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专题27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大题型（一课一讲）
（内容:相似三角形的性质及其应用）
【人教版】
题型一：重心的有关性质
【经典例题1】如图， ABC的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在中，∠B=90°，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【变式训练1-2】如图，已知，是 ABC的中线， 点G是 ABC的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若 ABC面积为36， 则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【变式训练1-3】在 ABC中，是边上的中线，点G是重心，如果，那么线段的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【变式训练1-4】在中，，，，点G是 ABC的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（ ）
A．2 B． C．2 D．
【变式训练1-5】如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
题型二：利用相似三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，点是 ABC内一点，，，，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在矩形中，点、分别在边、上，若，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）
A．18 B． C． D．
【变式训练2-5】如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用相似比求周长比
【经典例题3】如果两个相似三角形对应面积的比为，则这两个三角形对应周长的比是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】在 ABC和中，已知，且 ABC的周长为6，的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【变式训练3-2】如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，，相交于点O，，点E，F分别是线段，的中点，若，的周长为，的周长为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式训练3-4】如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】已知如图所示，在 ABC中，点在边上，点、在边上，且，使．
(1)求证：；
(2)把 FDE与的周长分别记作、，如果，求的值．
题型四：利用相似比求面积比
【经典例题4】如图，在中，点E在边上，与交于点O，，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，在 ABC中，点分别为的中点，则与 ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】已知，且 ，且 ABC与的周长和为175 ，则 ABC的周长为 ．
【变式训练4-3】已知：如图，点D、E分别在 ABC的边上，，且，连接，则 ADE与 BEC的面积比的比值为 ．
【变式训练4-4】如图，点是 ABC的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么 ADE和 ABC的面积比是 ．
【变式训练4-5】如图1，在学习三角形的中位线时，我们知道D，E，F分别是 ABC三边的中点，且，则三条中位线在三角形内部构成的新三角形，其面积与原三角形面积的比值是；如图2，已知D，E，F分别是 ABC三边的三等分点，且，依次连接，则与 ABC面积的比值是 ．
题型五：相似三角形中动点问题
【经典例题5】如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似
【变式训练5-1】在平行四边形中，的面积为48．
(1)如图1，求边上的高的长；
(2)P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到．
i）如图2，当落在射线上时，求的长；
ii）当是直角三角形时，求的长．
【变式训练5-2】如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒．
(1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？
(2)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-3】如图，在 ABC中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒．
(1)求的长；（用含t的代数式表示）
(2)连接，当与 ABC相似时，求t的值；
(3)当将 ABC的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离．
【变式训练5-4】如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当与矩形的对角线平行时，求t的值；
(3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与 ABC相似时t的值；
(4)直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值．
【变式训练5-5】如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形．
(1)线段的长为______；
(2)当矩形恰好是正方形时，求该正方形的边长；
(3)当时，求的长；
(4)延长到点Q，使，连接．当直线分矩形的面积为两部分时直接写出的长．
题型六：在网格中画出与已知三角形相似的三角形
【经典例题6】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点， ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．
【变式训练6-1】如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比．
【变式训练6-2】正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）．
【变式训练6-3】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中 ABC的边上确定一点，连结，使；
(2)在图②中 ABC的边上确定一点，连结，使．
【变式训练6-4】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)如图①，在上找一点P，使．
(2)如图②，在上找一点P，使．
【变式训练6-5】图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与 ABC全等．（画出两个）
(2)在图②中 ABC的边上确定一点E，连结，使；
(3)在图③中 ABC的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为．
题型七：利用相似求坐标
【经典例题7】已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与 AOB相似时，点P的坐标是 ．
【变式训练7-3】如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求 AOB的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
【变式训练7-5】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求 BDE的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
题型八：相似三角形的实际应用
【经典例题8】为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式训练8-1】某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度．
【变式训练8-2】 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），，已知点O到距离为，桌面的高度EF为，铅笔，在桌面上沿着方向平移铅笔，试求影子的长度．
【变式训练8-3】如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
【变式训练8-4】如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度．
【变式训练8-5】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为．
(1)点D到地面的距离为 米
(2)求电线杆的高（结果保留根号）
