(共27张PPT)
第四章 三角形
线段、角、相交线和平行线
第16讲
考点通关
素养通关
知识通关
线段与角
线段与角
相交线与平行线
相交线与平行线
线段、角是平面图形中的基本元素，是必考知识点，其中线段的中
点、角的平分线考查的频次较高，往往都是融入到几何图形的性质与判
定中综合考查.相交线与平行线考查的频次比较高（10年8考），多以选
择题或填空题的形式呈现，与角的和差运算、角平分线、三角形内角和
等知识结合起来考查，2024年平行线与方位角结合考查，属于第一次，
也是中考命题稳中有变的导向.
考点 1 线段的相关概念
例1 已知点A，B，P在同一条直线上，给出下列等式：①AP＝BP；
②BP＝ AB；③AB＝2AP；④AP＋PB＝AB. 能判断点P是线段
AB的中点的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
对于图形问题，题目中如果没有图，可根据题意画出图形，结合图
形，紧扣定义便能解决问题，也可以利用逆推的思路来画出图形，然后
判断选项是否符合题意.对于判断类的题目，建议做出判断后在试卷上
做标记，比如①是正确答案，就在
①上画“√”，在错误的答案上画
“×”，这样便于后期检查，也能
降低出错的概率.
跟踪训练 已知线段MN，点P是直线MN上的一点，MN＝10 cm，
NP＝6 cm，点E是线段MP的中点，则线段ME的长为（ C ）
A. 2 cm B. 4 cm
C. 2 cm或8 cm D. 4 cm或8 cm
C
上述方法的数学依据是（ B ）
A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 线段中点的定义 D. 两点间距离的定义
B
例2 小明在设计黑板报时，想在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺
子不够长，他想出了如下方法：
①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；
②由两名同学分别按住毛线的两端，并绷紧；
③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线.
本题主要区分“两点之间，线段最短”“两点确定一条直线”的用
法，准确区分它们之间的作用即可解决本题.
跟踪训练
（2024吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民
大街路程最近，其蕴含的数学道理是 .
两点之间，线段最短
考点 2 利用相交线的性质求角度
例3 （2022河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足
为O. 若∠1＝54°，则∠2的度数为（ B ）
A. 26° B. 36° C. 44° D. 54°
B
本题考查了垂直的定义、平角的定义.正确把握相关定义是解题
关键.
跟踪训练 （2023河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝
80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ B ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
B
跟踪训练
变式训练 （2024北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.
若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（ B ）
变式训练
A. 29° B. 32° C. 45° D. 58°
B
考点 3 利用平行线的性质求角度
例4 （2021河南）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ D ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
D
本题主要考查了平行线的性质和邻补角的概念.既考查了同学们是
否能准确记忆同位角、内错角、同旁内角、邻补角等概念；又考查了同
学们数形结合的能力.在掌握概念的基础上，能够准确与图形一一对应
就能解决此类问题.
跟踪训练 （2024赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，
使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（ B ）
A. 100°
B. 105°
C. 115°
D. 120°
跟踪训练
B
变式训练 （2024陕西）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，
则∠D的度数为（ B ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
变式训练
B
1. （2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线
与平面镜的夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4的度数为
（ B ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【解析】本题融合入射光线是平行光线，考查平行线的性质，关键是由
平行线的性质推出∠1＝∠3，由反射定律，得到∠3＝∠4.
B
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的判断.熟悉它们的特征是
解题的关键.
素养落地 逻辑推理、几何直观、应用意识、创新意识
2. （2024达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改
变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，
则∠3的度数为（ B ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
【解析】本题融合光的折射，考查了平行线的性质，熟记平行线的性质
定理是解题的关键.根据"两直线平行，内错角相等"求解即可.
B
本题以物理中光的折射为背景，考查了平行线的性质和角度的计
算.了解物理知识，熟记平行线的三条性质就可以解决此类问题.
