立方和、立方差、杨辉三角—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、立方和
得分
1．（2024七下·济南期中） 学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，是由边长为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大正方形，由图可得等式： ；
（2）知识迁移：
如图是用个小正方体和个小长方体拼成的一个大正方体，类比，用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式： ；
已知，，，利用中所得等式，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）解：；由拼图可知，大立方体的边长为，因此这个大正方体的体积为；这个大立方体是由个部分拼成的，这个部分的体积和为，因此有，故答案为：由得，，答：代数式的值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b，因此这个正方形的面积为（a+b）2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b，因此这个大正方体的体积为（a+b）3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这6个部分的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此有（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
【分析】（1）从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；
（2）①从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；②利用①中的结论代入计算即可。
2．（2024七下·秦都月考）【知识生成】
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
由此可以得出之间的等量关系是 ；
（2）【知识迁移】
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；
（3）已知，利用（2）的结论求的值．
【答案】（1）；；
（2）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：，
图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；利用整式的加减运算化简求值；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分是正方形，边长为（a-b），
∴图②中的阴影部分的面积为（a-b）2，
图②的阴影部分的面积=（a+b）2-4ab.
故答案为：（a-b）2，（a+b）2-4ab.
【分析】（1）观察图②可知阴影部分的面积等于小正方形的面积或用大正方形的面积减去4个长方形的面积，列式即可.
（2）观察图③可以看作棱长为的正方体，利用正方体体积的计算方法，可得答案；图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，列式即可.
（3）由（2）可知，由此可得到，然后整体代入求值.
3．（2022八上·温岭期末）学方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
（2）【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由.
【答案】（1）a3-b3；100
（2）解：∵，
∴原式
=5-1
=4.
（3）解：假设长方体可能为正方体，由题意：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴7a2-10ab+7b2=0不成立，
∴该长方体不可能是边长为的正方体.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：(1)①原式=a3+(-b)3=a3-b3.
②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100.
故答案为：a3-b3，100.
【分析】（1）①将a-b看着a+（-b），利用立方和公式可求出（a－b）（a2＋ab＋b2）的结果；②利用立方和公式将993＋1转化为（99+1）（992-99×1+12），然后进行计算可求出结果.
（2）先将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，将其转化为，然后代入求值.
（3）假设长方体可能为正方体，利用立方体和长方体的体积公式可得到 ，再利用立方和公式将等式转化为 ，去分母可得到7a2-10ab+7b2=0，利用配方法可得到 ＞0，可推出7a2-10ab+7b2=0不成立，由此可做出判断.
阅卷人 二、立方差
得分
4．（2024八下·济南期中） 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a3﹣b3
（3）b2（a﹣b）；a2（a﹣b）
（4）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
（5）解：∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3-b3，
故答案为：a3-b3．
（3）∵EN=b，DE=b，DM=a-b，
∴长方体②的体积为b2（a-b），
∵GH=a，FG=a-b，HR=a，
∴长方体③的体积为a2（a-b），
故答案为：b2（a-b），a2（a-b）．
（4）由（2）和（3）得：a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得。
阅卷人 三、杨辉三角
得分
5．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
可得（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）9第三项系数为1+2+3+…+8=36，
故答案为：B.
【分析】根据题意和完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，找出系数规律，即可求解得出答案.
6．（2023七上·娄底期中）下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数.则
【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】解：由图可知：的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，
∴的各项系数依次为1、4、6、4、1；
的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
∴的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
故答案为：20
【分析】根据题意运用完全平方式的展开和杨辉三角即可求解。
7．（2021八上·川汇期末）
如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《解：九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”.如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数.利用上述规律计算： .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；数学常识
【解析】【解答】解：由题意得
=
.
故答案为：.
【分析】 由式子规律把原式改写为1014＋4×1013×（ 1）＋6×1012×（ 1）2＋4×101×（ 1）3＋（ 1）4 （ 1）4，从而进行计算即可求解.
