湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

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2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上）
期中数学试卷及解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l经过点，（﹣2，0），则直线l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，点P为A1C1与B1D1的交点，则＝（　　）
A．++ B．+﹣ C．﹣+ D．+﹣
3．（5分）若点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．
4．（5分）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）直线ax+y﹣a＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+y2＝4的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
6．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a+b的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3＝0，若直线y＝kx﹣1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设M，N是两个随机事件，若P（M）＝，P（N）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．若N M，则P（M∪N）＝
B．若M∩N＝ ，则P（M+N）＝0
C．若P（M∩N）＝，则M，N相互独立
D．若M，N相互独立，则
（多选）10．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，则（　　）
A．若x+y＝1，则点P的轨迹为线段AD1
B．若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段
C．若x＝y，则三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值
D．若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为
（多选）11．（6分）若点P的坐标是（a，b），圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，Q（m，n）是圆M上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．点P在直线x﹣y﹣3＝0上
B．2m+n的取值范围是
C．以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1）
D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|＞4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，则m﹣n＝ 　 　．
13．（5分）若圆C：x2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝|x|﹣2有两个公共点，则r的取值范围为 　 　．
14．（5分）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数的概率为 　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．
（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
16．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．
（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；
（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，点Q为棱PC上一点．
（1）证明：PA⊥CD；
（2）当二面角P﹣BD﹣Q的余弦值为时，求．
18．（17分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
19．（17分）球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为．
（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．
①证明：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；
②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，λ∈（0，1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值．
2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）
【答案】A
2．（5分）
【答案】C
3．（5分）
【答案】B
4．（5分）
【答案】C
5．（5分）
【答案】B
6．（5分）
【答案】D
7．（5分）
【答案】B
8．（5分）
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）
【答案】ACD
（多选）10．（6分）
【答案】BC
（多选）11．（6分）
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）
【答案】﹣1．
13．（5分）
【答案】．
14．（5分）
【答案】．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解答】解：（1）联立，解得，即P（3，4）．
∵l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣2y+λ＝0，
将点P（3，4）代入x﹣2y+λ＝0，得λ＝5，
∴直线l的方程为x﹣2y+5＝0．
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即4x﹣3y＝0；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点P（3，4）代入，得a＝7，
∴直线l的方程为，即x+y﹣7＝0．
综上所述，直线l的方程是4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．
16．（15分）
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圆心为C（2，﹣1），半径为，
所以圆心C到直线AB的距离为，
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，
此时圆心C到直线AB的距离为|2﹣1|＝1，符合题意；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，
由题意可得，解得，
此时直线AB的方程为，即15x﹣8y﹣55＝0，
综上所述，直线AB的方程为x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；
（2）因为，则，
所以以点M为圆心，|ME|为半径为圆的方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝7，
联立，两式相减整理可得：x+4y+12＝0，
即EF所在的直线方程为x+4y+12＝0．
17．（15分）
【解答】解：（1）证明：因为，
所以PD2+CD2＝PC2，
所以CD⊥PD，
又CD⊥AD，且AD∩PD＝D，AD，PD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
又PA 平面PAD，
所以PA⊥CD．
（2）因为，所以AD2+PD2＝PA2，
则PD⊥AD，
由（1）可知PD，AD，DC两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），
由，
设，
则，
设平面BDQ的一个法向量，
则，则，即，
令y1＝1﹣λ，解得x1＝λ﹣1，z1＝﹣2λ，
故，
设平面BDP的一个法向量为，
则，则，得，
令y2＝﹣1，解得x2＝1，z2＝0，
故，
所以，
即，
整理，得8λ2+2λ﹣1＝0，
解得或（舍去），
故．
18．（17分）
【解答】解：根据题意，设四名同学的书包为A，B，C，D，则全部基本事件有：
（A，B，C，D），（A，B，D，C），（A，C，B，D），（A，C，D，B），（A，D，B，C），（A，D，C，B），（B，A，C，D），（B，A，D，C），
（B，C，A，D），（B，C，D，A），（B，D，A，C），（B，D，C，A），（C，A，B，D），（C，A，D，B），（C，B，A，D），（C，B，D，A），
（C，D，A，B），（C，D，B，A），（D，A，B，C），（D，A，C，B），（D，B，A，C），（D，B，C，A），（D，C，A，B），（D，C，B，A），共24种，
（1）其中恰有两名同学拿对了书包有6种，则恰有两名同学拿对了书包的概率为；
（2）至少有两名同学拿对了书包有7种，则至少有两名同学拿对了书包的概率为；
（3）书包都拿错了有9种，则书包都拿错了的概率为．
19．（17分）
【解答】解：（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，有，
所以球球面三角ABC的面积为；
（2）①证明：由余弦定理有：，且AC2+BC2＝AB2，
消掉R2，可得cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；
②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD，
且AC⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC 平面BCD，
所以AC⊥平面BCD，且BD 平面BCD，则AC⊥BD，
且AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，可得BD⊥平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线分别为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设，
则，
可得，
则，
设平面OBC的一个法向量为，
则，即，取z＝﹣2，则，
可得平面OBC的一个法向量为，
设平面EST法向量为，
则，即，取，则b＝t，c＝﹣1，
可得平面EST法向量为，
要使sinθ取最小值，则|cosθ|取最大值，
因为，
＝，
令，则，
可得，
当且仅当取等号，
则|cosθ|取最大值，为最小值
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