反比例函数的性质及反比例函数中k 的几何意义. 解题
的关键是找出含 k 的关系式. 本题属于基础题，难度不大.
S△AOB＝ ｜k｜ 求出k值
跟踪训练 （2024齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝ （k为常数，
k≠0，x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，
若点B（－1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为 .
－6
变式训练 （2024苏州）如图，点A为反比例函数y＝－ （x＜0）图
象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝ （x＞
0）的图象交于点B，则 的值为（ A ）
A
A. B.
C. D.
【解析】如图，作AG⊥x轴，BH⊥x轴，垂足分别为G，H. 可证明
△AGO∽△OHB. 根据k的几何意义，可得S△AGO＝ ，S△BOH＝2.利
用面积比等于相似比的平方，即可求得 ＝ .故选A.
②利用待定系数法确定解析式
例3 （2023河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图，
在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝ （k≠0）图象上的点A
（ ，1）和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E
在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作 ，连接BF.
（1）求k的值；
解：（1）将A（ ，1）代入y＝ 中，
得1＝ .解得k＝ .
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
解：（2）如图，连接AC，令AC交x轴于点M.
∵四边形AOCD是菱形，
∴AC⊥OD，M是AC的中点.
∵A（ ，1），
∴AM＝1，OM＝ ，AC＝2.
∴OA＝ ＝2.
∴OA＝OC＝AC. ∴△AOC是等边三角形.
∴∠AOC＝60°.∴扇形AOC的半径为2，圆心角为60°.
（3）请直接写出图中阴影部分的面积之和.
解：（3）3 －
【解析】如图，BF交OE于点N. 由题可知，S△FNO＝S△BNO＝
＝ .∴S△FBO＝2× ＝ .∵OD＝2OM＝2 ，∴S菱形AOCD＝
OD·AC＝2 .又∵S扇形AOC＝ ＝ ，∴S阴影＝S△FBO＋S菱形
AOCD－S扇形AOC＝ ＋2 － ＝3 － .
【解析】如图，
BF交OE于点N. 由题可知，S△FNO＝S△BNO＝
＝ .∴S△FBO＝2× ＝ .∵OD＝2OM＝2 ，∴S菱形AOCD＝
OD·AC＝2 .又∵S扇形AOC＝ ＝ ，∴S阴影＝S△FBO＋S菱形
AOCD－S扇形AOC＝ ＋2 － ＝3 － .
跟踪训练 （2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为
菱形，tan∠AOC＝ ，且点A落在反比例函数y＝ 上，点B落在反比
例函数y＝ （k≠0）上，则k＝ .
8
【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E.
由tan∠AOC＝ ，可设AD＝4x，则OD＝3x.根据点A落在反比例函
数y＝ 上，得4x·3x＝3.进而求出x＝± （负值舍去），即A点的坐
标为 .所以OA＝ ＝ ＝ .由四边形
AOCB为菱形，得到B ，
即（4，2）.把B（4，2）代入y＝ ，
得k＝4×2＝8.故答案为8.
考点 3 反比例函数与一次函数的综合
例4 如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交
于点A（m，3）和B（3，1）.
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析
式为 ；
y＝－x＋4
y＝
【解析】将B（3，1）分别代入y＝－x＋b
与y＝ 中，解得b＝4，k＝3.∴一次函数的解析式为
y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝ .
（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若
△POD的面积为S，求S的取值范围.
解：（2）由（1），得3＝ .∴m＝1，则A点坐标为（1，3）.
设P点坐标为（a，－a＋4）（1≤a≤3），则S＝ OD·PD＝ a
（－a＋4）＝－ （a－2）2＋2.
∵－ ＜0，
∴当a＝2时，S有最大值，且最大值为S＝－ ×（2－2）2＋2＝2；
当a＝1或a＝3时，S有最小值，且最小值为
S＝－ ×（1－2）2＋2＝ .
∴ ≤S≤2.
本题考查了反比例函数与一次函数的综合运用.解题的关键是求出
一次函数与反比例函数的解析式.设出点P的坐标，求出三角形面积的
表达式，根据二次函数的性质求出S的取值范围.
设点P的坐标为
（a，－a＋4）（1≤a≤3），
则S＝ OD·PD＝ a（－a＋4）
＝－ （a－2）2＋2
利用待定系数法
求函数的解析式
↓
解决问题 ←
根据二次函数的性质，
求出S的取值范围
跟踪训练 （2024广元）如图，已知反比例函数y1＝ 和一次函数y2＝
mx＋n的图象相交于点A（－3，a），B 两点，O为坐标
原点，连接OA，OB.
（1）求y1＝ 与y2＝mx＋n的解析式；
解：（1）∵反比例函数y1＝ 和一次函数y2＝mx＋n的图象相交于点A（－3，a），B 两点，
∴k＝－3a＝－2 .解得a＝3.
∴点A（－3，3），B .
∴k＝－3×3＝－9.∴y1＝－ .
把A（－3，3），B 代入y＝mx＋n，
得解得
∴y2＝－ x＋1.
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
解：（2）－3＜x＜0或x＞
（3）求△AOB的面积.
解：（3）设AB与y轴相交于点C，则C（0，1）.
∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝ OC（xB－xA）
＝ ×1× ＝ .
1. （2024通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形
ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝ （k为常数，k＞0）
上，将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲
线上，则k的值为（ A ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 3
A
【解析】设正六边形ABCDEF的边长为a.根据正六边形的性质和含
30°角的直角三角形的性质，可得E点的坐标为 ，点D的
坐标为坐标（a，0）.因为正六边形向上平移 个单位长度后点D的
对应点的坐标为（a， ），所以 a· a＝ a.解得a＝4.所以k＝
a＝4 .故选A.
本题主要考查了反比例函数的性质、正六边形的性质等.将函数图
象与几何图形结合起来，正确表示出点D，E，及平移后点D的对应点
等关键点的坐标是解题关键.