素养落地 逻辑推理、几何直观、应用意识、创新意识(共30张PPT)
锐角三角函数及其应用
第21讲
第四章 三角形
考点通关
素养通关
知识通关
锐角三
角函数
锐角三角函数
本课时考点在近十年河南中考中均以解答题（第18，19或20题位
置）的形式呈现，取材现实生活，2019～2022年呈现以河南文化建筑为
背景的趋势，分值为9分.涉及角度多为一个特殊角和一个非特殊角（共
考查8次）.考查的模型有“背对背”模型（10年3考）、“母子”模型
（10年7考）等.
考点 1 俯角、仰角问题
例1 （2022河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明
上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组想测量拂云阁
DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，
沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知
测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平
线上，求拂云阁DC的高度.
（结果精确到1 m，参考数据：
sin 34°≈0.56， cos 34°≈0.83，
tan 34°≈0.67）
解：如图，延长EF交DC于点H.
由题意，得∠DHF＝90°，EF＝AB＝15 m，CH＝BF＝AE＝1.5 m.
设DH＝x m.
在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x m.
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，
∴tan 34°＝ ＝ .∴EH＝ .
∵EF＝EH－FH＝15，即 －x＝15.
解得x≈30.5.∴DC＝DH＋CH＝30.5＋1.5≈32（m）.
∴拂云阁DC的高度约为32 m.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名
词术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等.若所给三角形
是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可
尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转
化为直角三角形问题进行解决.此外，
在测量问题中往往会涉及测角仪
等与计算无关的数据，在求建筑物
的高度时不要忽略这些数据.
跟踪训练 （2024河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所
在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处
感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B
两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像
最大，此时∠APB为最大视角.
图1 图2
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB；
解：（1）证明：如图，设AD与圆交于点M，
连接BM，则∠AMB＝∠APB.
∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB.
图2
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰
角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m，求塑像AB的高
（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.73）.
图2
解：（2）∵∠APH＝60°，PH＝6 m，
∴在Rt△APH中，AH＝PH·tan∠APH
＝PH·tan 60°＝6× ＝6 （m）.
∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°.
∴在Rt△BPH中，BH＝PH·tan∠BPH＝PH·tan 30°＝6× ＝2
（m）.∴AB＝AH－BH＝6 －2 ＝4 ≈4×1.73≈6.9（m）.
答：塑像AB的高约为6.9 m.
考点 2 方位角问题
例2 （2024泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得
小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测
得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时
间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A，C相
距30 n mile，求C，D间的距离
（计算过程中的数据不取近似值）.
解：由题意知，∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，∠CBD＝90°，AC
＝30 n mile.
如图，过点C作CH⊥AB于点H.
∴在Rt△ACH中，AH＝CH＝15 n mile，
在Rt△BCH中，BC＝ ＝
＝ ＝10 （n mile）.
如图，过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G，
则∠BDG＝60°.
∴∠CDB＝180°－60°－60°＝60°.
∴在Rt△CBD中，CD＝ ＝ ＝ ＝20 （n mile）.
答：C，D间的距离为20 n mile.
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题.用好已知条件中
的边和角，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.首先容易
判断∠CBD是直角，因此CD是Rt△BCD的斜边，欲求CD，需先求
BC，因此需要在△ABC中通过构造直角三角形求出BC.
跟踪训练 （2023重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别
前往海面A，B两处养殖场捕捞海产品.经测量，A养殖场在灯塔C的
南偏西60°方向，B养殖场在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东
方向，AC＝3 600米.
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3 600米，
cos 60°＝ ， sin 60°＝ ，
∴AD＝3 600× ＝1 800 （米），
CD＝ ×3 600＝1 800（米）.在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD. ∴BD＝CD＝1 800（米）.
∴BC＝ ＝1 800 ≈1 800×1.414≈2 545（米）.
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米.
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕
捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分
钟内到达B处？
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
解：（2）由（1）知，AB＝AD＋BD＝1 800 ＋1 800≈1 800×1.732＋1 800≈4 917.6（米）.
∵600×9＝5 400（米），5 400米＞4 917.6米，
∴甲组能在9分钟内到达B处.
答：甲组能在9分钟内到达B处.
考点 3 实际应用问题
例3 （2024苏州）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固
定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，
已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm.
