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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.2.1相似三角形（一）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．
【详解】解：，
A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意；
C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意；
D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
故选：B．
2．在 ABC中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
根据作图痕迹可知：
选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意；
选项中，是的垂线，故选项符合题意；
选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意；
选项中，不与垂直，故选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】分别根据菱形、矩形、正方形的的判定，相似三角形的判定定理，进行判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；
C、两条边对应成比例且有一个夹角相等的两个三角形相似，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的的判定，相似三角形的判定定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与 ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【详解】解：根据勾股定理，，，，
∴，，
∴是直角三角形，夹直角的两边的比为，
A、不是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故B选项不符合题意；
C、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故C选项符合题意；
D、三边分别为、、4，，故不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．若 ABC的三边长分别是，，，则与 ABC相似的的边可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的判定定理，根据三边对应成比例的两个三角形相似即可求解，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：、∵，，，
∴，
∴与不相似；
、，，，
∴，
∴与不相似；
、∵，，，
∴，
∴与不相似；
、∵，，，
∴，
∴与相似；
故选：．
6．象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理分别求出每一处所构成的三角形的边长，再结合相似三角形的判定方法进行判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得，“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，当“马”落在①处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以①处不符合；当“马”落在②处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为，所以②处符合；当“马”落在③处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以③处不符合；当“马”落在④处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以④处不符合，
故选：．
7．如图，在 ABC中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
8．如图，将 ABC绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故B不符合题意；
又，，
∴，故C不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故D符合题意；
故选：D．
9．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，得到，设，则，再根据勾股定理列方程，并求解方程，即得答案．
【详解】，
，
把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得或0（舍去），
，
故选C．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
10．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数；
②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断；
③证明，得，即可；
④，，，根据勾股定理判断．
【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，
但与不一定相等，
∴与不一定相似，故结论②错误；
③∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故结论③正确；
④∵，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，故结论④正确，
∴结论正确的个数有个．
故选：C．
【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图， ABC的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答．
【详解】解：∵的高相交于点O，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与 ABC相似．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定即可求解．
【详解】解：添加，
则，
∵，
∴；
故答案为：．
13．如图，已知，，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长．
【详解】解：，
，
，
又，
解得：，
故答案为：．
14．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．
由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时．
【详解】解：∵，
∴，设，
①当点P在线段上运动时，
当时，，
∴ ，
∴，；
当时，，
∴，
解得：；
②当点P在B的左侧运动时，
当时，，
∴ ，
∴，（舍去）；
当时，，
∴，
解得：；
③当点P在点C的右侧运动时，
当时，，
∴ ，
∴，（舍去）；
当时，，
∴，
解得：（舍去）；
综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个．
故答案为：6．
16．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可．
【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x，
当2为最长边时，，
解得，
当为最长边时，，
解得，，
当和对应时，，，，即此种情况不存在，
综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或，
故答案为：或
17．如图， ABC为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】首先根据三角形的高的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一性质，得出，接着根据勾股定理求出，再根据面积法求出，进一步得出，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求出答案．
【详解】，，
点F是 ABC两边上的高的交点，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ．
【答案】/平方厘米
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结，利用三角形中位线定理可得，，，即得，所以，即可求出，再由可求得，由此即得答案．
【详解】如图所示，连接，
∵D、E分别为、中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，相交于的点，且．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵相交于的点，
∴，
又∵，
∴．
20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，．
(1)证明： ACP∽ PDB；
(2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．
（1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证；
（2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵，即：，
∴，，
∴，,
∴；
（2）结论：．
证明∵，
∴；
∵，
∴，，
又∵，
∴
21．如图，点在边长为正方形中边上一点，．
(1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）；
(2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的中点即可求出；
（2）根据题意分别表示出各边长度，再根据三边成比例即可求出；
本题主要考查尺规作图，三角形相似的判定，熟练掌握尺规作图技巧和三角形相似的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）如下图：作的垂直平分线，交于点，为中点，为所求；
（2）由题意得：，
22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)____________．
(2)判断 ABC与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
(3)求．
【答案】(1)135
(2)，理由见解析
(3)2
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．
（1）先求出，即可解答；
（2）先得出，再得出，即可求证；
（3）分别求出 ABC与的面积，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：135．
（2）证明：由（1）同理可得，
∵，
∴，
又∵
∴；
（3）解：∵，
∴．
23．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．
(1)图中有 对相似三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)6；
(2)见解析；
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
则，
∵，
则，
综上所述，共有6对相似三角形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即．
24．如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
【答案】(1)见解析
(2)添加，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）证明有两对角相等即可判断；
（2）假设，可以推出即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：添加，
如果，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故添加：，能证明．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.2.1相似三角形（一）七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在 ABC中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
4．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与 ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ABC的三边长分别是，，，则与 ABC相似的的边可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
7．如图，在 ABC中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将 ABC绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
9．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图， ABC的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
12．如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与 ABC相似．
13．如图，已知，，如果，那么 ．
14．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
15．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个．
16．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ．
17．如图， ABC为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ．
18．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，相交于的点，且．求证： ．
20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，．
(1)证明： ACP∽ PDB；
(2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
21．如图，点在边长为正方形中边上一点，．
(1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）；
(2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立．
22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)____________．
(2)判断 ABC与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
(3)求．
23．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．
(1)图中有 对相似三角形；
(2)求证：．
24．如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