素养落地 数形结合、逻辑推理
2. （2024河南）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交
点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝ （x＞0）的图
象经过点A.
（1）求这个反比例函数的表达式；
解：（1）∵反比例函数y＝ （x＞0）的
图象经过点A（3，2），代入，得2＝ .
∴k＝6.∴这个反比例函数的表达式为y＝ .
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出
反比例函数的图象；
解：（2）反比例函数的图象如图所示.
（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上
时，平移的距离为 .
解：（3）【解析】由图知，E（6，4）.
令 ＝4，得x＝ .∵6－ ＝ ，∴矩形
ABCD向左平移 个单位时，点E落在反比
例函数图象上.故答案为 .
素养落地 数形结合、数学运算、逻辑推理(共30张PPT)
二次函数的图象与性质
第13讲
第三章 函 数
考点通关
素养通关
知识通关
-
二次函数的
图像与性质
二次函数的
图像与性质
本课时在中考中基本上占3～10分.常考知识点有：1.二次函数的图
象与性质，考查的内容有：①增减性；②对称性；③求顶点坐标；④以
二次函数为载体，探究函数图象的性质，主要在填空题、选择题中出
现，是高频考点，10年3考，占3分.2.二次函数解析式的确定，此考点
年年考，一般出现在二次函数综合题的第一问.3.二次函数图象的平
移，是中考的常见考点，考查的内容有：①解析式的确定；②明确二次
函数解析式的三种形式，会判断平移后的二次函数解析式，10年2考，
占3分.
考点 1 二次函数的图象与性质
①二次函数的增减性
例1 已知点A（4，y1），B（ ，y2），C（－2，y3）都在二次函数
y＝（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
y2＜y1＜ y3
解决此类问题的关键是能够求出对称轴，并能根据开口方向判断对
称轴两侧的增减性.需要注意的是所给的点是否在对称轴的同侧，若不
在同侧，要根据对称性转化到同侧，再利用增减性比较大小.本题也可
直接代入求值比较大小.
跟踪训练 （2024广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在
二次函数y＝x2的图象上，则（ A ）
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
变式训练 （2024乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－
1），当x＝－1时，函数取得最大值，当x＝1时，函数取得最小值，
则t的取值范围是（ C ）
A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4
C. 2≤t≤4 D. t≥2
A
C
②二次函数图象的对称性
例2 （2019河南）已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和
（4，n）两点，则n的值为（ B ）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
B
本题考查了二次函数图象上点的坐标.熟练掌握二次函数图象上点
的对称性是解题的关键.
跟踪训练 （2023内蒙古）已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞
0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值
为 .
变式训练 （2023福建）已知抛物线y＝ax2－2ax＋b（a＞0）经过A
（2n＋3，y1），B（n－1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称
轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 .
2
－1＜n＜0
③二次函数图象的顶点坐标与最值
例3 已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，
则该抛物线的顶点坐标是 .
（1，4）
本题考查了二次函数的图象和性质.解决此类问题的关键是先求出
解析式，再把一般式化为顶点式求出顶点坐标，或者直接代入顶点坐标
公式求解亦可.
跟踪训练 （2024眉山）定义运算：a b＝（a＋2b）（a－b），例
如4 3＝（4＋2×3）（4－3），则函数y＝（x＋1） 2的最小值为
（ B ）
A. －21 B. －9 C. －7 D. －5
B
变式训练 （2024河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h
（m）满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0
（m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地
面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表
示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度.
解：（2）由题意知，当t＝ 时，h＝20.
所以－5× ＋v0× ＝20.
解得v0＝20（舍去负值）.
答：小球被发射时的速度是20 m/s.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的
高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，
请判断他的说法是否正确，并说明理由.
解：（3）小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得h＝－5t2＋20t.
∴当h＝15时，15＝－5t2＋20t.
解得t1＝1，t2＝3.
∵3－1＝2（s），
∴小明的说法不正确.
考点 2 二次函数解析式的确定
例4 （2024浙江）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象
经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－ .
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）由题意知，二次函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝－ .
∴b＝1.∴二次函数为y＝x2＋x＋c.
又函数图象经过点A（－2，5），
∴4－2＋c＝5，即c＝3.
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3.
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个
单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
解：（2）由题意知，点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m
个单位长度（m＞0）后的点为（1－m，9）.
又点（1－m，9）在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝（1－m）2＋（1－m）＋3.
解得m＝4或m＝－1（舍去）.
∴m＝4.
（3）当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的
差为 ，求n的取值范围.
解：（3）由（1）知，当x＝－2时，y＝5；
当x＝－ 时，y＝ ；5－ ＝ .
∵当－2≤x≤n时，
二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为 ，
∴－ ≤n≤1.
∴当x＝n时，y＝3，且n＜－ .
∴n2＋n＋3＝3.
解得n＝－1或0（舍去）.
所以n的值为－1.
拓展：由（3）知，2＜ ，5－2＝3.
拓展 当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差
为2，求n的值.
本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化——
平移，其中用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.第（1）问除
了由点A（－2，5）在抛物线上得到一个关于b，c的方程外，由对称
轴是直线x＝－ ，结合对称轴公式求出b的值是本题的突破口；第
（2）问可以先表示出点B平移后的对应点的坐标，然后代入抛物线解
析式求出m的值，也可以求出函数值等于9时自变量的值，然后推出m
的值；
第（3）问先判断当x＝－2与当x＝－ 时的函数值的差值刚好等于 ，
因此－ ≤n≤1.拓展：如果当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋
c的最大值与最小值的差小于 ，那么n就是小于－ 的某个数；如果当
－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差大于 ，
那么n就是大于1的某个数.
跟踪训练 （2024福建）如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）.
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）由题意，将A（－2，0），C（0，－2）
代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2.
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x
轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
解：（2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0）.
