配方法求最值—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测b卷）不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（ ）
A．大于等于﹣ B．小于等于﹣
C．有最小值﹣ D．恒大于零
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x﹣x2﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x2﹣x+ ﹣ ）﹣1=﹣[（x﹣ ）2﹣ ]﹣1=﹣（x﹣ ）2+ ﹣1=﹣（x﹣ ）2﹣
∵（x﹣ ）2≥0
∴﹣（x﹣ ）2≤0
∴﹣（x﹣ ）2﹣ ≤﹣
故答案为：B
【分析】将原式利用完全平方法，写成平方的形式，因为一个数的偶次幂为非负性，可以得出范围。
2．（2021七下·曲阳期末）关于式子a2﹣2a+3的说法正确的是（ ）
A．当a＝1时，式子有最大值2 B．当a＝1时，式子有最小值2
C．当a＝﹣1时，式子有最大值2 D．当a＝﹣1时，式子有最小值2
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，
∵（当a＝1时，等号成立），
∴（a﹣1）2+2≥2（当a＝1时，取最小值2），选项B符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用配方法可得a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，再利用可得（a﹣1）2+2≥2，从而得到答案。
3．（2024七下·邵东期中）不论x，y取任何实数，总有（ ）
A．最大值8 B．最小值8 C．最大值 D．最小值
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
4．（2024八上·叙州期末）（ ）
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴2023．
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合整式的混合运算进行配方，进而即可求解。
5．（2023七下·拱墅期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，先求出p、q，由p+q=6可得a+b=2，继而确定a=P-2，b=q-2，从而得出ab=（P-2）（q-2）=-(p-3)2+1，==，据此分别确定出ab、的最大值与最小值，再判断即可.
6．（2023八上·南安期中）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（ ）
A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为
【答案】D
【知识点】配方法的应用
阅卷人 二、填空题
得分
7．（2018八上·硚口期末）关于 的式子 ，当 时，式子有最 值，且这个值为 .
【答案】-3；小；-18
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，式子有最小值，这个值为 ；
故答案为： ，小， ；
【分析】先把 配成完全平方式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解.
8．（2024七下·西安月考）多项式有最 值为 ．
【答案】大；2
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
9．（2023七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
【答案】；
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵3x2+2x+1=3（x2+x）+1=3（x2+x+-）+1=3（x+）2-+1=3（x+）2+，
又∵3（x+）2≥0， ∴当x=- 13 时多项式3x2+2x+1由最小值.
故答案为：- 13 ，.
【分析】利用配方法将多项式3x2+2x+1变形为3（x+）2+，进而结合偶数次幂的非负性可得当x=- 13 时多项式3x2+2x+1由最小值.
阅卷人 三、解答题
得分
10．（2023八下·渠县期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为 ；
（2）因式分解： ；
（3）用配方法求代数式的最小值；
（4） 拓展应用：
若实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】（1）25
（2）
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）3
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵是完全平方式 ，
∴k==25；
故答案为：25.
（2） （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8），
故答案为： ；
（4） ∵，
∴a2-4a-a-b+7=0，
∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+3≥3，
∴的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可；
（2）根据配方法进行因式分解即可；
（3）根据配方法将原式化为 ，根据偶次幂的非负性求解即可；
（4）由可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可.
11．（2021七下·浦江期末）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等.如：求代数式的最值：，在时，取最小值1.
（1）求代数式的最小值.
（2）有最大还最小值，求出其最值.
（3）求的最小值.
【答案】（1）解：，
∴时，代数式有最小值；
（2）解：，
∴时，代数式有最大值7；
（3）解：，
∴时，代数式有最小值2.
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）对原式进行配方可得x2-4x=(x-2)2-4，结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值；
（2）对原式进行配方可得-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7，结合偶次幂的非负性可得代数式的最大值；
（3）对原式进行配方可得(x-)2+2，结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值.
12．（2023八上·丰台期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
【答案】（1）解：∵
，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）解：∵M是N的“雅常式”，
∴
，
∴，
∴，
∵，且x为实数时，N的最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴M关于N的“雅常值”为2．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据“雅常式”的定义，结合完全平方公式及多项式乘以多项式法则求C-D，即可求出答案.
（2）根据“雅常式”的定义，可得，代入，求出a值，根据题意可得，则b=-1，代入代数式即可求出答案.
（1）∵
，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴
，
∴，
∴，
∵，且x为实数时，N的最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴M关于N的“雅常值”为2．
13．（2020八上·北京期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2=
可得(a+b+c)2=0
（1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
（2）若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
（4）已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
【答案】（1）解：x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
（2）解：p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
（3）解：
∴
∴
∴三角形是等边三角形
（4）3
【知识点】等边三角形的判定；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：(4) 原式
∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
∴原式 =3
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.