(3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）．
题型九：相似三角形的性质和判定综合
【经典例题9】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
【变式训练9-1】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
【变式训练9-2】如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长度．
【变式训练9-3】如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练9-4】在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
【变式训练9-5】在等腰 ABC中，，点是边上一点（不与点B、C重合），连接．
(1)如图1，若，点关于直线的对称点为点，连接，则 ；
(2)若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
①在图2中补全图形；
②探究与的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明．中小学教育资源及组卷应用平台
专题27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大题型（一课一讲）
（内容:相似三角形的性质及其应用）
【人教版】
题型一：重心的有关性质
【经典例题1】如图， ABC的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ABC的两条中线交于点，
∴点是 ABC的重心，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，故正确，不符合题意；错误，符合题意；
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，故、正确，不符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】如图，在中，∠B=90°，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心，正确作出辅助线是解答本题的关键．
连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于，证明得，由点是的重心得，，代入比例式即可求解．
【详解】解∶连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于，
点是的重心，，
，
，
，，，
，
，
根据题意，在中，，，
，
，
点是的重心，，
，
，
，
所以点到边的距离是6．
故答案为∶B．
【变式训练1-2】如图，已知，是 ABC的中线， 点G是 ABC的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若 ABC面积为36， 则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据重心的性质可得，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得，接着证明，，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，，从而求出，，进而可求解．
【详解】解：∵点G是 ABC的重心，
∴，
∴，
∵是 ABC的中线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式训练1-3】在 ABC中，是边上的中线，点G是重心，如果，那么线段的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了重心的定义和性质，根据重心的性质解答即可.
【详解】∵是边上的中线，点G是重心，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练1-4】在中，，，，点G是 ABC的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（ ）
A．2 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键；延长交于，根据勾股定理求出，再证明，结合重心的性质可得，即可求出．
【详解】解：如图，延长交于，
，，，
，
点G是 ABC的重心，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式训练1-5】如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，由线段的比例关系和的面积即可得的面积为，进而可得的面积为9，根据中线的性质，即可求解．
【详解】解：∵点为的重心，
∴
∵的面积为，
的面积为，
的面积为，
点为的中点，
的面积等于的面积，
的面积为．
故选：C．
题型二：利用相似三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，点是 ABC内一点，，，，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，如图，延长交于M，延长交于N，易证得四边形、四边形为平行四边形，则，，根据相似三角形的判定易得，利用相似比可得，再判断，利用相似比可得，由，于是解方程即可得解，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
【详解】如图，延长交于M，延长交于N，
∵，，，
∴四边形、四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：D．
【变式训练2-1】如图，矩形中，，、分别为、上点，交于，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接， 设点为的中点，可得点四点共圆，即得，进而可得，得到，即可得，再利用勾股定理求出即可求出．
【详解】解：连接， 设点为的中点，
∵，
∴点四点共圆，如图所示，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练2-2】如图，在矩形中，点、分别在边、上，若，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例得到，把、、代入比例式中求解即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：C．
【变式训练2-3】如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到．
【详解】解：如图，过点作 于点，
∵四边形是正方形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴
∴，
∵正方形的边长为
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴ （负值舍去），
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【变式训练2-4】如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【变式训练2-5】如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
题型三：利用相似比求周长比
【经典例题3】如果两个相似三角形对应面积的比为，则这两个三角形对应周长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为，
∴相似比是，
又∵相似三角形对应周长的比等于相似比，
∴对应周长的比为，
故选：D．
【变式训练3-1】在 ABC和中，已知，且 ABC的周长为6，的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：∵，
，
的周长与的相似比为，
的周长等于6，
的周长为，
故选：D．
【变式训练3-2】如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可证明，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
∴，
与的相似比为，
∵，
∴，
∴，
根据的周长与的周长之比等于与 BFA的相似比可得，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解决问题的关键．
【变式训练3-3】如图，，相交于点O，，点E，F分别是线段，的中点，若，的周长为，的周长为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线．由题意知为的中位数，得，进而可知，由，可知，在根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵点E，F分别是线段，的中点，即：为的中位数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-4】如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，由∠A是公共角，即可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形周长比等于相似比即可得答案.
