(共32张PPT)
第七章 图形的变化
图形的平移、旋转与轴对称
第28讲
考点通关
素养通关
知识通关
图形的三大变化
图形的
三大变化
本课时在中考中基本上占3～19分，平移、旋转和轴对称是中考的
必考考点，且题目一般较难.考查形式有：1.以选择题的形式出现，判
断是否是轴对称图形、中心对称图形（10年2考）；2.以平面图形为背
景，如矩形等，经过轴对称、旋转变换，考查分类讨论及相关计算，求
线段的长、阴影部分面积，亦有求点的坐标（10年10考）.
考点 1 对称图形的识别
例1 （2024天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉
字中，可以看作是轴对称图形的是（ C ）
A B C D
C
本题考查了轴对称图形.关键是掌握轴对称的定义，即如果一个图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴.注意与中心对称图形的区别，把一个图
形绕着某点旋转180°后能和原来的图形重合的图形叫做中心对称图形.
考点 2 图形的平移
例2 （2023南充）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC
＝5，BE＝2，则CF的长是（ A ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5
A
本题考查了平移的性质.掌握经过平移，对应点所连的线段平行
（或在同一条直线上）且相等是解题的关键.由平移的性质可知，CF
＝BE＝2.
变式训练 （2020河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在
x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）.将正方形
OCDE沿x轴向右平移， 当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ B ）
B
A. B.
C. D.
考点 3 图形的轴对称
例3 （2024河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB
在x轴上，点A的坐标为（－2，0），点E在边CD上.将△BCE沿BE
折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标
为 .
（3，10）
【解析】由正方形的性质和折叠，得AD＝AB＝CD＝BC＝BF，EF
＝CE. 设AB＝m，则OB＝m－2，BF＝m.在Rt△OBF中，OF＝
6，由勾股定理，得（m－2）2＋62＝m2.解得m＝10.设CD交y轴于点
G，则FG＝4，FE＝8－GE. 在Rt△EFG中，利用勾股定理，得GE2
＋FG2＝FE2，即GE2＋42＝（8－GE）2.解得GE＝3.则E（3，10）.
也可以利用△EFG∽△FBO求GE的长.故答案为（3，10）.
本题重点考查了图形与坐标、正方形的性质、轴对称的性质、勾股
定理等知识.根据题意求出正方形ABCD的边长是解题的关键.
跟踪训练 （2024牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD
＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：
第一步，如图1，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，
将纸片展平；
第二步，如图2，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到
△AD'N，AD'交折痕MN于点E. 则线段EN的长为（ B ）
B
A. 8 cm B. cm
C. cm D. cm
【解析】根据矩形的性质和折叠的性质，可得∠ANM＝∠D'AN. 所
以EA＝EN. 设EA＝EN＝x cm，则D'E＝（12－x） cm.在
Rt△END'中，根据勾股定理，可得D'E2＋D'N2＝EN2，即（12－x）
2＋52＝x2.解得x＝ ，即线段EN的长为 cm.故选B.
变式训练 （2024河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO
关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D，下列不一定正
确的是（ A ）
A. AD⊥BC B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD
A
考点 4 图形的旋转
例4 （2024河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝
3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于
点E. 若CD＝1，则AE的最大值为 2 ＋1 ，最小值为
2 ＋1
2 － 1
2.
【解析】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°.∴点E是在以AB为直径的圆
上运动.∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1
为半径的圆上运动.∵AB＝ AC＝3 ，∴当 cos ∠BAE最大时，
AE最大，当 cos ∠BAE最小时，AE最小.
①如图1，当AE与☉C相切于点D，且D在△ABC的内部时，∠BAE
最小，AE最大.∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD＝ ＝2 .
∵ ＝ ，∴∠CEA＝∠CBA＝45°.
∴DE＝CD＝1.此时AE＝2 ＋1，即AE的最大值为2 ＋1.
