乘法公式知二推二—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023七下·瓯海月考）已知，，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．11 D．13
2．（2024八上·福田开学考）已知， ，则的值为 （ ）
A．49 B．39 C．29 D．19
3．（2024七下·瑞安期中）已知，，则的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
4．（2021八上·仁寿期中）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
5．（2023八下·涡阳期中）已知，，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（2021·台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
阅卷人 二、填空题
得分
7．（2024八上·长沙月考）已知，，则 ．
8．（2024八上·长沙月考）已知和互为倒数，，求 ．
9．（2024九上·蒙自期中）已知方程的两根为，则 ．
10．（2024八下·杭州月考）已知，，则 .
阅卷人 三、解答题
得分
11．已知 ．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
12．（2023七下·鄞州期中） 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值；
13．（2024八下·喀什期中） 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
14．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求．
阅卷人 四、阅读理解题
得分
15．阅读： 已知 ， 求 的值．
解： ．
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1） 已知 ， 求 的值．
（2） 已知 ，求 的值．
阅卷人 五、实践探究题
得分
16．（2023八上·长春月考）【感知】已知，，求的值．
解：，，即．
，，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）如图所示，若，，求的值；
（3）若满足，求的值；
（4）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，直接写出图中阴影部分的面积和为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是完全平方公式及应用，对公式进行变形再整体代入数值即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
故选：A
【分析】
根据，可得，然后把已知数值代入得：，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】解题关键是结合完全平方公式先计算出的值.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
化简可得， .
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此计算.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（x-y）2=（x+y）2-4xy， ，，
∴（x-y）2=（）2-4×=16，
∴x-y=；
故答案为：C.
【分析】根据（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后整体代入计算即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】 利用完全平方公式，由（a+b）2＝49，a2+b2＝25，可求出ab的值.
7．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
8．【答案】
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为倒数，
∴ab=1，
∵，
∴，
故答案为：12.
【分析】利用完全平方公式将变形为，再将ab=1，代入计算即可.
9．【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据配方法化简代数式，再整体代数即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
11．【答案】（1）解：∵m+n=5， mn=3，
（2）解：
∴原式= mn-2（m+n）+4=3-2×5+4=-3.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形进行计算即可；
（2）先算多项式乘以多项式，再变形即可求出答案.
12．【答案】（1）解：∵a-b=7，ab=-12，
∴a2b-ab2=ab(a-b)=-12×7=-84；
（2）解：∵a-b=7，ab=-12，
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=72+2×(-12)=25；
（3）解：∵ab=-12，由（2）得a2+b2=25，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25+2×(-12)=1，
∴a+b=±1.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）先用提公因式法进行因式分解，再代入求解；
（2）利用完全平方公式进行求解；
（3）由（2）得a2+b2=25，再利用完全平方公式求出(a+b)2的值，最后算出a+b.
13．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
＝
=
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加法法则和乘法法则求得 ，，再利用完全平方公式将原式变形为，然后整体代入计算即可；
（2）先利用完全平方公式将原式变形为，再把 ，，整体代入计算即可.
14．【答案】（1）解：，
，
∴；
（2）解：∵，
∴
，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先进行分母有理数化，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据平方差公式可得，再根据完全平方公式进行化简，再整体代入即可求出答案.
15．【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）首先， 可以进一步因式分解成，而题目给出了a-b的值，即只需要求出a+b的值即可，而a+b又可以通过条件 结合完全平方公式求出；
（2）将（a-b）视为一个数，将c视为另一个数，则利用题干“知道两数之和与两数之积，可求两数平方和”的思想求值.
16．【答案】（1）
（2）解：大正方形的面积各部分图形面积之和，
．
，，
，即，
．
（3）解：令，，
，．
，即，
，即．
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴x2+2xy+y2=16，
∴xy=[(x+y)2 (x2+y2)]=×(16 2)=7，
故答案为：7．
（4）解：设BE=DF=x，
∵长方形ABCD中，AB=10，BC=6，
∴CD=10，
∴CF=10 x，CE=6 x，
∵长方形CEPF的面积为50，
则CF CE=(10 x)(6 x)=50，
∵[(10 x)-(6 x)]2=16
∴(10 x)2+(6 x)2=16+2×50=116，
∴阴影部分的面积和为116
故答案为：116．
【分析】（1）根据完全平方公式变形，即可求解．
（2）根据，将已知数据代入，即可求解；
（3）令，，进而根据完全平方公式变形即可求解；
（4）设BE=DF=x，则CF=10 x，CE=6 x，根据完全平方公式变形得到阴影部分的面积和．
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阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023七下·瓯海月考）已知，，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．11 D．13
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是完全平方公式及应用，对公式进行变形再整体代入数值即可得出答案.