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴ BD·n＝2× BD·CO.
∴n＝2CO＝4.
∴m2＋m－2＝4.
解得m1＝－3，m2＝2（舍去）.
∴点P的坐标为（－3，4）.
考点 3 二次函数图象的平移
例5 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长
度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ B ）
A. y＝（x＋2）2＋2 B. y＝（x－2）2－2
C. y＝（x－2）2＋2 D. y＝（x＋2）2－2
B
本题主要考查了二次函数图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何
平移得到的即可.在一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）平移过程中，先把
抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律：左右平移在x处加减
平移单位长度，上下平移在等号右边的整体加减平移单位长度.
跟踪训练 （2024包头）将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度
后，所得新抛物线的顶点式为（ A ）
A. y＝（x＋1）2－3 B. y＝（x＋1）2－2
C. y＝（x－1）2－3 D. y＝（x－1）2－2
变式训练 （2024内江）已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2
个单位长度得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C
上，则y1 y2.（填“＞”或“＜”）
A
＜
（2023巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个
函数互为“Y函数”.例如：函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y函
数”.若函数y＝ x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为 .
（3， 0）或（4，0）
【解析】当k＝0时，函数解析式为y＝－x－3，它的"Y函数"的解析式
为y＝x－3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“ Y函数”的图
象与x轴的交点坐标为（3，0）；当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数y＝ x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即 ＝0，解得k＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－ x2－2x－4＝－ （x＋4）2，∴它的“Y函数”的解析式为y＝－ （x－4）2，令y＝0，得－ （x－4）2＝0，解得x＝4，
∴二次函数的“ Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（4，0）.综上所述，它的“ Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）.
素养落地 创新意识、应用意识、分类讨论、运算能力、数形结合(共27张PPT)
第三章 函 数
平面直角坐标系及
函数的基本知识
第9讲
考点通关
知识通关
素养通关
平面直
角坐标系
平面直
角坐标系
函数的
基本性质
函数的
基本性质
本课时在中考中基本上占3～6分，常考知识点有点的坐标（10年9
考）和函数图象的分析与判断（10年7考）.点的坐标主要考查平面内点
的坐标特征，结合图形的旋转、平移、轴对称及坐标系中点的规律求点
的坐标，多以选择题的形式呈现，属中等难度问题.函数图象的分析与
判断的考查方式有两种：一是几何图形中动点问题的函数图象的分析或
判断；二是跨学科融合背景下的函数图象分析，这是近几年考查的新动
向、新题型，2022年和2024年均以此方式考查.
考点 1 平面直角坐标系中点的坐标
例1 （2022河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形
ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P. 将△OAP绕
点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐
标为（ B ）
B
A. （ ，－1） B. （－1，－ ）
C. （－ ，－1） D. （1， ）
【解析】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA
＝AB＝2，∠BAO＝60°.∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°.∴∠AOP
＝30°.∴AP＝1，OP＝ .∴A（1， ）.如图，将△OAP绕点O
顺时针旋转，每次旋转90°，可得点A2与D重合.由360°÷90°＝4可
知，每4次为一个循环.∵2 022÷4＝505……2，∴点A2 022与点A2重
合.∵点A2与点A关于原点O对称，∴A2（－1，－ ）.∴第2 022次
旋转结束时，点A的坐标为（－1，－ ）.故选B.
本题主要考查了正六边形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三
角形的性质等知识.根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关
键.由正六边形的性质，可得A（1， ），再由360°÷90°＝4，可
得每4次为一个循环，由2 022÷4＝505……2，可得点A2 022与点A2重
合，求出点A2的坐标可得答案.
跟踪训练 （2024黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形
OMNP的顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B的坐
标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边
（方向为O→M→N→P→O→M→…）做无滑动滚动，第一次滚动
后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1
的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点
记为A3，A3的坐标是 ；……如此
下去，则A2 024的坐标是 .
（1，3）
【解析】根据所给的滚动方式，依次求出A1（2，0），A2（2，0），
A3 ，A4（3，2），A5（3，2），A6 ，A7
（1，3），A8（1，3），A9 ，A10（0，1），A11（0，1），
A12 ，A13（2，0），….由此可见，点An的坐标每12个循环一
次.因为2 024÷12＝168……8，所以点A2 024的坐标为（1，3）.故答案
为（1，3）.
考点 2 函数图象的分析与判断
例2 （2023河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直
线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B. 设点P运动
的路程为x， ＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边
三角形ABC的边长为（ A ）
A
图1 图2
A. 6
B. 3
C. 4
D. 2
【解析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点为
O，再从点O沿直线运动到顶点B. 结合图象可知，当点P在AO上运动时， ＝1.∴PB＝PC，AO＝2 .又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC. ∴△APB≌△APC（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO. ∴∠BAO＝∠CAO＝30°.当点P在OB上运动时，由图象可知，点P到达点B时的路程为4 .∴OB＝2 .∴AO＝OB＝2 .∴∠BAO＝∠ABO＝30°.过点O作OD⊥AB于点D.
∴AD＝BD. ∴AD＝AO· cos 30°＝3.
∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6.
故选A.
跟踪训练 （2024广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从
点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动
时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角
形的斜边AB的长为（ A ）
A
A. 5
B. 7
C. 3
D. 2
【解析】当点P运动到C处时，△ABP的面积y＝6，即 AC×BC＝
6，即AC×BC＝12.又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1
cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7 s，即AC＋BC＝7.∴（AC＋
BC）2＝49，即AC2＋BC2＋2AC×BC＝49.∴AC2＋BC2＝25.∵AC2
＋BC2＝AB2，∴AB＝5.故选A.
【解析】当点P运动到C处时，△ABP的面积y＝6，即 AC×BC＝
6，即AC×BC＝12.又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1
cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7 s，即AC＋BC＝7.∴（AC＋
BC）2＝49，即AC2＋BC2＋2AC×BC＝49.∴AC2＋BC2＝25.∵AC2
＋BC2＝AB2，∴AB＝5.故选A.