图1 图2 图3
（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长
度（结果保留根号）；
解：（1）如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为点E.
图1
图1
由题意，得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm.
∵AD＝50 cm，
∴ED＝AD－AE＝50－20＝30（cm）.
∴在Rt△CED中，CD＝ ＝ ＝10 （cm）.
答：可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm.
图2
（2）如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度
α，且tan α＝ （α为锐角）时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留
根号）.
解：（2）如图2，过点D作DF⊥BC，
交BC的延长线于点F，交AD'于点G.
图3
图2
图2
由题意，得AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°.
∴在Rt△ADG中，tan α＝ ＝ .
∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm.
∴AD＝ ＝ ＝5x（cm）.
∵AD＝50 cm，∴5x＝50，即x＝10.
∴AG＝40 cm，DG＝30 cm.
∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40（cm）.
∴BF＝AG＝40 cm.∵BC＝20 cm，
∴CF＝BF－BC＝40－20＝20（cm）.
∴在Rt△CFD中，CD＝ ＝ ＝20 （cm）.
答：可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm.
图2
本题考查了解直角三角形的应用.根据题目的已知条件和问题（求
线段CD的长）并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.本题中没
有给出角度，因此在构造的直角三角形中只能先求出另外两条边，然后
利用勾股定理求出CD. （1）在图1中，过点C作CE⊥AD，可构造直
角三角形，在Rt△CED中，先求出CE，DE的长，然后利用勾股定理
进行计算即可；（2）在图2中，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于
点F，可构造直角三角形，在Rt△CFD中，先求出CF和DF的长，然
后利用勾股定理进行计算即可.
跟踪训练 （2023成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，
某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如
图，在侧面示意图中，遮阳篷AB的长为5米，与水平面的夹角为16°，
且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°
时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米，参考数据： sin
16°≈0.28， cos 16°≈0.96，
tan 16°≈0.29）
解：如图，过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K.
在Rt△ABT中，
BT＝AB· sin ∠BAT＝5× sin 16°≈1.4（米），
AT＝AB· cos ∠BAT＝5× cos 16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形.
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6（米）.
∵在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米.
∴CD＝CK－DK＝4.8－2.6＝2.2（米）.
答：阴影CD的长约为2.2米.
（2023湘潭）问题情境：
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家
徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定
在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周
运动，每旋转一周用时120秒.
图1
问题设置：
把筒车抽象为一个半径为r的☉O. 如图2，OM始终垂直于水平面，设
筒车的半径为2米.当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时
∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒，
∴每秒转过360°÷120＝3°.
∴∠BOM＝360°－3°×95－30°＝45°.
图2
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1
米，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）
图2
解：（2）如图，过点B，A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D.
∵在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝ OA＝ （米）.
∵在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝ OB＝ （米）.
∴CD＝OD－OC＝ － ≈0.3（米）.
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离约为0.3米.
素养落地 抽象能力、模型观念、应用意识(共27张PPT)
特殊三角形
第18讲
第四章 三角形
考点通关
素养通关
知识通关
特殊三角形
特殊三角形
特殊三角形是每年中考的必考知识点之一，各个题型均有出现，常
考知识点有勾股定理、三角函数、面积计算、特殊直角三角形的三边比
例关系、斜边上的中线等.常和旋转、轴对称、平移等图形变换相结
合，考查数形结合、分类讨论、逻辑推理等能力.
考点 1 特殊三角形中的相关计算
例1 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝ ，∠BAC＝30°，
图1 图2 图3 图4
（1）AC的长度为 ，S△ABC＝ ；
3
（2）如图2，分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点
D，连接DA，DC，则△ADC是 三角形，S△ADC＝ ；
（3）如图3，连接DB，交AC于点N，△ABD是 三角形，
S△ABD＝ ，BD＝ 2 ，AN＝ ；
等边
直角
2
图1 图2 图3 图4
（4）图3中，S四边形ABCD＝ ；
（5）如图4，若点M是BD的中点，连接AM，则AM＝ ；
（6）图4中，与△ABC全等的三角形是 .