2．（2024八上·福田开学考）已知， ，则的值为 （ ）
A．49 B．39 C．29 D．19
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
故选：A
【分析】
根据，可得，然后把已知数值代入得：，即可求解.
3．（2024七下·瑞安期中）已知，，则的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】解题关键是结合完全平方公式先计算出的值.
4．（2021八上·仁寿期中）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
化简可得， .
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此计算.
5．（2023八下·涡阳期中）已知，，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（x-y）2=（x+y）2-4xy， ，，
∴（x-y）2=（）2-4×=16，
∴x-y=；
故答案为：C.
【分析】根据（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后整体代入计算即可.
6．（2021·台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】 利用完全平方公式，由（a+b）2＝49，a2+b2＝25，可求出ab的值.
阅卷人 二、填空题
得分
7．（2024八上·长沙月考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
8．（2024八上·长沙月考）已知和互为倒数，，求 ．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为倒数，
∴ab=1，
∵，
∴，
故答案为：12.
【分析】利用完全平方公式将变形为，再将ab=1，代入计算即可.
9．（2024九上·蒙自期中）已知方程的两根为，则 ．
【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据配方法化简代数式，再整体代数即可求出答案.
10．（2024八下·杭州月考）已知，，则 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
阅卷人 三、解答题
得分
11．已知 ．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
【答案】（1）解：∵m+n=5， mn=3，
（2）解：
∴原式= mn-2（m+n）+4=3-2×5+4=-3.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形进行计算即可；
（2）先算多项式乘以多项式，再变形即可求出答案.
12．（2023七下·鄞州期中） 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值；
【答案】（1）解：∵a-b=7，ab=-12，
∴a2b-ab2=ab(a-b)=-12×7=-84；
（2）解：∵a-b=7，ab=-12，
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=72+2×(-12)=25；
（3）解：∵ab=-12，由（2）得a2+b2=25，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25+2×(-12)=1，
∴a+b=±1.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）先用提公因式法进行因式分解，再代入求解；
（2）利用完全平方公式进行求解；
（3）由（2）得a2+b2=25，再利用完全平方公式求出(a+b)2的值，最后算出a+b.
13．（2024八下·喀什期中） 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
＝
=
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加法法则和乘法法则求得 ，，再利用完全平方公式将原式变形为，然后整体代入计算即可；
（2）先利用完全平方公式将原式变形为，再把 ，，整体代入计算即可.
14．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求．
【答案】（1）解：，
，
∴；
（2）解：∵，
∴
，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先进行分母有理数化，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据平方差公式可得，再根据完全平方公式进行化简，再整体代入即可求出答案.
阅卷人 四、阅读理解题
得分
15．阅读： 已知 ， 求 的值．
解： ．
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1） 已知 ， 求 的值．
（2） 已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）首先， 可以进一步因式分解成，而题目给出了a-b的值，即只需要求出a+b的值即可，而a+b又可以通过条件 结合完全平方公式求出；
（2）将（a-b）视为一个数，将c视为另一个数，则利用题干“知道两数之和与两数之积，可求两数平方和”的思想求值.
阅卷人 五、实践探究题
得分
16．（2023八上·长春月考）【感知】已知，，求的值．
解：，，即．
，，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）如图所示，若，，求的值；
（3）若满足，求的值；
（4）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，直接写出图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】（1）
（2）解：大正方形的面积各部分图形面积之和，
．
，，
，即，
．
（3）解：令，，
，．
，即，
，即．
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴x2+2xy+y2=16，
∴xy=[(x+y)2 (x2+y2)]=×(16 2)=7，
故答案为：7．
（4）解：设BE=DF=x，
∵长方形ABCD中，AB=10，BC=6，
∴CD=10，
∴CF=10 x，CE=6 x，
∵长方形CEPF的面积为50，
则CF CE=(10 x)(6 x)=50，
∵[(10 x)-(6 x)]2=16
∴(10 x)2+(6 x)2=16+2×50=116，
∴阴影部分的面积和为116
故答案为：116．
【分析】（1）根据完全平方公式变形，即可求解．
（2）根据，将已知数据代入，即可求解；
（3）令，，进而根据完全平方公式变形即可求解；
（4）设BE=DF=x，则CF=10 x，CE=6 x，根据完全平方公式变形得到阴影部分的面积和．
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