图1
②如图2，当AE与☉C相切于点D，且D在△ABC的外部时，∠BAE
最大，AE最小.同理，可得AD＝2 ，DE＝1.此时AE＝2 －1，
即AE的最小值为2 －1.故答案为2 ＋1；2 －1.
图2
本题作为填空题的压轴题，综合考查了旋转的性质、等腰三角形的
性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识.根
据题意识别出隐圆，画出图形，作出合适的辅助线是解题的关键.根据
题意，可识别出点E是在以AB为直径的圆上运动，点D是在以C为圆
心，1为半径的圆上运动.所以当∠BAE最小时，AE最大，∠BAE最大
时，AE最小，这两种情形也刚好是AE与以C为圆心，1为半径的圆相
切的两种情形，然后再根据已知长度计算即可.
跟踪训练 （2024广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到
△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在
线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（ A ）
A. B. C. 2 D. 2
A
【解析】连接BD.根据旋转的性质，可得∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°.由勾股定理，可得BD＝.在等腰直角三角形ABD中，可得AD＝BD＝×＝.故选A.
变式训练 （2024天津）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕
点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延
长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ D ）
A. ∠ACB＝∠ACD B. AC∥DE
C. AB＝EF D. BF⊥CE
D
平移、旋转与轴对称是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十
分重要的学习内容，平移、旋转与轴对称只改变图形的位置，不改变图
形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换.小明发现，在
解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化.
（1）轴对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E，H在
对角线AC上，点F，I在BC边上，点G，J在CD边上，且
EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影
部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积
为 ；
8
【解析】∵正方形ABCD的边长为4，
∴S阴影＝S△ABC＝ ×4×4＝8.
图1 图2
（2）平移变换：如图3，已知长方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，
点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且FH∥BC，
EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；
小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周
长为 ；
44
图3
【解析】由平移的性质知，
C阴影＝C矩形ABCD＝2×（12＋10）＝44.
（3）如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝
105°，BC＝6 ，CD＝2，求四边形ABCD的面积；
图4
解：（3）如图，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得
△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H.
∴DE＝BC＝6 ，∠B＝∠ADE. ∵∠BAD＝120°，∠BCD＝105°，
∴∠B＋∠ADC＝135°.∴∠CDE＝135°.∴∠EDH＝45°.
∴EH＝6.∴S△CDE＝ CD·EH＝ ×2×6＝6.
在Rt△ECH中，由勾股定理，得CE＝ ＝10.
过点A作AF⊥CE于点F，∴CF＝ CE＝5.
∵∠BAD＝120°，∴∠CAE＝120°.
∴AF＝ CF＝ .
∴S△ACE＝ CE·AF＝ ×10× ＝ .
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ADE＝6＋ .
（4）如图5，已知△BAC≌△FCD，且B，C，D在一条直线上，BA
＝BC＝2，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点E满足CA＝CE且
∠ACE＝90°＋2α，连接AE，当α＝ 时，AE取得最大
值，且AE的最大值为 .（注：点 A，E，F均在直线BC
的上方）
图5
22.5°
4＋2
【解析】如图2，将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为点N，连接MN. ∴CM＝CB，CN＝CF. ∵∠ACB＝α，∠ACE＝90°＋2α，∴∠MCN＝90°.
∵△BAC≌△FCD，BA＝BC＝2，∴MN＝2 .∴AE≤AM＋MN＋NE，即AE最大值为4＋2 ，此时点A，M，N，E四点共线.∴4α＝90°.∴α＝22.5°.故答案为22.5°；4＋2 .
图2
（1）根据轴对称的性质，直接求△ABC的面积；（2）根据平移的性
质，求矩形ABCD的周长即可；（3）将△ABC绕点A逆时针旋转120°
得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，由
∠B＋∠ADC＝135°，得∠EDH＝45°，得出△CDE的面积，在
Rt△ECH中，由勾股定理得CE＝10，过点A作AF⊥CE于点F，再求
出△ACE的面积即可；（4）将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕
点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为点N，连接MN，
可得∠MCN＝90°，MN＝2 ，由AE≤AM＋MN＋NE，即AE最
大值为4＋2 ，此时点A，M，N，E四点共线.