例3 （2024安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC
＝2，BD是边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重
合），且DE⊥DF. 设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x
的函数图象为（ A ）
A
A B C D
【解析】过D作DH⊥AB于点H，由题意，得AC＝ ＝
2 ，BD＝ ＝ .∴CD＝ ＝ ，AD＝AC－
CD＝ .故DH＝ ＝ .∴ ＝ AE·DH＝ x× ＝ x，
S△BDE＝ BE·DH＝ （4－x）× ＝ － x.由题意，得
△BDE∽△CDF.
∴ ＝ ＝ .故S△CDF＝ S△BDE＝ ＝ － x.∴y
＝S△ABC－S△ADE－S△CDF＝4－ x－ ＝－ x＋ .故选A.
本题考查了动点问题的函数图象的判断.函数图象是典型的数形结
合，图象包含信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实
际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，
要理清图象的含义即会识图.
跟踪训练 （2024烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝8 cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与
AB的中点重合，EF＝2 cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1 cm/s
的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止.在这个运动过
程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t
（s）之间的函数关系图象大致是（ D ）
D
A B C D
【解析】解决本题先用定性分析进行判断，刚开始重叠部分的面积不断
增加，增加的速度越来越快，当点H进入矩形后，重叠部分的面积增长
的越来越慢，当点E进入矩形后，重叠部分的面积不变，然后点G出矩
形后，重叠部分的面积开始减少，减少的速度越来越快，当点H出矩形
时，减小的速度越来越慢.故选D.
（2024山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是
偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必
进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy
中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到
新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点（6，3）经过第
1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类
推.则点（1，4）经过2 024次运算后得到点 .
（2，1）
【解析】根据新定义依次计算出各点的坐标，点（1，4）经过1次运算
后得到点为（1×3＋1，4÷2），即为（4，2）；经过2次运算后得到点
为（4÷2，2÷1），即为（2，1）；经过3次运算后得到点为（2÷2，
1×3＋1），即为（1，4）；……发现规律：点（1，4）经过3次运算后
还是（1，4）.∵2 024÷3＝674……2，∴点（1，4）经过2 024次运算
后得到点（2，1）.故答案为（2，1）.
本题考查了点的变化规律，发现变化规律是解题关键.
素养落地 数形结合、直观想象、逻辑推理
跟踪训练 （2023日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”.据传，他在计算1＋2＋3＋4＋…＋100时，用到了一种方法，将首尾两个数加，进而得到1＋2＋3＋4＋…＋100＝ .人们借助于这样的方法，得到1＋2＋3＋4＋…＋n＝ （n是正整数）.有下列问题，如图，在平面直角坐标系中有一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi是整数.记an＝xn＋yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，－1），即a3＝0，……，以此类推，则下列结论正确的是（ B ）
B
A. a2 023＝40 B. a2 024＝43
C. ＝2n－6 D. ＝2n－4
【解析】第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；第2圈有8个点，
即A2到A9（1，1），这时a9＝1＋1＝2；第3圈有16个点，即A10到A25
（2，2），这时a25＝2＋2＝4；……依次类推，第n圈，
（n－1，n－1）.由以上规律可知，A2 023是在第23圈上，且A2 025
（22，22）.所以A2 023（20，22），即a2 023＝20＋22＝42，故选项A不
正确；A2 024是在第23圈上，且A2 024（21，22），即a2 024＝21＋22＝
43，故选项B正确；第n圈， （n－1，n－1），所以
＝2n－2，故选项C，D均不正确.故选B.(共39张PPT)
一次函数的应用
第11讲
第三章 函 数
考点通关
素养通关
知识通关
本课时在中考中基本上占3～12分，常考知识点是一次函数的应用.
以实际问题为背景，利用一次函数的图象和性质，进行解答，每年必
考，考查的方式一般有：1.一次函数图象型问题，由函数图象得到正确
信息，充分利用函数的性质来解决问题，是中考的必考题型，多以解答
题的形式命题.2.方案选取型问题，是中考的重点考查内容，由函数图
象得到正确信息，把已知量代入解析式得到未知量，再根据结果进行选
取，以解答题的形式命题，10年3考，分值9分.3.方案设计型问题，是
中考的重点考查内容，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结
合实际，设计最优方案，以解答题的形式命题，10年5考，分值9分.
考点 1 一次函数图象型问题
例1 （2024牡丹江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出
发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙
两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 h到达目的地.甲、乙两车之
间的路程y（km）与两车行驶时间x（h）
的函数关系如图所示，请结合图象信息，
解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 km/h，并在图中括号内填上正确的数；
解：（1） 图中括号内填的数为300
70
（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值
范围）；
解：（2）由图可知，E，F的坐标分别为 ，（4，180）.
设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx＋b，
则解得
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x－300.
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地
路程的3倍.
解：（3） h或 h
【解析】由题意知，
A，C两地的距离为 ×70＝300
（km），乙车行驶的速度为300÷ －70
＝50（km/h），C，B两地的距离为
50×4＝200（km），A，B两地的距离为300－200＝100（km）.
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.分两种
情况，当甲、乙相遇前时，200－50x＝3（100－70x），解得x＝ ；
当甲、乙相遇后时200－50x＝3（70x－100），解得x＝ .综上可知，
两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
本题考查了一次函数的实际应用.解决此类问题需结合题意分析图
象，明确x，y表示的意义，理解图象上拐点的意义，从图象中准确获
取信息是解题的关键.本题中x表示两车行驶的时间，y表示两车之间的
路程.D点表示两车出发，D点的纵坐标就是A，C两地间的距离；E
点表示两车相遇，F点表示乙车到达B地，M点表示甲车到达C地.①
由F（4，180）和M 可知，甲车 小时走了20 km，因此甲
车速度为70 km/h；
②由E 和F（4，180）可知，甲、乙两车 小时走的路程和为
180 km，因此甲、乙速度和为120 km/h，因此乙车速度为50 km/h；③
甲、乙两车 小时走的路程和为300 km，即A，C两地相距300 km，也
就是D点的纵坐标为300；④B，C两地的距离就是乙车4小时走的路程，
即200 km，因此A，B两地的距离为100 km.得出以上四条信息后，利
用行程问题中时间、速度、路程之间的关系，各类问题就迎刃而解了.
