换元法知二推二—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·望城期末）已知，则的值等于（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．（2024七下·惠来月考） 已知，，则的值为（ ）
A．116 B．117 C．118 D．232
4．（2023八上·德惠月考）已知(2021-a) (2020-a) =4，则(2021-a)2+ (2020-a)2的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．12
5．（2023八上·潮南月考）已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
阅卷人 二、填空题
得分
6． 已知 ， 则 .
7．已知，则
8．（【精彩三年】中考数学中考总复习中考核心微专题一代数式中整体思想的运用）已知 ， 则 ，
阅卷人 三、计算题
得分
9．已知 ， 求下列各式的值：
（1）
（2）．
（3）
10．已知求下列代数式的值：
（1）
（2）
11．（2023八上·德惠月考） 已知(a+b)2=17，(a- b)2=13，
求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
12．（2022八上·武汉月考）已知.
（1）求、的值；
（2）求的值.
13．（2024八上·丰城开学考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；（用字母表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
2．【答案】B
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
由①+②得：
由①-②得：ab=-1
∴
故答案为：B
【分析】根据题意将括号展开，求出，ab=-1，再通分化简代入相应值即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
①+②得
∴=116.
故答案为：A
【分析】分别展开计算(m－n)2和(m-n)2，然后两式相加再化简，即可得到的值 .
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ (2021-a) (2020-a) =4，
∴(2021-a)2+ (2020-a)2=[ (2021-a)- (2020-a)]2+2 (2021-a) (2020-a)
=1+2×4=9，
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式将原式化为(2021-a)2+ (2020-a)2=[ (2021-a)- (2020-a)]2+2 (2021-a) (2020-a) ，再代入计算即可.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=，
而a-b=-1，a-c=-2， c-b=1，
则原式==3.
故答案为：D.
【分析】把代数式变形为完全平方式，代入即可求得.
6．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
∴
故答案为：4.
【分析】根据条件，结合完全平方公式，得出关于xy(xy视为一个整体)的方程，求解即可.
7．【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3a+3b+13a+3b-1=899;
3a+3b2-12=899;
3a+3b2=900; 9a+b2=900;
即a+b2=100;
又∵a>0,b>0 ，
∴a+b=10.
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式可将原等式化为a+b2=100，再根据，即可求解.
8．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
，
整理后，，ab=1
故答案为：5，.
【分析】利用完全平方公式将原式展开，整理计算出，ab=1，再对所求代数式进行整理化简即可代入求值.
9．【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据已知条件可以容易得到x+y.x+y，xy的值。可运用完全平方公式对 进行变形，使其成为含有x+y或x-y和xy的代数式。也可以直接代入x，y值进行计算，但计算会复杂些；
（2）运用平方差公式进行分解，再代入x+y和x-y的值进行计算即可；
（3）先通分，再代入相应的代数式的数进行计算即可。
10．【答案】（1）解：∵
∴，，
x2-xy+y2
=x2-2xy+y2+xy
=（x-y）2+xy，
.
=22
（2）解：∵
∴，，
（x2+1）（y2+1）
=（xy）2+x2+y2+1
=（xy）2+x2+y2+2xy-2xy+1
=（xy）2+（x+y）2+1-2xy
.
=29.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1） 先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x-y和xy的值，再根据完全平方公式得出x2-xy+y2=（x-y）2+xy，再代入计算即可；
（2）先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x+y和xy的值，再根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式得出（x2+1）（y2+1）=（xy）2+（x+y）2+1-2xy，再代入计算即可.
11．【答案】（1）解：∵ (a+b)2=a2+2ab+b2=17①，(a- b)2=a2-2ab+b2=13②，
∴①+②：2a2+2b2=30，
∴ a2+b2=15，
（2）解：①-②得4ab=4，
∴ab=1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式将两等式展开，将两式相加可求出 a2+b2的值；将两式相减可求出ab的值.
12．【答案】（1）解：∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即.
（2）解：∵，，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据题意，熟练应用完全平方公式的变形，结合已知条件进行分析求解，即可求解.
（1）∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即；
（2）∵，，
∴.
13．【答案】问题呈现：；；
数学思考：（1），，
，
的值为；
（2）设，，
，
，
，
，
的值为；
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图；图；
故答案为：；；
【分析】问题呈现：观察图1可知边长为a+b的正方形的面积=边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形的面积+2×长为a，宽为b的长方形的面积，列式即可；图2可知边长为a-b的正方形的面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积-2×长为a，宽为b的长方形的面积，列式即可
数学思考：（1）利用配方法可得到a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入求值.
（2）设，，可求出a+b及ab的值，然后利用配方法求出的值.
