配方法解不定方程—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021七下·大名期中）已知：，则x+y的值（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
2．（2022七下·西安月考）对于已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（ 配方法的应用）有理数a、b满足a2b2+a2+b2﹣4ab+1=0，则a、b的值分别为（ ）
A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=﹣1
C．a=b=1或a=b=﹣1 D．不能确定
4．已知x、y是实数，，若3x﹣y的值是（ ）
A． B．-7 C．-1 D．-
5．（2021七下·北海期末）定义：对于任意有理数a，b，都满足a b=（a-b）2+4ab，若x2-18x+y2+20y+181=0，则x y=（ ）
A．1 B．-1 C．361 D．-361
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2024七下·汝城期中）已知，则 ．
7．（2022八上·沙坪坝开学考）若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝ ．
8．（2024·七下成都期中） 已知a2+b2+4a+2b+5＝0，则ab＝ ．
9． 若 ， 则 的平方根为
10．（2024八上·万源期末）的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ．
11．（2021八上·铁锋期末）已知等腰三角形两边，，满足，则此等腰三角形的周长为 ．
阅卷人 三、解答题
得分
12．（2018八上·武汉月考）已知 x2＋2x＋y2－10y＋26＝0，求：
（1）x＋2y 的平方根.
（2）2y＋2x 的立方根.
13．已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
14．（2020七上·呼和浩特月考）已知：x2+4x+y2－6y+13=0，求 的值．
15．（2024八下·丰城期中） 若，，是的三条边，且，判断此三角形的形状．
16． 仔细阅读下列解题过程：
若， 求 的值.
解：，
，
，
，
.
根据以上解题过程， 试探究下列问题：
（1）若， 求 的值.
（2）若， 求 的值.
17．（2023八上·济南开学考）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2-2mm+2n2-8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16＝0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）＝0，
∴（m-n）2+（n-4）2＝0，
∴m-n＝0，n-4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-12a-16b+100＝0，求斜边长c的值．
18．（2024八上·江汉期末）已知，实数m，n，t满足．
（1）求m，n，t的值；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．
①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；
②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：化简
即：
，
∴，
，
解得：
，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用配方法将原式变形为
，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
2．【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
.
.
，，
，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用配方法将原式化为，根据偶次幂的非负性求出a、b的值，再代入计算即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2b2+a2+b2﹣4ab+1=0，
∴（a2b2﹣2ab+1）+（a2﹣2ab+b2）=0，
∴（ab﹣1）2+（a﹣b）2=0，
∵（ab﹣1）2≥0，（a﹣b）2≥0，
∴ ，
∴a=b=1或a=b=﹣1
故选C
【分析】利用完全平方公式，可得（a2b2﹣2ab+1）+（a2﹣2ab+b2）=0，利用非负数的性质即可解决问题．
4．【答案】B
【知识点】算术平方根；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式可化为：+（y﹣3）2=0，
则3x+4=0，y﹣3=0，
∴3x=﹣4；y=3；
∴3x﹣y=﹣4﹣3=﹣7．
故选B．
【分析】将后三项因式分解，然后利用非负数的性质求得x、y的值，然后求得代数式的值即可．
5．【答案】A
【知识点】定义新运算；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵x2-18x+y2+20y+181=0，
∴（x-9）2+（y+10）2=0，
∴x-9=0，y+10=0，
∴x=9，y=-10，
∵a b=（a-b）2+4ab=（a+b）2，
∴当x=9，y=-10时，
x y=（9-10）2=1.
故答案为：A.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-9）2+（y+10）2=0，再利用非负数之和为0的性质，可求出x，y的值；利用新定义运算可求出x y的值.
6．【答案】－2
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴
∴m=3，n=-5
∴m+n=3-5=-2
故答案为：-2.
【分析】先将进行配方，得到，再根据几个非负数的和为0，那么各个非负数都为0的原则，可得到m、n的值，即可得到答案.
7．【答案】9
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣6a+9＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，
∴a﹣b＝0，a﹣3＝0，
∴a＝b＝3，
∴a+2b＝9.
故答案为：9.
【分析】利用配方法法及完全平方公式，已知等式可变形为(a-b)2+(a-3)2＝0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a-b＝0，a-3＝0，求出a、b的值，然后代入a+2b中进行计算.
8．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2+4a+2b+5＝0，
∴
解得：
则
故答案为：
【分析】求ab即分别要求出a，b的值，观察式子特点可利用配方法得出进而得出a，b的值，再将其值代入即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）2+（y+3）2=0，
∴x-2=0，y+3=0，
∴x=2，y=-3，
∴2x+y=2×2-3=1，
∴1的平方根是±1，
故答案为：±1.
【分析】先利用配方法将原式变形为（x-2）2+（y+3）2=0，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将其代入计算，最后利用平方根的计算方法分析求解即可.