3
△AMD
图1 图2 图3 图4
掌握特殊三角形的性质是解题的关键.本题中每一问的解决方法不
唯一，可尝试用多种方法解决问题，比较分析各方法的优势与劣势，最
终熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质解决问题.
跟踪训练 （2024重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝
36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长度为 .
【解析】根据等腰三角形两个底角相等，可求出∠ABC＝∠C＝
72°.根据角平分线的性质，可求出∠CBD＝∠ABD＝36°.∴∠A
＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°.∴AD＝BD＝BC＝2.故答
案为2.
2
变式训练 （2024安徽）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在
AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（ B ）
A. － B. －
C. 2 －2 D. 2 －
B
【解析】过点C作CH⊥AB于点H. 由等腰直角三角形的性质，可得
AB＝2 ，AH＝BH＝CH＝ .所以CD＝AB＝2 .在Rt△CDH
中，由勾股定理，可得DH＝ .所以BD＝DH－BH＝ － .故
选B.
考点 2 特殊三角形中的图形变换（1）——落在特殊位置
例2 （2021河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边
上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸
片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在原直角三角形纸
片的边上时，线段A'D'的长为 .
或 2－
图1 图2 图3
【解析】①当点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB
边于点E，如图1.根据题意，得△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直
平分线段DD'.则∠D'A'C＝∠DA'C＝∠A＝60°，A'C＝AC＝
1.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝ AC＝ ，AB
＝2AC＝2.由等面积法，可得斜高CE＝ .
∴A'E＝1－ .在Rt△A'D'E中，
∵ cos ∠D'A'E＝ ，∴A'D'＝2A'E＝2－ .
图1
②当点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图2.根据题意，得
△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD＝∠A'CD＝∠A'CD'＝ ∠ACB
＝30°.则∠D'A'C＝∠DA'C＝∠A＝60°，A'C＝AC＝1.∵∠D'A'C
＝60°，∠A'CD'＝30°，∴∠A'D'C＝90°.∴A'D'＝ A'C＝ ×1＝
.综上，线段A'D'的长为 或 2－ .
故答案为 或2－ .
图2
本题考查了三角形的面积公式、等面积法、勾股定理、三角函数、
垂直平分线的性质、折叠的性质、分类讨论等.由于点D'的位置不确
定，故需分类讨论，可借助直角三角形纸片探索具体的折叠，也可利用
“折叠的过程中，对应点连线的垂直平分线是折痕所在直线”找到两次
的折痕.画出符合题意的图形，找到其中关联的线段和角，在直角三角
形中利用勾股定理或三角函数即可解决问题.
跟踪训练 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝8 cm，折叠该三角形纸片，若AC边完全落在另一条边上，
则折痕的长为 cm.
3 或
【解析】分两种情形：①当AC边落在AB边上时（如图1），折痕是
AD. ②当AC边落在CB边上时（如图2），折痕为CF，过点F作
FG⊥BC于点G，FH⊥AC于点H，则四边形FGCH是正方形.设CG
＝x cm.分别利用面积法求解即可.
图1 图2
考点 3 特殊三角形中的图形变换（2）——特殊图形的存在性
例3 （2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝
2 ，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平
面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ. 当∠ADQ＝90°
时，AQ的长为 .
或
【解析】如图所示.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，∴AB＝ AC＝4.∵点D为AB
的中点，∴CD＝AD＝ AB＝2，∠ADC＝90°.∵∠ADQ＝90°，
∴点C，D，Q在同一条直线上.由旋转，得CQ＝CP＝CQ'＝1.分两
种情况：①当点Q在CD上时，在Rt△ADQ中，DQ＝CD－CQ＝1，
∴AQ＝ ＝ ＝ ；
②当点Q在DC的延长线上时，在Rt△ADQ'中，
DQ'＝CD＋CQ'＝3，∴AQ'＝
＝ ＝ .综上所述，当∠ADQ＝90°时，
AQ的长为 或 .故答案为 或 .
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上
中线的性质、旋转的性质和分类讨论思想.旋转中存在着隐形圆，即隐
藏着相等的线段，画出符合题意的图形，然后观察其中线段的关系是解
决此问题的关键.