8．（2020八上·阳泉期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务。
杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著作，他著名的数学著作共5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》卷，《续古摘奇算法》卷。在《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，根据这个三角图形，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两教的立方和、立方差、三数的立方和等公式，两数的立方差公式是：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，这个公式的推导过程如下：a3-b3=a3-a2b+a2b-b3=a2(a-b)+b(a2-b2)=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)
任务：
（1）利用上述方法推导立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)从左往右推导)
（2）已知a+b=1，ab=-1，a>b，求a2+b2，a3-b3的值
【答案】（1）解：a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2(a+b)-b(a2-b2)
=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)(a2-ab+b2)
（2）解：a2+b2
=(a+b)2-2ab
=12-2×(-1)
=3
(a-b)2=a2-2ab+b2=3-2×(-1)=5
∵a>b
∴a-b=
a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
= ×(3-1)
=2
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
（1）a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2(a+b)-b(a2-b2)
=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)(a2-ab+b2)
（2） a2+b2
=(a+b)2-2ab
=12-2×(-1)
=3
(a-b)2=a2-2ab+b2=3-2×(-1)=5
∵a>b
∴a-b=
a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
= ×(3-1)
=2
【分析】阅读材料，仿照材料中的方法解答（1）；对a2+b2配方可得(a+b)2-2ab，然后代入已知式子的值求解；由材料知
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，然后利用代入法求解。
9．（2023·宝安模拟）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1 将上述每个式子的各项系数排成该表. 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写. 该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图"，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.
（1）应用规律：①直接写出的展开式， ；
②的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
（2）代数推理：已知为整数，求证：能被18整除．
【答案】（1）；7；64
（2）证明：，
能被18整除．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）①根据表格，可得第5行数字为：1 4 6 4 1，
故.
故答案为：.
②∵，它指数为0，只有一项，系数为1；
，它指数为1，有两项，系数分别为1，1；
，它指数为2，有三项，系数分别为1，2，1；
，它指数为3，有四项，系数分别为1，3，3，1
...
的指数为6，有7项.
令a=b=1，可得(1+1)6=26=64.
故的展开式中共有7项，所有项的系数和为64；
故答案为7；64；
【分析】（1）①根据表格得出表格第5行的数字，即可得到 的展开式；
②根据指数与项数的关系规律，即可得到的 展开式的项数，令a=b=1，代入 ，则展开式的每一项都只有系数，相加即可得到系数和；
（2）根据，对代数式进行展开并分解因式，即可得到结论.
10．（2021七下·金东期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出两项多项式的 次方的展开式.杨辉三角中的每一行的数分别对应两项多项式 次方展开式中的各项系数.例如： ，右边的系数1、2、1是杨辉三角中第三行的三个数，又如： 中右边各项系数1、3、3、1是杨辉三角中第四行的四个数.根据这个规律，试解决下列问题：
（1）试写出下一个展开式： .
（2）求 的展开式.
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：∵ ，
令x=1，得：
，
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据已知图形及样例规律可得：
，
故答案为： ；
【分析】（1）根据杨辉三角规律：每行第2个数开始，每一个数都等于它的左右双肩数字之和求解，
（2）由题意，把a=2x，b=-1代入杨辉三角规律计算即可求解；
（3）由题意，把a=3x，b=-2代入杨辉三角规律展开，使用特值法求解即可.
11．（2019七下·越城期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
“杨辉三角”里面蕴藏了许多的规律
（1）找出其中各项字母之间的规律以及各项系数之间的规律各一条；
（2）直接写出（a+b）6展开后的多项式 ；
（3）运用：若今天是星期四，经过84天后是星期 ，经过8100天后是星期 ．
【答案】（1）解：字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列；
（2）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
（3）星期五；星期五
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（2）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（ 3 ）84＝（7+1）4的最后一项是1，∴经过84天后是星期是星期五；
8100＝（7+1）100的最后一项是1，∴经过84天后是星期是星期五；
故答案为星期五，星期五．
【分析】（1）观察已知等式，可得出a，b两字母的指数的排列规律，及各项系数特点，写出一条规律即可。
（2）根据a，b的字母排列规律及系数特点，就可得出（a+b）6的展开式。
（3）分别将4和8100展开，只需看它们的最后一项是多少，就可得出答案。
1 / 1立方和、立方差、杨辉三角—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、立方和
得分
1．（2024七下·济南期中） 学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，是由边长为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大正方形，由图可得等式： ；
（2）知识迁移：
如图是用个小正方体和个小长方体拼成的一个大正方体，类比，用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式： ；
已知，，，利用中所得等式，求代数式的值．
2．（2024七下·秦都月考）【知识生成】
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
由此可以得出之间的等量关系是 ；
（2）【知识迁移】
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；
（3）已知，利用（2）的结论求的值．
3．（2022八上·温岭期末）学方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
（2）【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由.
