2024-2025学年浙江省温州中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省温州中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则集合可以是( )
A. B. C. D.
2.已知，和是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
3.“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ，或 D. ，且
4.以下可能是函数的图像的为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足为正常数可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大
小，按照此模型，可推得( )
A. 当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于
B. 当时，随变大，物体速率增大，且始终大于
C. 当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于
D. 当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于
7.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图像关于直线对称，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
10.下列为真命题的是( )
A. 函数的最小值为
B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为
D. 函数的最小值为
11.设常数，函数，则( )
A. 函数在上单调递减
B. 当时，的图像关于直线对称
C. 对任意，的图像是中心对称图形
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 ______．
13. ______．
14.设常数，若存在且，使得，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
求集合；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，．
求证：是奇函数；
判断的正负，并说明理由．
17.本小题分
设常数，，函数．
若，解关于的不等式；
若，存在，对任意，恒成立，求的最小值．
18.本小题分
设常数，已知．
当时，求函数的单调递增区间；
当时，求的解集；
若存在，使成立，求实数的最小值．
19.本小题分
设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为现已知函数，，常数．
求的最大值；
对函数，当时，，求的取值范围；
设函数，，若的最大值为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：集合，
令，解得，
故A，
所以或，
，解得，
故B，
所以；
“”是“”的必要不充分条件，
则是的真子集，
当时，无解，符合题意，
当时，，即，
故，解得，故，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：证明：因为函数的定义域为，
令，得，
即，
令，
可得，
即，
所以在上为奇函数；
，理由如下：
因为在上为奇函数，
则，
当时，，
即，
所以．
17.解：若，则，
由，得，
解得．
时，可得；
时，，可得解集为；
时，，可得解集为；
时，恒成立，
即，恒成立，
即存在实数，使得对恒成立，
，
由在递减，
得，解得，
的最小值为．
18.解：若，则的定义域为，且，
所以为偶函数，
设，，且，
则，
因为，
则，，
则，
可得，
即，所以函数在内单调递增，
结合偶函数对称性可知，函数在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为；
若，则，
因为，即，
整理可得，则，
解得，
所以的解集为；
因为，即，
令，由可知：，
则，，
可得，即，
原题意等价于在内有解，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，可得，
解得，
所以实数的最小值
19.解：当时，单调递增，此时；
当时，，
设，
则，
在时，单调递减，
在时，单调递增，
故当时，单调递增，；
当时，单调递减，，
因此关于的根的分布如下：
当时，恰有一个根；
当时，恰有两根，；
当时，恰有个根，，；
当时，恰有个根，；
当时，恰有个根；
故当时，取到最大值；
由题意可得当时，有个解，
参变分离得：，
由函数的图象，
可得：；
设，则，其中的根的分布同，
接下来解方程，
又因为，
当时，在上单调递增，且，
故E，不符合题意；
当时，在上单调递减，且，
故E，不符合题意；
当时，，
在上单调递减，上单调递增，
，，
故E，不符合题意；
当时，在时单调递减，在上单调递增，
且，，
此时取，
则的三个根，，恰一一对应的三个根，且没有其他根，
故此时，
而对的其它取值，，
故E的最大值为；
当时，在上单调递增，
，，
故只需保证当时，的三个根落在的值域中，
即，
解得：，符合题意；
综上所述，当且仅当时，的最大值为．
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