10．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【解答】∵，
∴（a-3）2+（b-4）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，
解得：a=3，b=4，
∵a2+b2=32+42=25，c2=25，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为： 直角三角形.
【分析】先利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
11．【答案】11或13
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2-6a-10b+34=0，
∴（a2-6a+9）+（b2-10b+25）=0，
∴（a-3）2+（b-5）2=0，
∴a=3，b=5，
∴当腰为3时，等腰三角形的周长为5+3+3=11，
当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+3=13．
故答案为：11或13.
【分析】先求出（a2-6a+9）+（b2-10b+25）=0，再求出a=3，b=5，最后分类讨论求解即可。
12．【答案】（1）解：有题意得：x2＋2x＋y2－10y＋26＝0，
x2＋2x＋1+y2－10y＋25＝0
即: ，
x+1=0;y-5=0,
x=-1；y=5；
x＋2y=9， 9的平方根为3或-3.
（2）解：2y＋2x =8，,8的立方根为2.
【知识点】平方根；立方根及开立方；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项及分组分解法将 x2＋2x＋y2－10y＋26＝0 变形为 ， 根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，即可求出x,y的值，将x,y的值再代入代数式按有理数的混合运算顺序算出结果，最后再求其平方根即可；
（2）将x,y的值再代入代数式按有理数的混合运算顺序算出结果，最后再求其立方根即可。
13．【答案】解：x2 +2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，
整理得(x2+y2-2xy)+(y2-2y+1)+(z2-4z+4)= 0，即(x-y)2+(y-1)2+(z-2)2=0， (x-y)2≥0， (y-1)2≥0，(z-2)2≥0，x-y=0，y-1=0，z-2=0，
解得x=y=1，z=2，则x+y+z= 1+1+2=4．
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】利用配方法把原式化为(x-y)2+(y-1)2+(z-2)2=0，根据偶次幂的非负性求出x、y、z的值，再代入计算即可.
14．【答案】解：原方程可化为:（x+2）2+（y－3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y－3）2=0，
∴x=－2，且y=3，
∴ ．
【知识点】代数式求值；配方法的应用
【解析】【分析】本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x、y的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得： x=－2和y=3，从而可求出后面代数式的值.
15．【答案】解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
即，
∴，，，
∵，即，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【分析】将已知等式利用完全平方公式变形得到(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0，然后利用非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
16．【答案】（1）解：x2-2xy+2y2-2y+1=0，
x2-2xy+y2+y2-2y+1=0，
(x-y)2+(y-1)2=0，
∴ x-y=0，y-1=0，
∴ x=y=1，
∴ x+2y=3.
（2）解：将m=n+4代入mn+t2-8t+20=0，
(n+4)n+t2-8t+20=0，
n2+4n+4+t2-8t+16=0，
∴ (n+2)2+(t-4)2=0，
∴ n+2=0，t-4=0，
∴ n=-2，t=4，
∴ m=2，
∴ n2m-1=(-2)3=-8.
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法可得(x-y)2+(y-1)2=0，利用平方的非负性可得x，y的值，代入代数式即可求得；
（2）将m=n+4代入mn+t2-8t+20=0，根据配方法可得(n+2)2+(t-4)2=0，利用平方的非负性可得m，n的值，代入代数式即可求得.
17．【答案】（1）解：已知等式变形得：（x2+2xy+y2）+（y2-6y+9）＝0，
即（x+y）2+（y-3）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y-3）2≥0，
∴x+y＝0，y-3＝0，
解得：x＝-3，y＝3；
（2）解：已知等式变形得：（a2-12a+36）+（b2-16b+64）＝8，
即（a-6）2+（b-8）2＝0，
∵（a-6）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-6＝0，b-8＝0，
解得：a＝6，b＝8，
∴根据勾股定理得：c＝＝10．
【知识点】勾股定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）利用配方法将原式变形为（x+y）2+（y-3）2＝0，利用非负数之和为0的性质可得x+y＝0，y-3＝0，最后求出x、y的值即可；
（2）利用配方法将原式变形为（a-6）2+（b-8）2＝0，利用非负数之和为0的性质可得a-6＝0，b-8＝0，再求出a、b的值，最后利用勾股定理求出c的值即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
（2）解：①∵点A与B重合，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴B点的坐标为；
②的面积=
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性；配方法的应用；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，
∵∠CBD=45°，∠BED=90°，
∴∠BDE=∠CBD=45°，
∴BE=DE，
∵∠OBC+∠BCO=90°，∠OBC+∠BGE=90°，
∴∠BCO=∠BGE=∠DCE，
∵∠BEG=∠DEC=90°，
∴△BEG≌△DEC（AAS），
∴EG=EC，
∵∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，
∴∠OBC=∠ADO，
∵∠OBC+∠BGE=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠BGE=∠OAD，
∴AD=GD=n=8，
设DE=BE=x，
又BC=t=2，
∵GE=CE，
∴DG-DE=BE-BC，
∴8-x=x-2，
∴x=5，即DE=5，
∴S△BCD=BC×DE=×2×5=5.