阅卷人 二、立方差
得分
4．（2024八下·济南期中） 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
阅卷人 三、杨辉三角
得分
5．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七上·娄底期中）下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数.则
7．（2021八上·川汇期末）
如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《解：九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”.如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数.利用上述规律计算： .
8．（2020八上·阳泉期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务。
杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著作，他著名的数学著作共5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》卷，《续古摘奇算法》卷。在《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，根据这个三角图形，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两教的立方和、立方差、三数的立方和等公式，两数的立方差公式是：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，这个公式的推导过程如下：a3-b3=a3-a2b+a2b-b3=a2(a-b)+b(a2-b2)=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)
任务：
（1）利用上述方法推导立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)从左往右推导)
（2）已知a+b=1，ab=-1，a>b，求a2+b2，a3-b3的值
9．（2023·宝安模拟）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1 将上述每个式子的各项系数排成该表. 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写. 该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图"，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.
（1）应用规律：①直接写出的展开式， ；
②的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
（2）代数推理：已知为整数，求证：能被18整除．
10．（2021七下·金东期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出两项多项式的 次方的展开式.杨辉三角中的每一行的数分别对应两项多项式 次方展开式中的各项系数.例如： ，右边的系数1、2、1是杨辉三角中第三行的三个数，又如： 中右边各项系数1、3、3、1是杨辉三角中第四行的四个数.根据这个规律，试解决下列问题：
（1）试写出下一个展开式： .
（2）求 的展开式.
（3）若 ，求 的值.
11．（2019七下·越城期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
“杨辉三角”里面蕴藏了许多的规律
（1）找出其中各项字母之间的规律以及各项系数之间的规律各一条；
（2）直接写出（a+b）6展开后的多项式 ；
（3）运用：若今天是星期四，经过84天后是星期 ，经过8100天后是星期 ．
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：；由拼图可知，大立方体的边长为，因此这个大正方体的体积为；这个大立方体是由个部分拼成的，这个部分的体积和为，因此有，故答案为：由得，，答：代数式的值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b，因此这个正方形的面积为（a+b）2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b，因此这个大正方体的体积为（a+b）3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这6个部分的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此有（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
【分析】（1）从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；
（2）①从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；②利用①中的结论代入计算即可。
2．【答案】（1）；；
（2）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：，
图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；利用整式的加减运算化简求值；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分是正方形，边长为（a-b），
∴图②中的阴影部分的面积为（a-b）2，
图②的阴影部分的面积=（a+b）2-4ab.
故答案为：（a-b）2，（a+b）2-4ab.
【分析】（1）观察图②可知阴影部分的面积等于小正方形的面积或用大正方形的面积减去4个长方形的面积，列式即可.
（2）观察图③可以看作棱长为的正方体，利用正方体体积的计算方法，可得答案；图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，列式即可.
（3）由（2）可知，由此可得到，然后整体代入求值.
3．【答案】（1）a3-b3；100
（2）解：∵，
∴原式
=5-1
=4.
（3）解：假设长方体可能为正方体，由题意：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴7a2-10ab+7b2=0不成立，
∴该长方体不可能是边长为的正方体.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：(1)①原式=a3+(-b)3=a3-b3.
②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100.
故答案为：a3-b3，100.
【分析】（1）①将a-b看着a+（-b），利用立方和公式可求出（a－b）（a2＋ab＋b2）的结果；②利用立方和公式将993＋1转化为（99+1）（992-99×1+12），然后进行计算可求出结果.
（2）先将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，将其转化为，然后代入求值.