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阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·丰城开学考）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的应用.观察题目式子可得：，两边同时平方，利用完全平方公式进行计算可得：
，再结合题意可推出：，进而可得：，再利用平方差公式进行计算可求出答案．
2．（2024八上·望城期末）已知，则的值等于（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
由①+②得：
由①-②得：ab=-1
∴
故答案为：B
【分析】根据题意将括号展开，求出，ab=-1，再通分化简代入相应值即可求出答案.
3．（2024七下·惠来月考） 已知，，则的值为（ ）
A．116 B．117 C．118 D．232
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
①+②得
∴=116.
故答案为：A
【分析】分别展开计算(m－n)2和(m-n)2，然后两式相加再化简，即可得到的值 .
4．（2023八上·德惠月考）已知(2021-a) (2020-a) =4，则(2021-a)2+ (2020-a)2的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．12
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ (2021-a) (2020-a) =4，
∴(2021-a)2+ (2020-a)2=[ (2021-a)- (2020-a)]2+2 (2021-a) (2020-a)
=1+2×4=9，
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式将原式化为(2021-a)2+ (2020-a)2=[ (2021-a)- (2020-a)]2+2 (2021-a) (2020-a) ，再代入计算即可.
5．（2023八上·潮南月考）已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=，
而a-b=-1，a-c=-2， c-b=1，
则原式==3.
故答案为：D.
【分析】把代数式变形为完全平方式，代入即可求得.
阅卷人 二、填空题
得分
6． 已知 ， 则 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
∴
故答案为：4.
【分析】根据条件，结合完全平方公式，得出关于xy(xy视为一个整体)的方程，求解即可.
7．已知，则
【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3a+3b+13a+3b-1=899;
3a+3b2-12=899;
3a+3b2=900; 9a+b2=900;
即a+b2=100;
又∵a>0,b>0 ，
∴a+b=10.
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式可将原等式化为a+b2=100，再根据，即可求解.
8．（【精彩三年】中考数学中考总复习中考核心微专题一代数式中整体思想的运用）已知 ， 则 ，
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
，
整理后，，ab=1
故答案为：5，.
【分析】利用完全平方公式将原式展开，整理计算出，ab=1，再对所求代数式进行整理化简即可代入求值.
阅卷人 三、计算题
得分
9．已知 ， 求下列各式的值：
（1）
（2）．
（3）
【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据已知条件可以容易得到x+y.x+y，xy的值。可运用完全平方公式对 进行变形，使其成为含有x+y或x-y和xy的代数式。也可以直接代入x，y值进行计算，但计算会复杂些；
（2）运用平方差公式进行分解，再代入x+y和x-y的值进行计算即可；
（3）先通分，再代入相应的代数式的数进行计算即可。
10．已知求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵
∴，，
x2-xy+y2
=x2-2xy+y2+xy
=（x-y）2+xy，
.
=22
（2）解：∵
∴，，
（x2+1）（y2+1）
=（xy）2+x2+y2+1
=（xy）2+x2+y2+2xy-2xy+1
=（xy）2+（x+y）2+1-2xy
.
=29.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1） 先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x-y和xy的值，再根据完全平方公式得出x2-xy+y2=（x-y）2+xy，再代入计算即可；
（2）先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x+y和xy的值，再根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式得出（x2+1）（y2+1）=（xy）2+（x+y）2+1-2xy，再代入计算即可.
11．（2023八上·德惠月考） 已知(a+b)2=17，(a- b)2=13，
求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
【答案】（1）解：∵ (a+b)2=a2+2ab+b2=17①，(a- b)2=a2-2ab+b2=13②，
∴①+②：2a2+2b2=30，
∴ a2+b2=15，
（2）解：①-②得4ab=4，
∴ab=1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式将两等式展开，将两式相加可求出 a2+b2的值；将两式相减可求出ab的值.
12．（2022八上·武汉月考）已知.
（1）求、的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即.
（2）解：∵，，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据题意，熟练应用完全平方公式的变形，结合已知条件进行分析求解，即可求解.
（1）∵
∴①，
②，
由①+②可得：；由①-②可得：，即；
（2）∵，，
∴.
13．（2024八上·丰城开学考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；（用字母表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】问题呈现：；；
数学思考：（1），，
，
的值为；
（2）设，，
，
，
，
，
的值为；
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图；图；
故答案为：；；
【分析】问题呈现：观察图1可知边长为a+b的正方形的面积=边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形的面积+2×长为a，宽为b的长方形的面积，列式即可；图2可知边长为a-b的正方形的面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积-2×长为a，宽为b的长方形的面积，列式即可
数学思考：（1）利用配方法可得到a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入求值.
（2）设，，可求出a+b及ab的值，然后利用配方法求出的值.
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