2023-2024学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省安庆市高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，若，，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，为了测量，处岛的距离，小张在处观测，测得，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为海里．
A.
B.
C.
D.
8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知抛物线：的焦点恰为双曲线：
的一顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点
为，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
10.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.下列四个命题中，为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.美学四大构件是：史诗、音乐、造型绘画、建筑等和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为的直角梯形如图所示，则该椭圆的离心率为 ．
14.若“，”是真命题，则实数的最小值为 ．
15.在正方体中，，，，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ．
16.已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，，，其中．
记，求证：是等比数列；
设，数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知数列满足，且．
求数列的通项公式；
若，为数列的前项和，求．
19.本小题分
求下列函数的导数：
；
；
20.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且．
证明：无论取何值，总有；
是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
某中学共有名学生，其中高一年级有名学生．为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间单位：小时，绘制出了如图所示的频率分布直方图．
求样本中高一年级学生的人数及图中的值；
估计样本数据的中位数保留两位小数；
估计全校睡眠时间不低于个小时的学生人数．
22.本小题分
如图，是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱、、上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．棱长和是指多面体中所有棱的长度之和
求证：为正四面体；
若，求二面角的大小；
设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：证明：对任意的，，，
当时，，解得，
当时，因为，可得，
两式相减可得，即有，
经检验，满足上式，
整理得，
因为，，
所以，，
因此数列是首项和公比均为的等比数列；
证明：由可得，
，
，
，
两式相减可得：，
化简可得，
，
．
18.解：依题意，由，
可知数列是公差为的等差数列，
，
，
，．
由，可得，
则
．
19.解：因为，
所以，
因为，
所以．
20.解：证明：以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，
所以，，
所以，则，
所以无论取何值，总有；
不存在点使得平面与平面所成的为二面角为．
理由如下：假设存在点满足题意，由可知，，
设平面的法向量，
由，，令，则，，
所以，平面的一个法向量，
所以，
化简得，由，
所以方程无解，
所以不存在点使得平面与平面所成的为二面角为．
21.解：样本中高一年级学生的人数为，
由，
解得；
设中位数为，，
则，
解得，
故样本数据的中位数约为；
由图可知，样本数据落在的频率为，
故全校睡眠时间不低于个小时的学生人数约为．
22.解：证明：因为棱台与棱锥的棱长和相等，
所以，
故DE．
又因为截面底面，所以，，
从而，从而，故为正四面体．
取的中点，连接、、，
由，，得：平面，
而平面，故BC，
从而是二面角的平面角．
由知，三棱锥的各棱长均为，所以．
由是的中点，得．
在中，，
故二面角的大小为．
存在满足条件的直四棱柱．
棱台的棱长和为定值，体积为．
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，
则该四棱柱的棱长和为，体积为．
因为正四面体的体积是，棱台的体积为，
所以，所以，所以，
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件．
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