跟踪训练 （2024齐齐哈尔）领航无人机表演团队进行无人机表演训
练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高
的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训
练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速度继续
飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96
米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演
完成后以相同的速度同时返回地面.甲、乙
两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）
与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系
如图所示.请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
8
20
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
解：（2）由图象知，N（19，96）.∵甲无人机的速度为8米/秒，∴甲
无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒）.∴甲无人机单独
表演所用时间为19－12＝7（秒）.
又6＋7＝13（秒），∴M（13，48）.
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b.
将M（13，48），N（19，96）代入，得
解得
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x－56.
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12
米？（直接写出答案即可）
解：（3）2秒或10秒或16秒
【解析】如图，A（0，20），B（6，48），同（2）可得线段OB所在
直线的函数解析式为y＝8x，线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x
＋20，线段BM所在直线的函数解析式为y＝48.当0≤t≤6时，由题
意，得｜4x＋20－8x｜＝12，解得x＝2或x＝8（舍去）；当6＜t≤13
时，由题意，得｜4x＋20－48｜＝12，解得x＝10或x＝4（舍去）；
当13＜t≤19时，由题意，得｜8x－56－4x－20｜＝12，解得x＝16或
x＝22（舍去）.综上，两架无人机表演训练
到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度
差为12米.
考点 2 方案选取型问题
例2 （2020河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活
动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝
k1x＋b；按照方案二所需费用为y2（元），
且y2＝k2x.其函数图象如图所示.
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义.
解：（1）∵y1＝k1x＋b的图象过点（0，30）和点
（10，180），
∴
解得
k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元，
b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元.
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值.
解：（2）打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）.
∴k2＝25×0.8＝20.
解：（3）解法一：选择方案一所需费用更少.理由如下：
由（1）知，y1＝15x＋30.
由（2）知，y2＝20x.
当y1＝y2时，即15x＋30＝20x.
解得x＝6.
∴结合题中函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费用更少.
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案
所需费用更少？说明理由.
解法二：选择方案一所需费用更少.理由如下：
由（1）知，y1＝15x＋30.
由（2）知，y2＝20x.
当x＝8时，y1＝15×8＋30＝150，y2＝20×8＝160.
∵150＜160，
∴y1＜y2.
∴选择方案一所需费用更少.
本题考查了一次函数应用的方案选取问题，分析图象，利用待定系
数法求出解析式.利用方程与不等式或结合函数图象进行选取.
利用待定系数
法求出k1和b的值，
并指出实际意义
解方程并结合图象
进行选取
←
借助第一问的解
析式，求k2的值
解决问题
跟踪训练 （2024眉山）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来
眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售.某商店用960元购进
的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同，每件A款文创
产品进价比B款文创产品进价多15元.
（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？
解：（1）设A款文创产品每件的进价是a元，则B款文创产品每件的进
价是（a－15）元.
根据题意，得 ＝ .解得a＝80.
经检验，a＝80是原分式方程的解.
所以80－15＝65.
答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元.
（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80
元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款
文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润
最大，最大利润是多少元？
解：（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100－x）
件，总利润为W元.
根据题意，得80x＋65（100－x）≤7 400.解得x≤60.
∴W＝（100－80）x＋（80－65）（100－x）＝5x＋1 500.
∵k＝5＞0，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，利润最大，且W最大值＝5×60＋1 500＝1 800.
答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后
获得的利润最大，最大利润是1 800元.
考点 3 方案设计型问题
例3 （2022河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准
（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学
为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展
种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用
300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.
解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元.
根据题意，得 ＝ ＋3.
解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解.
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元.
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买
A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗
基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最
少花费多少钱.
解：（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100－m）捆.
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100－m.解得m≤50.设本次购买花费w元.
∴w＝20×0.9m＋30×0.9（100－m）＝－9m＋2 700.
∵－9＜0，
∴w随m的增大而减小.
∴m＝50时，w取最小值，且最小值为－9×50＋2 700＝2 250（元）.
答：本次购买最少花费2 250元.
本题考查了分式方程和一次函数的应用.解题的关键是读懂题意，
寻找题目中的等量关系，列出方程及函数关系式.
找等量关系：1.市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍；2. 用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆
设未知数，列分式
方程，解得菜苗基地
A种菜苗的价格
设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100－m）捆，本次购买花费w元.确定m的取值范围，列出一次函数的解析式
根据一次函数的增减性，
确定本次购买的最少花费
←
跟踪训练 （2021河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶
非常畅销，小李在某网店选中了A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进
货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别 价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
（1）第一次小李用1 100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶
各购进多少个？
解：（1）设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30－x）个.
根据题意，得40x＋30（30－x）＝1 100.
解得x＝20.
∴30－20＝10（个）.
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个.
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶
进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案
才能获得最大利润，最大利润是多少？
解：（2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30－a）个，获利y
元.
根据题意，得y＝（56－40）a＋（45－30）×（30－a）＝a＋450.
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤ （30－a），即a≤10.∵y＝a＋450，且k＝1＞0，
∴y随a的增大而增大.∴当a＝10时，y最大值＝10＋450＝460.
∴B款玩偶为30－10＝20（个）.
答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得
最大利润，最大利润是460元.
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩
偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率＝ ×100％）
解：（3）第一次的利润率为 ×100％≈42.7％，
第二次的利润率为 ×100％＝46％.