【详解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，
∴∠ABE=∠ACD=30°，
∴，
∵∠A为△ADE和△ACB的公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE与△ACB的相似比为，
∴和的周长之比=.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键.
【变式训练3-5】已知如图所示，在 ABC中，点在边上，点、在边上，且，使．
(1)求证：；
(2)把 FDE与的周长分别记作、，如果，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程．
（1）由得比例，结合已知比例，利用过渡比得出，即可证明，得到，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴解得：（舍负），
∴．
题型四：利用相似比求面积比
【经典例题4】如图，在中，点E在边上，与交于点O，，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由，可得出，再利用相似三角形的性质即可得出与的面积之比．
【详解】解：∵在中，
∴，，
∴，
∴相似比为，
∵，即，
∴，
∴，即与的面积之比为，
故选：B．
【变式训练4-1】如图，在 ABC中，点分别为的中点，则与 ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的应用，正确判定相似，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可．
【详解】∵点分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练4-2】已知，且 ，且 ABC与的周长和为175 ，则 ABC的周长为 ．
【答案】75
【分析】根据相似三角形的性质得△ABC的周长:△DEF的周长=3:4，然后根据与的周长和为175即可计算出△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC与△DEF的面积比为9：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：4，
∵与的周长和为175 ，
∴△ABC的周长=×175=75．
故答案是：75．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【变式训练4-3】已知：如图，点D、E分别在 ABC的边上，，且，连接，则 ADE与 BEC的面积比的比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用平行线性质可得，继而利用相似三角形性质可得本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴ ADE与 BEC的面积比的比值为： ，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，点是 ABC的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么 ADE和 ABC的面积比是 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则．
【详解】解：点是的中点，
，
是 ABC的角平分线，
，
又，即，
，
；
，，
，
，
ADE和 ABC的面积比是，
故答案为：．
【变式训练4-5】如图1，在学习三角形的中位线时，我们知道D，E，F分别是 ABC三边的中点，且，则三条中位线在三角形内部构成的新三角形，其面积与原三角形面积的比值是；如图2，已知D，E，F分别是 ABC三边的三等分点，且，依次连接，则与 ABC面积的比值是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解．
【详解】解：如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，
，
，，，
，
又，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
综上可知，与的面积的比值为．
故答案为：．
题型五：相似三角形中动点问题
【经典例题5】如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．本题中两个三角形相似存在两种情况：当时，；当时，，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】解：如下图所示，
点运动的时间为，点运动的时间为，
当运动时间为时，，，
则有
中，，以，，为顶点的三角形中，
如果和以，，为顶点的三角形相似，
则有或，
当时，，
，
，
解得：；
当时，，
，
，
解得：；
综上所述当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【变式训练5-1】在平行四边形中，的面积为48．
(1)如图1，求边上的高的长；
(2)P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到．
i）如图2，当落在射线上时，求的长；
ii）当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)8
(2)i）；ii）6或
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可解决问题；
（2）i）过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，证明，得，设，则， ，，证明，由对应边成比例求出x的值，即可得BP的长；
ii）分三种情况讨论： 当以为直角顶点时，根据勾股定理求解即可；当以A为直角顶点时，先证明，再证明，设，根据列方程，解方程求出t的值即可；当以D为直角顶点时，不符合题意．
【详解】（1）解：如图1，连接，
的面积，
，
，
边上的高的长为8；
（2）i）解：如图2，当落在射线上时，过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，则，
点绕P按照逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
的长为；
ii）解：如图，延长交， 分别于E，F，
由旋转可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当以为直角顶点时，是直角三角形，如图，
，
落在线段的延长线上，
，
，
由（1）知，，
，
；
当以A为直角顶点时，是直角三角形，如图，
设与射线交于点，过点C作于点H，则，
由旋转可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由知，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
当以为直角顶点时，点P落在的延长线上，不符合题意，
综上所述：的长为6或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线，熟练运用分类讨论思想．
【变式训练5-2】如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒．
(1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？
(2)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)时，的面积等于矩形面积的；
(2)当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似．
【分析】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键．
（1）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得；
