2024-2025学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京十三中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，那么等于( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，若复数满足，则在复平面内复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，则是( )
A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
5.已知的展开式中的常数项为，则其展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是( )
A. B. C. D.
8.已知，均为第一象限角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”图是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作图所示的几何体，其中底面是矩形，，，四边形、是两个全等的等腰梯形，、是两个全等的等腰三角形若，，，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.已知点、分别是正方体的棱、的中点，点、分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有( )
A. 条
B. 条
C. 条
D. 无数条
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线的倾斜角为______．
12.在等差数列中，若，，则 ；使得数列前项的和取到最大值的 ．
13.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为______．
14.已知函数，则的定义域是______；的最小值是______．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
已知是曲线上任意一点，，则；
设为曲线上一点，为曲线上一点若，则．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数的一个零点为．
Ⅰ求的值及的最小正周期；
Ⅱ若对恒成立，求的最大值和的最小值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，，求的面积．
18.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求面与面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且经过点．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点的直线交于点，点，与点不重合设的中点为，连接并延长交于点若恰为的中点，求直线的方程．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求证：；
若函数在区间上无零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知数列：，，，，的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
Ⅰ若数列：，，，，直接写出集合和的值；
Ⅱ若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
Ⅲ已知数列：，，，，，求．
参考答案
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16.解：Ⅰ函数，
所以，
解得，
所以，
故函数的最小正周期为；
Ⅱ由于，
所以，
故；
由于对恒成立；
故的最大值为，的最小值为．
17.解：Ⅰ因为，
由正弦定理，得，
因为，所以，即，
因为，所以；
Ⅱ由，可得，
由余弦定理，
可得，
根据，可得，
所以三角形的面积．
18.证明：如图，设为的中点，连接，，
因为是中点，所以，且，
因为，，，，
所以四边形为平行四边形，，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：因为平面，
所以平面，，，相互垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面夹角为，
则．
19.解：Ⅰ由题设，，分
解得，，分
所以椭圆的方程为分
Ⅱ若直线与轴重合，则点与原点重合，符合题意，
此时直线的方程为分
若直线与轴不重合，设其方程为．
由，得，分
设，，则，分
所以，，分
因为是的中点，所以，，分
因为，分
所以，
整理得，分
解得，分
但此时直线经过点，不符合题意，舍去．
综上，直线的方程为分
20.解：，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
证明：因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立；
，
当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，
令，则在区间上恒成立，
所以在单调递减，且，
当时，此时，在区间上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为．
21.Ⅰ解：数列：，，，，
，，，，，，
集合，；
Ⅱ证明：必要性，若为等差数列，且是递减数列，设的公差为，
当时，，，，
“为等差数列”能推出“”
故必要性成立；
充分性：是递减数列，，
，，，，，，且互不相等，
则，
又，
，，，，，且互不相等，
，，，，
则，为等差数列，
若是递减数列，，则为等差数列，即充分性成立．
综上，若是递减数列，则“为等差数列”的充要条件是“”；
Ⅲ由题意知：集合中的元素最多为个，即；
对于数列：，，，，，此时，
若存在，则，其中，，
则，
若，不妨设，则，
，，则为偶数，为奇数，矛盾，
故，，
数列：，，，，得到的彼此相异，
．
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