∵46％＞42.7％，
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算.
【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良
心”，某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤，小组先设
计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中
的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理
推导得：（m0＋m）·l＝M·（a＋y），其中秤盘质量为m0克，重物
质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘
的水平距离为l厘米，秤纽
与零刻线的水平距离为a厘米，
秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重
物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定l和a的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a
的方程；
解：（1）由题意，得m＝0，y＝0.
∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a.
∴l＝5a.
（2）当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，
杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
解：（2）由题意，得m＝1 000，y＝50.
∴（10＋1 000）l＝50（a＋50）.
化简，得101l－5a＝250.
解：（3）由（1）（2），可得解得
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.
任务二：确定刻线的位置.
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
解：（4）由（3）可知，l＝2.5，a＝0.5.
∴2.5（10＋m）＝50（0.5＋y）.
∴y＝ m.
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻
线间的距离.
解：（5）相邻刻线间的距离为5厘米
素养落地 模型观念、应用意识、创新意识(共28张PPT)
二次函数的应用
第15讲
第三章 函 数
考点通关
素养通关
知识通关
本课时常考知识点有：1.以实际问题为背景构建二次函数模型解决
问题：本考点考查二次函数的实际应用，借助二次函数的图象与性质解
决实际问题，如2023年河南第22题和2022年河南第21题.2.利用二次函
数解决生活中的最值问题：①求利润的最大值或成本的最小值是中考的
常见考查角度，多以解答题的形式命题，占10分，如2018年河南第21
题；②抛物运动的最高点、汽车刹车后运动的最远距离等也是近几年的
热门考查角度，如2024年河南第22题.3.几何图形中的最值问题：利用
二次函数解决几何图形问题，是中考的常见考点，多以选择题、填空题
的形式命题，占3分.
考点 1 以实际问题为背景构建二次函数模型
例1 （2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，
她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平
距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角
坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是
水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式；
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点为（5，3.2）.
设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.2.
将（0，0.7）代入，得0.7＝25a＋3.2.
解得a＝－ .
∴y＝－ （x－5）2＋3.2＝－ x2＋x＋ .
∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋ .
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的
小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水
平距离.
解：（2）当y＝1.6时，有－ x2＋x＋ ＝1.6.
解得x＝1或x＝9.
∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）或9－3＝6（m）.
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m.
本题考查了二次函数的应用.解题的关键是读懂题意，把实际问题
转化为数学问题.
当y＝1.6时，得到
－ x2＋x＋ ＝1.6，
解得对应的x值.根据题
意转化为她与爸爸的距离
由抛物线顶点（5，3.2），
得抛物线的表达式为
y＝a（x－5）2＋3.2，
由点P的坐标用待定系
数法可得抛物线的表达式
跟踪训练 （2024江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，
球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx（a＜0）刻画，斜坡可以用
一次函数y＝ x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度
y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）①m＝ ，n＝ ；
3
6
②小球的落点是A，求点A的坐标.
解：②根据小球飞行的水平距离x（米）
与小球飞行的高度y（米）的变化规律表
可知，抛物线的顶点坐标为（4，8）.
所以解得
联立得解得或
∴点A的坐标是 .
∴二次函数的解析式为y＝－ x2＋4x.
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：
y＝－5t2＋vt.
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值.
8
②因为y＝－5t2＋vt＝－5 ＋ ，
所以 ＝8.
解得v＝4 （负值舍去）.
考点 2 最大利润问题
例2 （2024贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市
场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x
（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值：
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式.
解：（1）设y＝kx＋b（k≠0）.
∴解得
∴y＝－2x＋80.
解：（2）设日销售利润为w元.
∴w＝（x－10）（－2x＋80）＝－2x2＋100x－800＝－2（x2－50x
＋625）－800＋1 250
＝－2（x－25）2＋450.
∵－2＜0，
∴当x＝25时，w最大，且最大值为450.
答：当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是
450元.
（2）当糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润
是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的
礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，
求m的值.
解：（3）由题意知，w＝（x－10－m）（－2x＋80）＝－2x2＋
（100＋2m）x－800－80m.∵最大利润为392元，
∴ ＝392.
整理得m2－60m＋116＝0.解得m1＝2，m2＝58.
∵当m＝58时，x＝－ ＝54，
此时每盒糖果的利润为54－10－58＝－14（元），∴舍去.∴m＝2.
本题考查了二次函数的应用.正确求出函数关系式是解决问题的关
键.先设日销售利润为w元，然后根据w＝每盒糖果的利润×销售量
（用含x的式子表示出w），再根据以下知识点求最大值：二次函数的
二次项系数小于0时，求二次函数的最大值，可整理成y＝a（x－h）2
＋k，二次函数的最大值为k；也可整理成一般式y＝ax2＋bx＋c，最
大值为 .
跟踪训练 （2024新疆）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销
售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函
数解析式为y1＝5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如
图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点.
（1）求出成本y2关于销售量x的函数解析式.
解：（1）设抛物线的解析式为
y2＝a ＋ .
∵抛物线过点（2，4），∴a× ＋ ＝4.解得a＝1.∴y2＝ ＋ .
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
解：（2）由题意知，当销售量x＝ 时，成本最低，为 万元.
又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为y1＝5x，
∴当x＝ 时，y1＝5x＝5× ＝2.5（万元）.
∴此时的利润为2.5－ ＝0.75（万元）.
答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元.
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
（注：利润＝销售额－成本）
解：（3）由题意知，销售利润为
y1－y2＝5x－ ＝－x2＋6x－2
＝－（x－3）2＋7.
∵－1＜0，
∴当x＝3时，利润最大，且最大值为7.
答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，且最大利润是7万元.
考点 3 几何图形的面积问题
例3为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，
某校准备在校园里利用围墙（墙长12 m）和21 m长的篱笆墙，围成
Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除
围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案
回答下列问题：
图1 图2
（1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度
AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG
的长.