素养落地 几何直观、运算能力、推理能力(共20张PPT)
第七章 图形的变化
投影与视图
第27讲
考点通关
素养通关
知识通关
投影与视图
本课时在中考中基本上占3分，是中考的必考知识点.通常以下面几
种方式考查：1.识别几何体的三视图；2.根据已知的三视图判断对应的
几何体；3.根据已知的三视图求几何体的表面积或体积或立体图形的展
开与折叠.十年来出题均为选择题，题目简单易得分，10年10考.
考点 1 识别几何体的三视图
例1 （2024河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶
的包装盒，它的主视图为（ A ）
A
A B C D
本题考查了简单几何体的三视图.理解视图的定义，掌握简单几何
体三视图的画法和形状是正确解答的关键.首先把茶叶包装盒实物抽象
为常见的几何体——六棱柱，再根据题中标示的几何体的正面确定它的
主视图.
跟踪训练 （2023河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博
物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图所示，
关于它的三视图，下列说法正确的是（ A ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
A
考点 2 立体图形的展开与折叠
例2 （2022 河南）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地
合·人心同”的中华文化内涵.将这六个汉字分别写在某正方体的表面
上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对
的面上的汉字是（ D ）
A. 合 B. 同 C. 心 D. 人
D
本题主要考查了正方体的展开与还原.注意正方体是空间图形，从
相对面入手，分析及解答问题.
跟踪训练 （2024江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方
形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ B ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
B
考点 3 与平行投影有关的问题
例3 下列四幅图中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是
（ B ）
A B C D
B
根据平行投影的意义和性质，可得影子与实物的位置和大小关系，
从而得出答案.
跟踪训练 龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌CDFH，
有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长
方形广告牌CDFH的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地
面上点E处（如图）.已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高
HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（ C ）
C
A. 6.75米 B. 7.75米
C. 8.25米 D. 10.75米
【解析】
如图，作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N.
∵点G是HF的中点，HF＝4米，∴CM＝MD＝GF＝2米.∵BC＝5
米，HC＝3米，DE＝4米，∴GM＝3米.根据平行投影的性质，可得
MN＝DE＝4米.∴BN＝BC＋CM＋MN＝11米.∵GM∥AB，∴
＝ ，即 ＝ .∴AB＝8.25米.故选C.
考点 4 与中心投影有关的问题
例4 （2024凉山）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为
△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是
△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是（ D ）
D
A. 90 cm2 B. 135 cm2
C. 150 cm2 D. 375 cm2
【解析】由OB∶BB1＝2∶3，可得△ABC与
△A1B1C1的相似比是2∶5.所以△ABC与△A1B1C1的面积
比为4∶25.因为△ABC的面积是60 cm2，所以△A1B1C1的面积为375 cm2.故选D.
本题考查了中心投影以及三角形的面积比.根据三角形硬纸板（记
为△ABC）平行于投影面，得出△A1B1C1与△ABC是位似图形是解答
本题的关键.
跟踪训练 一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电
线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是几号窗口（ ）
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
为方便住校生晚自习后回宿舍就寝，某中学新安装了一批照明路灯.一
天上午小刚在观看新安装的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照
明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高的文化走廊墙的顶端.小刚测
得照明灯的灯杆在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影
长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯的小静测得身高1.5米
的小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米.
请同学们画出与问题相关联的线条示意图
并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？
解：如图所示，过点E作EB⊥AC于点B.
根据题意，得DC＝BE＝4.6米，
DE＝BC＝2.5米.
∵同一时刻身高1.5米的小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，
∴ ＝ ，即 ＝1.5.解得AB＝6.9.
故AC＝AB＋BC＝6.9＋2.5＝9.4（米）.
答：新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4米.
本题主要考查了投影的应用.利用同一时刻影子与高度的关系列出
比例式是解题的关键.
素养落地 应用意识、模型思想