跟踪训练 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，点D是
AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此
时恰好有CE⊥AB. 若CB＝1，那么CE＝ .
【解析】如图，
设CE交AB于点O. ∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB.
∴∠A＝∠ACD. 由翻折的性质可知，∠ACD＝∠DCE.
∵CE⊥AB，∴∠BCE＋∠B＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCE
＝∠A. ∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°.∴CO＝CB· cos 30°＝
.∵DA＝DE，DA＝DC，∴DC＝DE. ∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝ .∴CE＝ .故答案为 .
1. （2023凉山）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在
两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 .
1＋
取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC
小于等于OD＋DC，所以只有当O，D，C三点共线时，OC取得最大
值，最大值为OD＋CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB的中
点，得到BD为1，根据三线合一得到CD⊥AB，在直角三角形BCD
中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边
AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得
OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC＋OD，即
为OC的最大值.
素养落地 几何直观、逻辑推理
2. （2023北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C
之间，点D，E在直线AC的同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，
△EAB≌△BCD，连接DE. 设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面
三个结论：
①a＋b＜c；
②a＋b＞ ；
③ （a＋b）＞c.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ D ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
D
本题考查了全等三角形的性质、三角形的性质以及勾股定理.由
△EAB≌△BCD，可得BE＝BD，∠DBE＝90°.解决问题时要注意
BE的长既可以在Rt△EAB中通过勾股定理计算表示为 ，又可
以在Rt△EBD中通过勾股定理计算表示为 ，然后再由三角形三边关
系即可判断①②③.
素养落地 几何直观、逻辑推理(共24张PPT)
全等三角形
第19讲
第四章 三角形
考点通关
素养通关
知识通关
三角形全等
三角形判定定理的运用思路分析
已知两边分别相等 找⑨ →运用SAS
找⑩ →运用SSS
找 →运用HL
已知两角分别相等 找 →运用ASA
两边的夹角
第三边
直角
两角的夹边
三角形判定定理的运用思路分析
已知两角 分别相等 找 →运用AAS
已知一角一 边分别相等 找角的另一边→运用
找边的另一个邻角→运用
找边的对角（非邻角）→运用
任意一角的对边
SAS
ASA
AAS
全等三角形是证明线段相等和角相等的一种重要方法，全等三
角形的性质与判定在河南中考题中单独出现较少，往往在综合性的
题目中出现，常在简答题中与圆的相关知识结合进行考查，在类比
探究问题中与相似、四边形等知识相结合进行综合考查.对于全等三
角形的判定问题，常与实际应用相结合，审清题意，找出条件成为
解决问题的关键点.
考点 1 全等三角形的性质
例1 如图，△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E分别是对应点，
过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数
为（ B ）
A. 30° B. 25° C. 35° D. 65°
B
本题主要考查了全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的两锐
角互余即可解决问题.
跟踪训练
变式训练 （2024成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，
∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 .
100°
跟踪训练 如图，在4×4的正方形网格中，求α＋β＝ 度.
45
变式训练
考点 2 全等三角形的判定
例2 （2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平
分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE
＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线
l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP
即为∠AOB的平分线.
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以
Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的
平分线.
图1 图2
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如
下：如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF
（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线
OP，射线OP即为∠AOB的平分线.
……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 .（填序号）
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明
理由.
⑤
解：射线OP是∠AOB的平分线.理由如下：
如题图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS）.∴∠PEC＝∠PFD.
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS）.∴PE＝PF.
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS）.
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB.
∴射线OP是∠AOB的平分线.
图2
跟踪训练 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个
角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC＝OD，移动角尺，
使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射
线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ D ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
D
跟踪训练
变式训练 （2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过
点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.
变式训练
（1）求证：△BDE≌△CDA；
证明：（1）∵点D为BC边的中点，∴BD＝CD.
∵BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD.
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA（AAS）.
（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
证明：（2）∵点D为BC边的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线.
∴BA＝CA.
由（1）可知，△BDE≌△CDA.
∴BE＝CA.
∴BA＝BE.