图1
解：（1）∵（21－12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积和为12×3＝36（m2）.
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2）.
∴36－a＝32.解得a＝4.
∴DG＝4 m.∴CG＝CD－DG＝12－4＝8（m）.
答：CG的长为8 m，DG的长为4 m.
（2）方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应
设计为多长？此时最大面积为多少？
解：（2）设BC的长为x m，则CD的长度为（21－3x） m.
∴总种植面积为（21－3x）·x＝－3x2＋21x＝－3 ＋ .
∵－3＜0，
∴当x＝ 时，总种植面积有最大值，为 m2.
答：BC应设计为 m，此时总种植面积最大，且最大面积为 m2.
图2
本题主要考查了二次函数的应用.能正确表示BC，CD的长，根据
二次函数的性质求最值是解题的关键.
设水池的长为a m，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积减水池的面积等于种植
面积列方程求解即可得出结论
设BC的长为x m，则CD的长度为（21－3x） m，得出面积关于x的
关系式，利用二次函数的性质求出最值即可
跟踪训练 （2024自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大
的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的
EO段围墙空缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，
OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围
墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地的最大面积是 m2.
46.4
【解析】要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭矩形菜地，就必须
尽量使用原来的围墙.由题图可知，我们要尽量利用围墙的AO段和CO
段，也就是说：矩形的两个边，一边在射线OA上，一边在射线OC上.
设射线OA上的这一段的边长为x m，则x可能小于等于AO的长8.也有
可能大于AO的长8.所以需分成两种情况进行讨论：①当x≤8时，S＝
x· ＝－ x2＋9.8x＝－ （x－9.8）2＋48.02，当x＝8时，
S＝46.4.②当x＞8时，S＝x· ＝－x2＋13.8x＝－（x
－6.9）2＋47.61.由于在x＞8的范围内，S均小于46.4.
所以由①②，得最大面积为46.4 m2.故答案为46.4.
京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐.如图，
在平面直角坐标系xOy中，某京剧脸谱的轮廓可以近似地看成是一个半
圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G. 点A，B，C，
D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，－3），AB
为半圆的直径，且AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0）.关于图形G
给出下列四个结论，其中正确的是 .（填序号）
①图形G关于直线x＝1对称；
①②
②线段CD的长为3＋ ；
③图形G围成的区域内（不含边界）恰有12个
整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当－4≤a≤2时，直线y＝a与图形G有两个公共点.
【解析】由图象可知，图形G关于直线x＝1对称，故①正确；如图，
连接CM，∵AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0），
∴OM＝1，MC＝2，∴OC＝ ＝ .
∵点D的坐标为（0，－3），∴OD＝3，
∴CD＝OD＋OC＝3＋ ，故②正确；
观察图象可知，图形G围成的区域内（不含边界）
有13个整点，故③错误；由图象可知，当a＝－4
或a＝2时，直线y＝a与图形G有一个公共点，故④错误.综上所述，
正确的有①②.故答案为①②.
本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用、圆的定义及勾股定
理等知识点.数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
素养落地 数形结合、逻辑推理、数学运算(共28张PPT)
二次函数的综合问题
第14讲
第三章 函 数
1. 二次函数图象与性质的应用是河南中考的常考内容，考查二次
函数的增减性、对称性、最值，并与平移变换，方程等结合出题.河南
中考近10年考查了3次.
2. 由二次函数图象与线段的交点个数、封闭图形中的整点个数，
求参数的取值范围问题，近年来在全国各地的中考中频繁出现，如2023
年北京第26题，2023年绍兴第23题，2022年北京第26题，2021年北京第
26题，2021年河南第22题，2021年吉林第26题都有考查，多以解答题的
形式出现，也有省份以选择题的形式出现.属于中等难度，分值10分.
类型一 二次函数性质的应用
1. 根据题意求出抛物线的表达式、顶点坐标、对称轴等.
2. 画出函数图象的示意图，特别要注意抛物线的开口方向，当开
口方向不确定时要分类讨论.
3. 结合图象的性质，数形结合分析问题.
例1 （2024北京）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x
（a≠0）.
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
解：（1）将a＝1代入，得y＝x2－2x＝（x－1）2－1.
∴抛物线的顶点坐标为（1，－1）.
解：（2）由题意，得y1＝a·（3a）2－2a2·3a＝3a3，y2＝ －
2a2x2.
∵y1＜y2，∴y2－y1＝a（ －2ax2－3a2）＝a（x2－3a）（x2＋a）
＞0.
①当a＞0时，由（x2－3a）（x2＋a）＞0，
得或
解得x2＞3a或x2＜－a，
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点.若对于x1＝
3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围.
∵3≤x2≤4，∴3a＜3或－a＞4，∴a＜1或a＜－4，
∵a＞0，∴0＜a＜1；
②当a＜0时，由（x2－3a）（x2＋a）＜0，
得或
解得3a＜x2＜－a，
∵3≤x2≤4，∴∴a＜－4.
综上，0＜a＜1或a＜－4.
跟踪训练 （2024安徽）已知抛物线y＝－x2＋bx（b为常数）的顶点
横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1.
（1）求b的值.
解：（1）由题意知，抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为 ，y＝－x2
＋2x的顶点横坐标为1.
∴ －1＝1.解得b＝4.
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，点B（x1＋t，y1＋
h）在抛物线y＝－x2＋bx上.
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t－1，求h的最大值.
解：（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，
∴y1＝－ ＋2x1.
∵点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋4x上，
∴y1＋h＝－（x1＋t）2＋4（x1＋t），
即－ ＋2x1＋h＝－（x1＋t）2＋4（x1＋t）.
∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t.
（ⅰ）∵h＝3t，
∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，即t（t＋2x1）＝t＋2x1.