（2）与相似，分为两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
∴，
∵的面积等于矩形面积的，
∴，
解之得：，
∴时，的面积等于矩形面积的；
（2）解：存在．理由如下：
∵与相似，
∴分为两种情况：
①当时，
∴，即，
解得：；
②当时，
∴，即，
解得：，
综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似．
【变式训练5-3】如图，在 ABC中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒．
(1)求的长；（用含t的代数式表示）
(2)连接，当与 ABC相似时，求t的值；
(3)当将 ABC的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离．
【答案】(1)
(2)的值为或1
(3)1或
【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解；
（2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可；
（3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，则，
∴；
（2）解：由（1）可知，，，则，
则，
∵，
∴当时，，
即：，解得：；
当时，，
即：，解得：；
综上，当与相似时，的值为或1；
（3）解：由题意可得：，
∵，，，，
∴，
∵矩形，
∴，
若将的面积分成两部分，
则或，
当时，，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
此时，，，则，
∴点在线段上，则，
即：点到的距离为1；
当时，，
∴，
解得：或（不符合题意舍去）
此时，，，则，
∴点在射线上，则，
即点到的距离为；
综上，点到的距离为1或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【变式训练5-4】如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当与矩形的对角线平行时，求t的值；
(3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与 ABC相似时t的值；
(4)直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值．
【答案】(1)当时，，当时，；
(2)的值为或；
(3)的值为或或；
(4)点关于直线的对称点落在边上时的值为或．
【分析】（1）由题意得，，则当时，，当时，；
（2）分两种情况讨论，一是当时，，则，所以，求得，二是当时，，则，可证明，则，求得；
（3）由点为的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，且时，则，二是当，且时，则，三是当，且时，则，四是当，且时，则解方程求出相应的符合题意的值即可；
（4）当点落在上时，由勾股定理求得，则，于是得(，求得．
【详解】（1）解：由题意得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
当点与点重合时，则，
解得：，
当点与点重合时，则，
∵当点到达点时，两点同时停止运动，
当时，，
当时，；
（2）解：当时，如图1，，则，
，
，
解得：，
当时，如图2，则，
，
，
，
解得：，
综上所述，的值为或．
（3）解：∵点为的中点，，
，
，
当，且时，如图3，
则，
解得：，
当，，且时，如图4，
则，
，
解得：，
当，，且时，如图5，
则
解得：，
当，且时，如图6，
则，
，
解得：不符合题意，舍去，
综上所述，的值为或或．
（4）解：当点落在上时，如图7，
，，，
，
，
，
，
解得：，
当点落在上时，如图8，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上，点关于直线的对称点落在边上时的值为或．
【点睛】此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想．
【变式训练5-5】如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形．
(1)线段的长为______；
(2)当矩形恰好是正方形时，求该正方形的边长；
(3)当时，求的长；
(4)延长到点Q，使，连接．当直线分矩形的面积为两部分时直接写出的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）可证明，则当点P在上时，，故此时，即此时矩形不是正方形不符合题意；当点P在上时，根据矩形恰好是正方形，则，证明，求出，，再根据线段之间的关系建立方程求解即可；
（3）先证明当点P在上时不成立，当点P在上时， 由（2）知，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（4）分情况讨论，当点在上时，当点在上时，根据三角形相似和矩形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴当点P在上时，，
∴此时，即此时矩形不是正方形不符合题意；
当点P在上时，∵矩形恰好是正方形，
，
，
，
，
又，
∴，
，
，
，，
∴，
，
，
∴，
∴此时正方形的边长为；
（3）解：当点P在上时，∵，
∴矩形恰好是正方形，
由（2）可知，此种情况不存在；
当点P在上时， 由（2）知，，，
，
，
，
，
矩形，
，，
，
，
，
，
的值为；
（4）解：设与交于点，
当点在上时，
，
∴，
，
，
直线分矩形的面积为两部分，
或，
或，
，
∴（舍去）或，
∴，
∴
，
；
当点在上时，
，
，
，
直线分矩形的面积为两部分，
或，
或，
，
∴（舍去）或，
∴，
∴
∽，
，
，
∴
，
，
；
综上，的值为或．
【点睛】此题主要考查矩形综合题，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想和相似三角形的判定与性质．
题型六：在网格中画出与已知三角形相似的三角形
【经典例题6】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点， ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
(3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点图中画相似三角形：
（1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解；
（2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解；
（3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
【变式训练6-1】如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比．
【答案】画图见解析，相似比为
【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的判定画出图形，然后求出对应边的比即可．
【详解】解：如图，即为所求，
由网格知：，，，，，，
∴，，，
∴，
∴即，
相似比为
【变式训练6-2】正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）．
【答案】见解析
【分析】本题考查网格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，两直角边长比值为，据此作图即可．
【详解】解：与图1中的格点三角形相似的格点三角形如图所示：
【变式训练6-3】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中 ABC的边上确定一点，连结，使；
