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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高和对应中线的比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，在 ABC中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，注意熟练运用三角形相似的判定与性质．过F作的平行线交与G，可得出，根据得出，即可得出的值．
【详解】解：过F作的平行线交与G，
∵，F是的中点，
∴，，
，
又∵，
∴，
，
∴
，
，
故选：B．
3．如图，直线，直线分别交，于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，直线与相交于点G．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，证明，，利用相似三角形对应边成比例可判断A、B、D；根据平行线分线段成比例定理即可判断C．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A结论错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故B结论正确，符合题意，D结论错误，不符合题意；
∵，
∴，故C结论错误，不符合题意；
故选：B．
4．如图， ABC重心为G， ABC和在边上高之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于点，根据重心的性质，得到，进而得到，证明，列出比例式即可得出结果．
【详解】解：连接并延长交于点，
∵ ABC重心为G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
5．如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质定理，根据相似三角形的判定定理证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故选：B．
6．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．
【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，
∴，，
∵CE⊥x轴，
∴，，
∵在矩形OABC中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点A坐标为，则点C坐标为，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点A坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．
7．如图，在 ABC中，E，F分别是上的点且，若的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先根据，可知，再根据“相似三角形的性质”得，进而得出，然后结合已知条件，可得答案．
【详解】∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：D．
8．如图，，，与交于点，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．首先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，进而可以解决问题．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
9．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的性质与判定，反比例函数与图形结合．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．设，则可表示；由矩形及点D在反比例函数图象上，；再由，可证明，由相似三角形的性质即可求得的值，从而求得k的值．
【详解】解：设，则；
在矩形中，，轴；
∵点D在反比例函数图象上，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∴；
∵的面积是8，
∴，
即，
∴，
即
∴；
故选：C．
10．如图，在 ABC中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解．
【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
，，，
，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
又，
，
解得，
，
当四边形是菱形时，的值为；
故选A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，可证明，得到，根据，，可得，推出，结合，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图， ABC的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中线性质可得，由重心的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，进而即可求解，掌握重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是 ABC的中线，
∴，
∵点是 ABC的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，正面，得出，求出，根据勾股定理得出即可．
【详解】解：过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，如图所示：
则，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴逸夫楼的高度约为，
故答案为：．
15．已知在 ABC中，、分别是边、的中点， 与相交于点，那么等于 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先判定为 ABC的中位线，进而得出，，证明，然后根据相似三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．也考查了三角形的中位线．
【详解】解：如图，
、分别是边、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
故选：C．
16．如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为 ．
【答案】/0.25
【分析】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，关键是根据平行四边形的性质，证明，进而列出比例关系即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，则，
∵
∴，
故答案为：．
17．如图，中，于点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值．
【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点、、三点共线时有最大值，．
故答案为： ．
18．如图，点C在以为直径的半圆O上，，点F是的中点，平分交于点D，则 度；当时，则的长为 ．
【答案】
【分析】由为直径，可得，由F是的中点，可得，由平分，可得，可求，根据，计算求解即可；，如图，连接，，则，，由，可得，，则，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵为直径，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
如图，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等弧所对的圆周角相等，角平分线，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，中位线，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，等弧所对的圆周角相等，角平分线，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，中位线，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O．
(1)求证：；
(2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键，
（1）证出，结合对顶角相等即可证明结论；
（2）根据相似三角形性质证出即可证出结论．
【详解】（1）证明：在四边形中，，
，
恰好平分，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
．
20．在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中将 ABC绕点顺时针旋转，画出旋转得到的；
(2)在图2中画出一个与 ABC相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换旋转变换的性质．
（1）根据要求作出图形；
（2）根据两条直角边的比对应相等，构造相似三角形即可．
【详解】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图2中，即为所求．
．
21．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度．
(1)求证：．
(2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用：
（1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
同理可证明，
∴ ，即，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形深坑的深度为．
22．如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质等知识．
（1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，再根据推出，即，即可证明结论；
（2）由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长，即可得到半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于C，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
，
∴半径的长为．
23．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键．
（1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标．
（2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标．
【详解】（1）解：四边形是矩形
为的中点，点B的坐标为
点E的坐标为
点E在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为：，
∴当时，则
∴点D的坐标为
（2）由（1）可得
为的中点
①若时，
则
即：
点F的坐标为
②若时，
则
即：
点F与点O重合
点F的坐标为
综上所述，点F的坐标为或
24．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒．
(1)当时，t的值为______；
(2)连接，当时，求出t的值；
(3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的时间t为或或或．
【分析】（1）判断出得出比例式建立方程即可得出结论；
（2）先判断出得出比例式求出，，再判断出，得出比例式建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∴，，
根据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点Q在线段上时，
由（1）（2）得，
∴，
Ⅰ、若，
∴，
∴，
Ⅱ、若时，如图1，作于N，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
Ⅲ、若时，如图1，作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点M在线段上时，如图2，是钝角，
由（1）（2）得，
∴，
∴只可能，
∴，
∴，
即：满足条件的时间t为或或或．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是表示出，，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.2.2&27.2.3相似三角形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．，、分别是 ABC的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABC中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直线分别交，于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，直线与相交于点G．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ABC重心为G， ABC和在边上高之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，E，F分别是上的点且，若的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
8．如图，，，与交于点，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是8，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，，，若，则 ．
12．如图， ABC的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么 ．
13．如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是 ．
14．如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ．
15．已知在 ABC中，、分别是边、的中点， 与相交于点，那么等于 ．
16．如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为 ．
17．如图，中，于点，则的最大值为 ．
18．如图，点C在以为直径的半圆O上，，点F是的中点，平分交于点D，则 度；当时，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O．
(1)求证：；
(2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
20．在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中将 ABC绕点顺时针旋转，画出旋转得到的；
(2)在图2中画出一个与 ABC相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可）
21．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度．
(1)求证：．
(2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度．
22．如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求半径的长．
23．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
24．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒．
(1)当时，t的值为______；
(2)连接，当时，求出t的值；
(3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形．
