2024-2025学年内蒙古名校联盟高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古名校联盟高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B.
C. D. ，的大小关系无法确定
4.已知函数若，则( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，两个函数为同一函数的是( )
A. B.
C. D. ，
10.定义集合与的运算：且已知集合，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B.
C. 关于的不等式的解集为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知，则的最小值为______．
14.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
求；
若，求．
16.本小题分
如图，某花圃基地要建造一面靠墙的两间相同的矩形花室．
若可供建造围墙的材料总长是米，求每间花室面积的最大值；
若要求每间花室的面积为平方米，求建造围墙所需的材料总长的最小值．
17.本小题分
已知函数满足．
求的解析式；
若是奇函数，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若恒成立，求的最大值；
若在上单调，求的取值范围；
求在上的最小值为，求．
19.本小题分
定义：为函数在上的平均变化率．
若函数在上的平均变化率为，证明：．
已知，设，，且．
证明：．
求的取值范围．
备注：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：全集，集合，．
可得，则，
所以．
由题意得，
因为，所以．
由，得且，
所以，解得舍去．
16.解：设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米，
因为建造围墙的材料总长为米，所以，
其中，，则，
每间花室的面积，
因为，
当且仅当，时，等号成立，
所以每间花室面积的最大值为平方米；
因为每间花室的面积为平方米，所以，则，
建造围墙所需的材料的总长，
当且仅当，时，等号成立，
故建造围墙所需的材料总长的最小值为米．
17.解：根据题意，因为，
所以，
得，
则；
由可知，，
因为是奇函数，所以，
即，
则，解得．
18.解：已知函数，
由题意得恒成立，则，
解得，
所以的最大值为．
由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调，所以或，
解得或，即的取值范围为．
当，即时，在上单调递增，，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得或，舍去．
故或．
19.解：证明：根据已知：函数在上的平均变化率为，
且为函数在上的平均变化率．
因此．
根据，得，
因此，所以．
证明：由于，
因此，
又因为，因此，
那么，所以．
则，
由于，，因此，，
所以，所以．
又因为，因此，所以．
设，
那么，
所以，因此函数在上单调递减，
根据，可得．
由于，因此，解得，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
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