(2)在图②中 ABC的边上确定一点，连结，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查格点无刻度直尺作图，主要考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质；
（1）勾股定理逆定理，得到为直角三角形，过点作于点，即为所求；
（2）取格点，连接，交于点，连接，即为所求；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由勾股定理可得：，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
又，
∴；
（2）如图，即为所求；
由图可知：，
∴，
∴，
∴；
【变式训练6-4】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)如图①，在上找一点P，使．
(2)如图②，在上找一点P，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图中，利用平行线分线段成比例求解即可；
（2）如图中，取格点，连接交于点P，连接．点P即为所求作．
【详解】（1）解：如图1所示，
取格点E、F，连接交于点P，
，
，
，
，
点P即为所要找的点；
（2）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，
点P即为所要找的点，
，
，
，
．
【变式训练6-5】图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与 ABC全等．（画出两个）
(2)在图②中 ABC的边上确定一点E，连结，使；
(3)在图③中 ABC的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使，作出图形即可；
（2）由图及勾股定理可知，进而可得根据相似三角形的判定作出图形即可；
（3）取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点中任取两个即为所求；
（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，，
，
又，
，
是直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图，取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求，
如图：，
四边形是平行四边形，
，
则：，
∴，
相似比为：．
题型七：利用相似求坐标
【经典例题7】已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解．
【详解】解：∵直线，即恒过点，
当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：
∵，故，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
即，，
解得，，
∵两直线的夹角为，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，
点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，
即点的纵坐标为，点的横坐标为，
故；
当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：
∵，故，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，即， ，
解得，，
∵两直线的夹角为，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，
点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，
即点的纵坐标为，点的横坐标为，
故；
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与 AOB相似时，点P的坐标是 ．
【答案】或；
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、，
∴，，
∴ ，，
①当时，有，如图所示：
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②当时，有，如图所示：
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当与 AOB相似时，或；
【变式训练7-3】如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求 AOB的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据 AOB的面积等于与的面积之和即可得；
（3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则双曲线的解析式为．
（2）解：如图，连接、，
将点代入得：，即，
将点，代入得：，
解得，
则，
当时，，即，
当时，，解得，即，
则 AOB的面积为．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如图，过点作轴，交轴于点，
，符合题意，
，
；
②如图，过点作，交轴于点，
则是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合题意，
又轴，轴轴，
，
，
，即，
综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解：，
因式分解，得，
解得或，
的值是关于的一元二次方程的两个根，且，
，
故答案为：2，3．
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，，
，
解得，
又，且点在轴上，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【变式训练7-5】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求 BDE的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．
【详解】（1）点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
， 点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
（2）∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
题型八：相似三角形的实际应用
【经典例题8】为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键．
设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解．
【详解】解：设像到小孔的距离为，
由题意可知与相似，
，
．
故选：C．
【变式训练8-1】某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度．
【答案】则城楼的高度为米．
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造直角三角形，过点A作于点M，交于点N，可得出，继而利用相似三角形的判定与性质解答．
【详解】解：过点A作于点M，交于点N，
由题意得，，，，
则；
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴（米）；
答：城楼的高度为米．
【变式训练8-2】 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），，已知点O到距离为，桌面的高度EF为，铅笔，在桌面上沿着方向平移铅笔，试求影子的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，运用相似三角形的判定与性质证明当 ,，再运用相似三角形的性质可得出结论．