（3）假设长方体可能为正方体，利用立方体和长方体的体积公式可得到 ，再利用立方和公式将等式转化为 ，去分母可得到7a2-10ab+7b2=0，利用配方法可得到 ＞0，可推出7a2-10ab+7b2=0不成立，由此可做出判断.
4．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a3﹣b3
（3）b2（a﹣b）；a2（a﹣b）
（4）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
（5）解：∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3-b3，
故答案为：a3-b3．
（3）∵EN=b，DE=b，DM=a-b，
∴长方体②的体积为b2（a-b），
∵GH=a，FG=a-b，HR=a，
∴长方体③的体积为a2（a-b），
故答案为：b2（a-b），a2（a-b）．
（4）由（2）和（3）得：a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得。
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
可得（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）9第三项系数为1+2+3+…+8=36，
故答案为：B.
【分析】根据题意和完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，找出系数规律，即可求解得出答案.
6．【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】解：由图可知：的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，
∴的各项系数依次为1、4、6、4、1；
的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
∴的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
故答案为：20
【分析】根据题意运用完全平方式的展开和杨辉三角即可求解。
7．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；数学常识
【解析】【解答】解：由题意得
=
.
故答案为：.
【分析】 由式子规律把原式改写为1014＋4×1013×（ 1）＋6×1012×（ 1）2＋4×101×（ 1）3＋（ 1）4 （ 1）4，从而进行计算即可求解.
8．【答案】（1）解：a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2(a+b)-b(a2-b2)
=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)(a2-ab+b2)
（2）解：a2+b2
=(a+b)2-2ab
=12-2×(-1)
=3
(a-b)2=a2-2ab+b2=3-2×(-1)=5
∵a>b
∴a-b=
a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
= ×(3-1)
=2
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
（1）a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2(a+b)-b(a2-b2)
=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)(a2-ab+b2)
（2） a2+b2
=(a+b)2-2ab
=12-2×(-1)
=3
(a-b)2=a2-2ab+b2=3-2×(-1)=5
∵a>b
∴a-b=
a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
= ×(3-1)
=2
【分析】阅读材料，仿照材料中的方法解答（1）；对a2+b2配方可得(a+b)2-2ab，然后代入已知式子的值求解；由材料知
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，然后利用代入法求解。
9．【答案】（1）；7；64
（2）证明：，
能被18整除．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）①根据表格，可得第5行数字为：1 4 6 4 1，
故.
故答案为：.
②∵，它指数为0，只有一项，系数为1；
，它指数为1，有两项，系数分别为1，1；
，它指数为2，有三项，系数分别为1，2，1；
，它指数为3，有四项，系数分别为1，3，3，1
...
的指数为6，有7项.
令a=b=1，可得(1+1)6=26=64.
故的展开式中共有7项，所有项的系数和为64；
故答案为7；64；
【分析】（1）①根据表格得出表格第5行的数字，即可得到 的展开式；
②根据指数与项数的关系规律，即可得到的 展开式的项数，令a=b=1，代入 ，则展开式的每一项都只有系数，相加即可得到系数和；
（2）根据，对代数式进行展开并分解因式，即可得到结论.
10．【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：∵ ，
令x=1，得：
，
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据已知图形及样例规律可得：
，
故答案为： ；
【分析】（1）根据杨辉三角规律：每行第2个数开始，每一个数都等于它的左右双肩数字之和求解，
（2）由题意，把a=2x，b=-1代入杨辉三角规律计算即可求解；
（3）由题意，把a=3x，b=-2代入杨辉三角规律展开，使用特值法求解即可.
11．【答案】（1）解：字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列；
（2）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
（3）星期五；星期五
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（2）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（ 3 ）84＝（7+1）4的最后一项是1，∴经过84天后是星期是星期五；
8100＝（7+1）100的最后一项是1，∴经过84天后是星期是星期五；
故答案为星期五，星期五．
【分析】（1）观察已知等式，可得出a，b两字母的指数的排列规律，及各项系数特点，写出一条规律即可。
（2）根据a，b的字母排列规律及系数特点，就可得出（a+b）6的展开式。
（3）分别将4和8100展开，只需看它们的最后一项是多少，就可得出答案。
1 / 1
