湖南省多校联考2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题（含答案）

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高三数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
2. 若，则（）
A. B. C. D.
3. 将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如下的表格：
成绩范围 0~89分 90~99分 100~109分 110~119分 120~129分 130~150分
人数 7 10 10 2 6 7
则该班这次数学考试成绩的分位数可能是（）
A. 93 B. 108 C. 117 D. 128
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，且，则
B. 若，且，则
C. 若，且，则
D. 若，且，则
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
6. 若函数及其导函数满足，且，则（）
A. B. C. D.
7. 设数列满足为的前项和，则数列中的项不包括（）
A54 B. 232 C. 610 D. 1596
8. 已知三棱锥的三个侧面的面积分别为5，5，6，底面积为8，且每个侧面与底面形成的二面角大小相等，则三棱锥的体积为（）
A. 4 B. C. 6 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记等差数列的前项和为，若，则（）
A. 公差为2 B.
C. 的最大值为35 D. 的最小值为
10. 设直线，则下列说法正确的是（）
A. 当时，的倾斜角为
B. 使得过点的有两个
C. 存在定点，使得点到的距离为定值
D. 从所有直线中选3条围成正三角形，则正三角形的面积为定值
11. 设是定义在上的非常值函数，若，则下列说法正确的是（）
A. 若，且，则是偶函数
B. 若，且，则是周期函数
C. 若，则存在非零实数，使得
D. 若，且的值域为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握 旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________．
13. 计算：________．
14. 设为单位向量，向量满足，则当与的夹角最大时，________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆离心率为，且过点为坐标原点．
（1）求方程；
（2）过的右顶点且斜率为的直线交于两点，求的面积；
（3）在（2）的条件下，设是上不同于的点，且与的面积相等，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
16. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）若，求；
（2）若，求的最小值．
17. 如图，已知圆锥的高为为底面直径，且．
（1）求圆锥的表面积；
（2）若是底面圆周上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在，满足，证明：；
（3）设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围．
19. 记数列的前项和为，若存在整数和正整数，使得恒成立，则称为“数列”．
（1）写出一个既是等比数列又是“数列”的通项公式．
（2）已知数列满足．
（ⅰ）证明：是“数列”．
（ⅱ）是否存在和，使得为数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
附：当正整数时，．
高三数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】BD
10.
【答案】ABC
11.
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】48
13.【答案】
14.【答案】5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求得，可求椭圆方程；
（2）求得直线的方程，与椭圆方程联立可求得点的坐标，进而可求得的面积；
（3）由椭圆的对称性可求得所有点的坐标.
小问1详解】
设的半焦距为，由题意得，
解得，
故的方程为．
小问2详解】
由（1）知的方程为，即，
联立，消去得，整理得，
解得与，所以，
所以．
【小问3详解】
因为与的面积相等，所以到的距离与到的距离相等，
由椭圆的对称性可知所有满足条件的点的坐标为．
16.
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换可得，可得，结合已知可求；
（2）由（1）可得，所以，由正弦定理可得，进而可得，利用基本不等式可求最小值.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，因为，，所以，
所以，所以，
故．
【小问2详解】
由（1）知，又，所以．
所以．
由正弦定理，得，
所以
，
当且仅当，即时取等号．
所以最小值为．
17.
【解析】
【分析】（1）由圆锥的表面积公式计算即可；
（2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可；
【小问1详解】
由题可知母线长，底面半径．
故圆锥的表面积．
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设点在上的射影为，则，所以．
易知，
则．
设平面的一个法向量为，
则，取，
计算可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，
则平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.
【解析】
【分析】（1）求导可得，分，，，四种情况讨论，可得函数的单调性；
（2）对合（1）可得的单调性，由已知可得，令，求导可得在上单调递增，从而可得，由的单调性可得结论；
（3）据题意可得方程有两个实根，令，可得有两个实根，求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
若，则在上单调递减，在上单调递增．
若，令，得或，
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为，
所以．
令，
则，
当时，，当时，，
所以恒成立，在上单调递增．
因为，所以，即，所以．
又在上单调递增，且，
所以，即．
【小问3详解】
由题意可得方程有两个实根．
设，当时，，则在上单调递增，
令，则，所以关于的方程，即有两个实根，
令，则，
当，，所以在上单调递增，
当，，，在上单调递减，
所以，且时，．
所以，所以，
即的取值范围是．
19.
【解析】
【分析】（1）根据“数列”的定义、等比数列的知识进行举例，从而确定正确答案.
（2）（ⅰ）根据“数列”的定义，利用构造函数法，结合导数来证得结论成立.
（ⅱ）根据重要不等式得到，然后利用累加法来进行说明.
【小问1详解】
依题意，要求是：既是等比数列又是“数列”，
即，
如，，符合题意.
或其他合理答案，需满足，如：．
【小问2详解】
（ⅰ）设的前项和为，要证明是“数列”，
，即证明．
因为，所以．
由可得，且．
设，易知恒成立，
所以在上单调递增，则，
得，所以．
所以当时，
．
综上，成立，故原命题得证．
（ⅱ）对于函数，
所以在上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以，时等号成立.
由不等式，可得，所以，
故，当且仅当时等号成立．
又，所以．
由，两边取倒数可得，所以．
所以，
所以，从而．
由题后附的结论知：当时，．
故不存在和，使得，即恒成立．
即不存在和，使得是数列．
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