人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 10:40:49 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版九年级上册
第二十四章 圆
教学目标
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
重点：垂径定理及应用。
难点：垂径定理的证明。
新知导入
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
新知讲解
你能证明刚才的结论吗？
·
O
A
D
E
C
B
如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.
在△OAB中，
∵OA=OB,
∴ △OAB是等腰三角形
而OE⊥AB
∴AE=EB
即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。
新知讲解
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
·
O
A
D
E
C
B
【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？
线段： AE=BE
⌒
⌒
即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
新知讲解
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号语言：
∵ ① CD是直径， ② CD⊥AB
∴ ③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
E
C
D
B
垂径定理
新知讲解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
·
O
A
E
C
B
D
利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立
思考
新知讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ ① CD是直径 ② AE=BE且AB不是直径
符号语言：
∴ ③ CD⊥AB， ④AC=BC，⑤AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
A
B
E
垂径定理的推论
新知讲解
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
【解题关键】
将实际问题转化为几何问题。
新知讲解
解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
37
18.5
R
R-7.23
在RT△ADO中，由勾股定理得
=
解得R≈27.3m
思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。
新知讲解
半径
半弦
弦心距
在直角三角形中，由勾股定理得：=
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
半径、半弦、弦心距之间的关系
跟踪练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求⊙O的半径．
A
B
.
O
E
3
4
解：
在Rt △ AOE 中 ,
,(垂径定理）
过圆心O 作OE⊥AB于E，
课堂练习
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
【答案】B
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC= CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC +OB =OC ,即2 +(r 1) =r ，解得r=2.5m.
课堂练习
2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ ）
A.4m B.5m C.6m D.8m
【答案】D
【详解】
连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，
∴OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=8 5=3(m)，
∴AD= (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m)
故选D.
课堂练习
3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）．
A. B.2 C.2 D.2
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
∴AB=2AH=2
H
课堂总结
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
板书设计
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理
垂径定理的推论
谢谢
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24.1.2 垂直于弦的直径
人教版九年级上册
第二十四章 圆
教学目标
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
重点：垂径定理及应用。
难点：垂径定理的证明。
新知导入
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
新知讲解
你能证明刚才的结论吗？
·
O
A
D
E
C
B
如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.
在△OAB中，
∵OA=OB,
∴ △OAB是等腰三角形
而OE⊥AB
∴AE=EB
即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。
新知讲解
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
·
O
A
D
E
C
B
【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？
线段： AE=BE
⌒
⌒
即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
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新知讲解
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号语言：
∵ ① CD是直径， ② CD⊥AB
∴ ③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.
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·
O
A
E
C
D
B
垂径定理
新知讲解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
·
O
A
E
C
B
D
利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立
思考
新知讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ ① CD是直径 ② AE=BE且AB不是直径
符号语言：
∴ ③ CD⊥AB， ④AC=BC，⑤AD=BD.
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O
C
D
A
B
E
垂径定理的推论
新知讲解
1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
【解题关键】
将实际问题转化为几何问题。
新知讲解
解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．
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37
18.5
R
R-7.23
在RT△ADO中，由勾股定理得
=
解得R≈27.3m
思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。
新知讲解
半径
半弦
弦心距
在直角三角形中，由勾股定理得：=
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
半径、半弦、弦心距之间的关系
跟踪练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求⊙O的半径．
A
B
.
O
E
3
4
解：
在Rt △ AOE 中 ,
,(垂径定理）
过圆心O 作OE⊥AB于E，
课堂练习
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
【答案】B
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC= CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC +OB =OC ,即2 +(r 1) =r ，解得r=2.5m.
课堂练习
2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（ ）
A.4m B.5m C.6m D.8m
【答案】D
【详解】
连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，
∴OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=8 5=3(m)，
∴AD= (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m)
故选D.
课堂练习
3．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）．
A. B.2 C.2 D.2
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
∴AB=2AH=2
H
课堂总结
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
板书设计
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理
垂径定理的推论
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
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https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
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