2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
3.函数，，，且的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.记为数列的前项和若，则( )
A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项
7.在等腰梯形中，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
9.点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动．若面，则的长度范围是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式的展开式中常数项为 用数字作答
12.函数的定义域是______．
13.已知命题：，，若命题为假命题，则实数的取值范围是______．
14.已知等边的边长为，，分别是，的中点，则 ______；若，是线段上的动点，且，则的最小值为______．
15.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．给出下列四个结论：
；
存在一点，；
若，则面积的最大值为；
若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，，．
若，求的面积：
在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中字作为样本语料库，其中“一”出现了次，统计“一”与其后面一个字或标点的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字或标点的搭配情况 频数
“一个”
“一些”
“一穷”
“一条”
其他
假设用频率估计概率．
求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
在甲类题材“新闻稿”中随机抽取个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
另外随机选取甲类题材“新闻稿”中字作为样本语料库进行统计，“一”出现了次，“一格”出现了次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆：过点和．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作直线交椭圆于不同的两点，，直线交轴于点，直线交轴于点若，求直线的方程．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求在区间上的最大值与最小值；
Ⅲ当时，求证：．
21.本小题分
对于数列：，，，定义“变换”：将数列变换成数列：，，，其中，且，记作继续对数列进行“变换”，得到数列：，，，依此类推当且仅当得到的数列各项均为时变换结束．
Ⅰ直接写出：，，经过次“变换”得到的数列，及再经过次“变换”得到的数列；
Ⅱ若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；
Ⅲ设：，，，已知：，，，且的各项之和为，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
参考答案
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16.解：在中，，，，
由余弦定理，可得，
又，可得，
故；
若选条件：由题意有，，，
则由正弦定理，可得，即，
即，又，，故不存在；
若选条件：由题意有，，，
则由正弦定理，可得，即，
即，即，
所以，又，所以，
故，即；
若选条件：由题意有，，，
则由正弦定理，可得，即，
由余弦定理，可得，
即，解得，
故，又，所以；
综上，只能选择条件或，解得．
17.证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：取的中点，连结，，
因为，，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
在中，，，所以，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则即
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解：设存在点满足题意，且，，
则，
由知平面的法向量为，
若平面，则，即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时．
18.解：由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则，，
，
故的分布列为：
则．
由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“”时，“一个”在前面更合适．
19.解：由题意可得：，，，
联立解得，，，
椭圆的方程为．
Ⅱ直线的斜率不存在时，，，即，，满足，此时直线的方程为．
直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，化为：，
，化为或．
，，
直线的方程为：，
令，可得．
直线的方程为：，
令，可得．
，
，所以，
即，即
即，因为，所以得，即，
经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或．
20.解：Ⅰ，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ，
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于，函数单调递减，
在区间大于，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
证明：Ⅲ当时，，即证明不等式，
设，
设，
所以在单调递增，并且，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则在区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，
所以，即．
21.解：，：，，经过次“变换”得：，，，
：，，，经过次“变换”得，，；经过第次“变换”得，，；经过第次“变换”得，，即：，，．
的最大值为，
先证明可以为，
构造：，，，则：，，，变换结束，此时．
再证明，
反证法：假设，
设经过次“变换”后得到的数列为，，，且，，不全为．
因为经过次“变换”后变换结束，
所以，所以为非常数
设，，即，，由，，进行“变换”得到，
则
不妨设
所以
所以，与矛盾．
综上，的最大值为，
因为的各项之和为，不妨设，所以为的最大项
即最大，即，或，
当时，可得，
所以，则，，
当时，可得，
所以，则，
定义：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同“．
若数列的三项为，，，则无论其顺序如何，经过“变换“得到的数列的三项为，，不考虑顺序
所以与数列“结构相同”的数列经过“变换“得到的数列也与“结构相同”，除以外其余各项减少，各项之和减少．
因此，数列：，，经过次“变换”一定得到各项为，，，不考虑顺序的数列．
对，，，继续进行“变换”，依次得，，；，，；，，；
各项为，，的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少．
所以，至少通过次“变换”得到的数列各项之和最小．
故的最小值为．
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