∵x1≥0，t＞0，
∴t＋2x1＞0.∴t＝1.∴h＝3.
（ⅱ）将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，得h＝－3t2＋8t－
2，即h＝－3 ＋ .
∵－3＜0，
∴当t＝ ，即x1＝ 时，h取最大值，为 .
变式训练 （2024凉山）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A（－2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）把B（3，m）代入y＝x＋2，得m＝3＋2
＝5.∴B（3，5）.
把A（－2，0），B（3，5）代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8.
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过
点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求
点P的坐标.
解：（2）设P（t，－t2＋2t＋8），则E（t，t＋2），
D（t，0）.
∵PE＝2DE，
∴－t2＋2t＋8－（t＋2）＝2（t＋2）.
解得t＝1或t＝－2（舍去）.
∴点P的坐标为（1，9）.
（3）抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一
半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在； 或
或 或
【解析】如图，过M作MK∥y轴，交直线AB于点K.
易求得S△ABC＝ ×6×5＝15.设M（m，－m2＋2m＋8），
则K（m，m＋2）.∴MK＝｜－m2＋2m＋8－（m＋2）｜
＝｜－m2＋m＋6｜.∴S△ABM＝ MK·｜xB－xA｜
＝ ｜－m2＋m＋6｜×5＝ ｜－m2＋m＋6｜.
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴ ｜－m2＋m＋6｜＝ ×15，即｜－m2＋m＋6｜＝3.∴－m2＋m
＋6＝3或－m2＋m＋6＝－3.解得m＝ 或m＝ .∴点M的坐
标为 或
或 或
.
类型二 二次函数的交点和整点问题
1. 抛物线与直线的交点问题的解决方法是联立两个解析式得到一
元二次方程组，再根据一元二次方程组判断.
2. 抛物线与线段的交点问题的解决方法：①当抛物线的解析式确
定，线段含有参数时，将线段的一端固定，另一端运动，利用动点的横
坐标与动点的纵坐标代入抛物线的解析式所得的函数值进行大小比较求
解；②当抛物线含有参数时，首先要从关系式上分析其图象的对称轴、
开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点，因为二次项系数a的符号决定
开口方向，所以当二次项系数含参时，一定要分类讨论，然后数形结
合，通过画函数图象的示意图，找到特定时刻下图象的临界位置，特别
需要考虑图象的端点、顶点的情况，发现问题的突破口.
3. 已知区域内整点的个数，求待定系数取值范围的一般步骤：①
准确作图；②确定待定系数的意义，明确图象的变化趋势；③明确整点
所在区域，注意特殊点、临界点.总之，画图、数形结合及分类讨论是
解决此类题的常用方法.
例2 （2021河南）如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于
点A（2，0）和点B.
（1）求m和b的值；
解：（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式，
得0＝4＋2m.解得m＝－2.
将点A的坐标代入直线的表达式，得0＝－2＋b.解得
b＝2.
故m＝－2，b＝2.
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解
集；
解：（2）由（1）知，直线和抛物线的表达式分别为
y＝－x＋2，y＝x2－2x.
联立上述两个函数的表达式，并解得
（不合题意的值已舍去）.
∴点B的坐标为（－1，3）.
从图象上看，不等式 x2＋mx＞－x＋b 的解集为x＜－1或x＞2.
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到
点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标
xM的取值范围.
解：（3）－1≤xM＜2 或 xM＝3
【解析】当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只
有一个公共点，∵MN的距离为3，而AB的距离为3，
故此时只有一个交点，即－1≤xM＜2；当点M在点B
的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点
A的右侧，且当 xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点
（1，－1），即当xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点.综上
所述，－1≤xM＜2 或 xM＝3.
跟踪训练 （2024临夏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋
c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线
BC.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B
（3，0）两点，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
解：（2）如图，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点M.
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°.
∵∠MFB＝90°，∴∠PMQ＝∠FMB＝45°.
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形.
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作
PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出
最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
∴PM＝ PQ.
∴当PM的值最大时，PQ的值也最大.
设P（m，－m2＋2m＋3），则M（m，－m＋3）.
∴PM＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m.
∵－1＜0，∴当m＝ 时，PM的值最大，且PM的最大值为－ ＋ ＝ .
∴PQ的最大值为 PM＝ .
此时点P的坐标为 .
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点
N在直线BC的下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请
直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
解：（3） ≤xM≤0或3≤xM≤
【解析】设M（a，－a＋3），则N（a，－a＋1）.
当点N在抛物线上时，有－a＋1＝－a2＋2a＋3，
即a2－3a－2＝0.解得a1＝ ，a2＝ .
∵线段MN与抛物线有交点，∴满足条件的点M的横坐标的
取值范围为 ≤xM≤0或3≤xM≤ .
例3 （2024乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都
为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数，且a
＞0）与y轴交于点A.
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；
解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.
∴抛物线的顶点坐标（1，1）.
解：（2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线
与y轴的交点A的坐标为（0，2a）.
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的
个数为4个或5个，而a＞0，
∴当“完美点”的个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；当“完美点”的个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）.∴3≤2a＜5.
∴a的取值范围是 ≤a＜ .
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”
的个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，且线段MN与抛物线围成
的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围.
解：（3）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，a），且过点P（2，
2a），Q（3，5a），R（4，10a）.显然，“完美点”（1，1），
（2，2），（3，3）符合题意.
下面讨论抛物线经过点（2，1），（3，2）时的两种情况：①当抛物线
经过点（2，1）时，解得a＝ ，此时，P（2，1），Q ，R
（4，5），如图1所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，
1），（2，2），（3，3），共4个；
图1 图2
②当抛物线经过点（3，2）时，解得a＝ ，此时，P ，Q
（3，2），R（4，4），如图2所示，满足题意的“完美点”有（1，
1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个.
∴a的取值范围是 ＜a≤ .