变式训练
1. （2024遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝
A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等
三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且
BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ D ）
图1 图2
D
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
【解析】由题意知，满足两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形
是“伪全等三角形”.在△ABC中，通过全等可以证明AD＝AE.
∴△ABD和△ABE，△ABD和△ACD，△ACD和△ACE，△ABE和
△ACE，共4对“伪全等三角形”.故选D.
本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的
性质.熟知三角形全等的判定与性质及理解“伪全等三角形”的定义是
解题的关键.
素养落地 抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识
2. 王老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4，则AB的长
不可能是（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，
老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利
用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构
造一个特殊四边形，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正
确的是（ D ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙
D
【解析】如图1所示，
图1
图1
延长AD到E，使得AD＝ED＝4.∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在
△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS）.∴AB＝EC.
图2
∴DF是△ABC的中位线，AB＝2AF. ∴DF＝ AC＝ .∵AD－DF
＜AF＜AD＋DF，∴ ＜AF＜ .∴5＜AB＜11.∴甲的说法错误，
乙和丙的说法正确.故选D.
图2
∵AE－AC＜EC＜AE＋AC，∴5＜EC＜11，即5＜AB＜11.如图2所
示，取AB的中点F，连接DF. ∵D，F分别为BC，AB的中点，
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三
角形三边的关系.正确作出辅助线是解题的难点和关键点.
素养落地 阅读理解、逻辑推理(共22张PPT)
相似三角形
第20讲
第四章 三角形
考点通关
素养通关
知识通关
相似
相似
本课时在中考中基本上占3～13分，常考知识点有平行线分线段成
比例、相似三角形的性质与判定、相似三角形的应用（10年10考）.相
似三角形的性质与判定常用于解决图形中的边角关系及比值问题，是解
决几何问题的重要手段.它们在试卷中很少单独考查，一般会关联坐
标、网格、平行线、特殊四边形等知识，也常与图形的折叠、平移及旋
转等变换相结合出现在类比探究问题中.
考点 1 平行线分线段成比例
例1 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC. 若
BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ .
解决此类问题，关键在于找对“对应线段”，所成比例的线段都在被截
直线上，从“ ＝ ， ＝ ， ＝ ”（如图）中选取正
确的关系，借助比例的思想求线段长.
跟踪训练 （2023北京）如图，直线AD，BC交于点O，
AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为 .
考点 2 相似三角形的判定
例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，
CD＝1，BC＝4.在边BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角
形与以C，D，P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1
个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ B ）
B
A. 甲的说法正确
B. 乙的说法正确
C. 甲、乙的说法都正确
D. 甲、乙的说法都不正确
本题主要考查了相似三角形的判定.解决此类问题时，要注意：题
中若出现“∽”符号，则题中对应顶点已呈对应关系；若文字性地说两
个三角形相似，则需根据对应顶点的对应关系进行分类讨论.掌握相似
三角形的判定方法是解题的关键，
并注意方程思想的应用.
跟踪训练 （2024广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边
BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
∵ ＝ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ .
∴△ABE∽△ECF.
考点 3 相似三角形的判定与性质的应用
例3 （2024河南）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
点E为OC的中点，EF∥AB，交BC于点F. 若AB＝4，则EF的长为
（ B ）
A. B. 1 C. D. 2
B
【解析】利用平行四边形的性质、线段中点的定义，可得CE＝ AC.
证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质，可得 ＝ ，即
＝ .所以EF＝1.故选B.
本题考查了相似三角形的判定与性质，并涉及平行四边形的性质.
跟踪训练 （2023徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝
30°，BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE
的长为（ D ）
D
A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
【解析】在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
图1
图1
∴AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°.
∵点D是AB的中点，
∴AD＝ .∵ ＝ ，
∴DE＝1.①如图1，当∠ADE＝90°时，
∵∠ADE＝∠ABC， ＝ ，∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，∴AE＝2；
②如图2，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，∵点D是
AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝ BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE
＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1.故选D.
图2
图2
1. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条
直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB＝3，则线段BC的长
是（ C ）
A. B. 1 C. D. 2
C
本题考查了平行线分线段成比例.抓住横线等距、平行的特征可列
比例线段求得BC.