【详解】解：设平移到，在地面上形成的影子为．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴
∴，
∴．
【变式训练8-3】如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
【答案】路灯的高为6.4米
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可．
【详解】解：由题意知：，，，，，
，，
， ，
又，
，
，
解得，
，
，
答：路灯的高为米．
【变式训练8-4】如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为．
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明，，再利用相似三角形的性质建立方程解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，
∴，即，
∴，
∴
解得
答：旗杆的高度为．
【变式训练8-5】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为．
(1)点D到地面的距离为 米
(2)求电线杆的高（结果保留根号）
(3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答；
（2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度；
（3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N，
∵，
∴．
故答案为：2．
（2）解：由勾股定理得，
∵得高的标杆在地面的影长为，
∴，
∴的影长，
∴电线杆的高为．
（3）解：由题意得∶，，
∴，
∴，即，解得：，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
题型九：相似三角形的性质和判定综合
【经典例题9】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD NQ＝x (0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x (18 2x)＝ 10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
【变式训练9-1】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．
【详解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
【变式训练9-2】如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连结交于点，由圆周角定理可得，可推出，即可证明为的切线．
（2）首先由点C为的中点，得到，由可得，，从而求出的长．
【详解】（1）解：如图，连结交于点，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）点C为的中点，
，
，
由（1）得，
，
，
∴，
，，
，
即，
，
，
，
．
【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题关键是正确作出辅助线．
【变式训练9-3】如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，y有最小值为；②存在，或，理由见解析
【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质得到，，结合勾股定理得到，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题．
（2）①利用勾股定理得到，结合折叠的性质，以及矩形的性质证明，利用相似三角形的性质，结合，建立函数解析式，并结合二次函数最值情况求解，即可解题；
②根据是等腰三角形，分情况讨论，结合三角形外角性质推出，当时，当时，利用等腰三角形性质，以及相似三角形性质和判定建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：矩形中，，，
，，，
由折叠的性质可知，，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
线段的长为；
（2）解：①，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
即，
整理得，，
，
当时，y有最小值为；
②存在，
是等腰三角形，
又，，
，即，
当时，
，
，
，
，
即，
解得，
当时，
，
，，
，
，
，
解得，
综上所述，是等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，二次函数最值情况，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式训练9-4】在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
【答案】（1）与始终保持相似关系，理由见详解
（2）存在点，使，此时的长为
（3）
【分析】本题主要考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，理解图示，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，由相似三角形的判定即可求解；
（2）根据矩形的性质可得，，由（1）可得，则，得到，根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理可得，则，再根据即可求解；
（3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，可证，得到，设，则，，在中由勾股定理可得，解得，可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，且，
∴与始终保持相似关系；
（2）存在，此时，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，，
由（1）可得，与始终保持相似关系，即，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴存在点，使得，此时；
（3）∵，若，
∴，
∵四边形是矩形，折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【变式训练9-5】在等腰 ABC中，，点是边上一点（不与点B、C重合），连接．
(1)如图1，若，点关于直线的对称点为点，连接，则 ；
(2)若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
①在图2中补全图形；
②探究与的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①见解析②，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）可证明 ABC是等边三角形，得的度数，再由轴对称的性质可得，据此利用三角形内角和定理即可得到答案；
（2）①根据题意补全图形即可；②可证明 ABC是等边三角形，得的度数，再证明，即可得；
（3）连接，根据已知可证，得，，从而可证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：∵，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∵点D关于直线的对称点为点E，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：①补全图形如下：
②，证明如下：
∵，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
