9.2 用样本估计总体 教学设计

用样本估计总体
【教学目标】
1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.
2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.
【教学重难点】
会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
【教学过程】
一、基础知识
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数定义
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．
（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
（3）平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？
答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．
2．方差、标准差
标准差、方差的概念及计算公式
（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
（2）标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
二、合作探究
1.众数、中位数、平均数的计算
（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案（1）C （2）C
解析（1）平均数为＝87，众数为85，中位数为85．
（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．
由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．
【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
2．标准差、方差的计算及应用
甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别求出两组数据的方差；
（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
解（1）甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
（2）由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2．
（3）甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
【教师小结】
（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．
（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．
（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．
三、课堂总结
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.
【课堂检测】
1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B．
2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案 D
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
答案 D
4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )
A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
答案 B
解析 由茎叶图知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故选B．
5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．
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