素养落地 数学应用、数学建模
2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC
重合，另一边分别交AB，AC于点D，E. 点B，C，D，E处的读数
分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 .
cm
本题考查了相似三角形的应用.根据相似三角形的判定和性质，可
以求得BD的长.
素养落地 数学应用、数学建模
3. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形
顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE＝ .
是
（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG＝∠FCD，证明∠CEA＝
90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明
△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.
素养落地 数学应用、数学建模(共20张PPT)
三角形及其性质
第17讲
第四章 三角形
考点通关
素养通关
知识通关
三角形的基本知识
三角形的基本知识
四线与四心
三角形是中考中的必考知识，常考知识点有三角形的概念、内角
和、稳定性、分类及外角，三角形三边关系及三角形中的4条重要线段.
常以填空题或者作为简答题中的某一小问出现.
考点 1 三角形的基本性质
例1 （2023福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以
是（ B ）
B
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
例2 （2024长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，
AD∥BC，则∠1的度数为（ C ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
例1考查了三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边，于是有4－3＜m＜4＋3，即1＜m＜7.
例2考查了三角形内角和定理及平行线的性质，根据“三角形内
角和是180°”，求出∠C的度数，然后再利用“两直线平行，内错
角相等”，可以得到∠1＝∠C. 解决例2也可以直接利用“两直线
平行，同旁内角互补”，得到∠1＋∠BAC＋∠B＝180°，从而求
出∠1的度数.
跟踪训练 （2023衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是
（ D ）
A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，8 cm，5 cm
C. 4 cm，5 cm，10 cm D. 4 cm，5 cm，6 cm
D
变式训练 （2024台湾）四边形ABCD中，E，F两点在BC上，G点
在AD上，各点位置如图所示.连接GE，GF后，根据图中标示的角与
角度，判断下列关系何者正确（ D ）
D
A. ∠1＋∠2＜∠3＋∠4
B. ∠1＋∠2＞∠3＋∠4
C. ∠1＋∠4＜∠2＋∠3
D. ∠1＋∠4＞∠2＋∠3
考点 2 三角形中的重要线段
例3 （2024凉山）如图，已知在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝
80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数
是 .
100°
【解析】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，
∠ACB＝80°，可求得∠CAB＝40°，∠CBA＝60°.因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB＝20°.在△ABE中，根据三角形内角和定理，可得∠AEB＝100°.故答案为100°.
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形
的性质.
（1）若∠B＝70°，∠BAC＝80°，则∠ADP的度数为 ；
（2）若AC＝8，CD＝5，则△ACD的周长是 ；
（3）若AD是BC边上的中线，AC＝10，AB＝6，则△ACD的周长与
△ABD的周长差是 ；
60°
18
4
跟踪训练 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C
为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直
线MN，交BC于点D，交AC于点P，连接AD.
（4）若∠BAC＝90°，点D为BC边上的中点，AB ＝6，
∠B＝60°，则DP＝ ，∠PDC＝ ；
（5）若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积
为 .
3
60°
9
1. 如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框
ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ D ）
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短
C. 同角的余角相等 D. 三角形具有稳定性
D
本题考查了三角形稳定性的实际应用.能够正确区分两点确定一条
直线，两点之间，线段最短，三角形具有稳定性是解决本题的关键.
素养落地 几何直观、数学抽象
2. （2024达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，
外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝
∠CBD；在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD
的三等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD；……以
此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度.
m
【解析】在△ABC中，∠E1＝∠E1BD－∠E1AD＝ ∠CBD－
∠CAB＝ ∠C，在△ABE1中，∠E2＝ ∠E1＝ ∠C. 同理，可求
得∠E3＝ ∠C，…，∠En＝ ∠C. 所以∠En＝ m°.故答
案为 m.
本题考查了三角形的外角和不相邻两内角的关系，即三角形的外角
等于不相邻的两个内角的和.熟练运用等式性质进行推理，发现规律是
解题的关键.
素养落地 几何直观、推理能力、运算能力