1 / 1配方法求最值—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测b卷）不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（ ）
A．大于等于﹣ B．小于等于﹣
C．有最小值﹣ D．恒大于零
2．（2021七下·曲阳期末）关于式子a2﹣2a+3的说法正确的是（ ）
A．当a＝1时，式子有最大值2 B．当a＝1时，式子有最小值2
C．当a＝﹣1时，式子有最大值2 D．当a＝﹣1时，式子有最小值2
3．（2024七下·邵东期中）不论x，y取任何实数，总有（ ）
A．最大值8 B．最小值8 C．最大值 D．最小值
4．（2024八上·叙州期末）（ ）
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
5．（2023七下·拱墅期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
6．（2023八上·南安期中）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（ ）
A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为
阅卷人 二、填空题
得分
7．（2018八上·硚口期末）关于 的式子 ，当 时，式子有最 值，且这个值为 .
8．（2024七下·西安月考）多项式有最 值为 ．
9．（2023七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
10．（2023八下·渠县期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为 ；
（2）因式分解： ；
（3）用配方法求代数式的最小值；
（4） 拓展应用：
若实数a，b满足，则的最小值为 ．
11．（2021七下·浦江期末）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等.如：求代数式的最值：，在时，取最小值1.
（1）求代数式的最小值.
（2）有最大还最小值，求出其最值.
（3）求的最小值.
12．（2023八上·丰台期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
13．（2020八上·北京期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2=
可得(a+b+c)2=0
（1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
（2）若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
（4）已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x﹣x2﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x2﹣x+ ﹣ ）﹣1=﹣[（x﹣ ）2﹣ ]﹣1=﹣（x﹣ ）2+ ﹣1=﹣（x﹣ ）2﹣
∵（x﹣ ）2≥0
∴﹣（x﹣ ）2≤0
∴﹣（x﹣ ）2﹣ ≤﹣
故答案为：B
【分析】将原式利用完全平方法，写成平方的形式，因为一个数的偶次幂为非负性，可以得出范围。
2．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，
∵（当a＝1时，等号成立），
∴（a﹣1）2+2≥2（当a＝1时，取最小值2），选项B符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用配方法可得a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，再利用可得（a﹣1）2+2≥2，从而得到答案。
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴2023．
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合整式的混合运算进行配方，进而即可求解。
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，先求出p、q，由p+q=6可得a+b=2，继而确定a=P-2，b=q-2，从而得出ab=（P-2）（q-2）=-(p-3)2+1，==，据此分别确定出ab、的最大值与最小值，再判断即可.
6．【答案】D
【知识点】配方法的应用
7．【答案】-3；小；-18
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，式子有最小值，这个值为 ；
故答案为： ，小， ；
【分析】先把 配成完全平方式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解.
8．【答案】大；2
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
9．【答案】；
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵3x2+2x+1=3（x2+x）+1=3（x2+x+-）+1=3（x+）2-+1=3（x+）2+，
又∵3（x+）2≥0， ∴当x=- 13 时多项式3x2+2x+1由最小值.
故答案为：- 13 ，.
【分析】利用配方法将多项式3x2+2x+1变形为3（x+）2+，进而结合偶数次幂的非负性可得当x=- 13 时多项式3x2+2x+1由最小值.
10．【答案】（1）25
（2）
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）3
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵是完全平方式 ，
∴k==25；
故答案为：25.
（2） （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8），
故答案为： ；
（4） ∵，
∴a2-4a-a-b+7=0，
∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+3≥3，
∴的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可；
（2）根据配方法进行因式分解即可；
（3）根据配方法将原式化为 ，根据偶次幂的非负性求解即可；
（4）由可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可.
11．【答案】（1）解：，
∴时，代数式有最小值；
（2）解：，
∴时，代数式有最大值7；
（3）解：，
∴时，代数式有最小值2.
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）对原式进行配方可得x2-4x=(x-2)2-4，结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值；
（2）对原式进行配方可得-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7，结合偶次幂的非负性可得代数式的最大值；
（3）对原式进行配方可得(x-)2+2，结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值.
12．【答案】（1）解：∵
，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）解：∵M是N的“雅常式”，
∴
，
∴，
∴，
∵，且x为实数时，N的最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴M关于N的“雅常值”为2．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据“雅常式”的定义，结合完全平方公式及多项式乘以多项式法则求C-D，即可求出答案.
（2）根据“雅常式”的定义，可得，代入，求出a值，根据题意可得，则b=-1，代入代数式即可求出答案.
（1）∵
，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴
，
∴，
∴，
∵，且x为实数时，N的最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴M关于N的“雅常值”为2．
13．【答案】（1）解：x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
（2）解：p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
（3）解：
∴
∴
∴三角形是等边三角形
（4）3
【知识点】等边三角形的判定；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：(4) 原式
∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
∴原式 =3
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.
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