【分析】（1）利用配方的方法可将原式变形为(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0，根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出m、n、t得值；
（2）①由同角的补角相等可得∠BCO=∠OBD，结合角的和差及三角形外角性质可得∠OBC=∠BDO，结合∠CBD=45°及直角三角形的量锐角互余可得∠OBC=∠BDO=22.5°；过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，交y轴于点C，如图，易得△BED是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等推出∠GBE=∠CDE，从而用ASA判断出△BEG≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得CD=BG=6，再用ASA判断出△BOD≌△GOD，得出BO=OG=BG=3，从而得到点B的坐标；
②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，易得△BDE是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等及对顶角相等得∠BCO=∠BGE=∠DCE，从而可用AAS判断出△BEG≌△DEC，得EG=EC，由三角形外角和、内角和及∠BCD+∠DAO=180°，可推出∠OBC=∠ADO，由等角的余角相等得∠BGE=∠OAD，由等角对等边得AD=GD=n=8，设DE=BE=x，又BC=t=2，结合GE=CE，由线段的和差可列出方程8-x=x-2，求解得出DE的长，进而根据三角形的面积计算公式计算可得答案.
1 / 1配方法解不定方程—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021七下·大名期中）已知：，则x+y的值（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：化简
即：
，
∴，
，
解得：
，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用配方法将原式变形为
，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
2．（2022七下·西安月考）对于已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
.
.
，，
，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用配方法将原式化为，根据偶次幂的非负性求出a、b的值，再代入计算即可.
3．（ 配方法的应用）有理数a、b满足a2b2+a2+b2﹣4ab+1=0，则a、b的值分别为（ ）
A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=﹣1
C．a=b=1或a=b=﹣1 D．不能确定
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2b2+a2+b2﹣4ab+1=0，
∴（a2b2﹣2ab+1）+（a2﹣2ab+b2）=0，
∴（ab﹣1）2+（a﹣b）2=0，
∵（ab﹣1）2≥0，（a﹣b）2≥0，
∴ ，
∴a=b=1或a=b=﹣1
故选C
【分析】利用完全平方公式，可得（a2b2﹣2ab+1）+（a2﹣2ab+b2）=0，利用非负数的性质即可解决问题．
4．已知x、y是实数，，若3x﹣y的值是（ ）
A． B．-7 C．-1 D．-
【答案】B
【知识点】算术平方根；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式可化为：+（y﹣3）2=0，
则3x+4=0，y﹣3=0，
∴3x=﹣4；y=3；
∴3x﹣y=﹣4﹣3=﹣7．
故选B．
【分析】将后三项因式分解，然后利用非负数的性质求得x、y的值，然后求得代数式的值即可．
5．（2021七下·北海期末）定义：对于任意有理数a，b，都满足a b=（a-b）2+4ab，若x2-18x+y2+20y+181=0，则x y=（ ）
A．1 B．-1 C．361 D．-361
【答案】A
【知识点】定义新运算；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵x2-18x+y2+20y+181=0，
∴（x-9）2+（y+10）2=0，
∴x-9=0，y+10=0，
∴x=9，y=-10，
∵a b=（a-b）2+4ab=（a+b）2，
∴当x=9，y=-10时，
x y=（9-10）2=1.
故答案为：A.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-9）2+（y+10）2=0，再利用非负数之和为0的性质，可求出x，y的值；利用新定义运算可求出x y的值.
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2024七下·汝城期中）已知，则 ．
【答案】－2
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴
∴m=3，n=-5
∴m+n=3-5=-2
故答案为：-2.
【分析】先将进行配方，得到，再根据几个非负数的和为0，那么各个非负数都为0的原则，可得到m、n的值，即可得到答案.
7．（2022八上·沙坪坝开学考）若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝ ．
【答案】9
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣6a+9＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，
∴a﹣b＝0，a﹣3＝0，
∴a＝b＝3，
∴a+2b＝9.
故答案为：9.
【分析】利用配方法法及完全平方公式，已知等式可变形为(a-b)2+(a-3)2＝0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a-b＝0，a-3＝0，求出a、b的值，然后代入a+2b中进行计算.
8．（2024·七下成都期中） 已知a2+b2+4a+2b+5＝0，则ab＝ ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2+4a+2b+5＝0，
∴
解得：
则
故答案为：
【分析】求ab即分别要求出a，b的值，观察式子特点可利用配方法得出进而得出a，b的值，再将其值代入即可得出答案。
9． 若 ， 则 的平方根为
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）2+（y+3）2=0，
∴x-2=0，y+3=0，
∴x=2，y=-3，
∴2x+y=2×2-3=1，
∴1的平方根是±1，
故答案为：±1.
【分析】先利用配方法将原式变形为（x-2）2+（y+3）2=0，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将其代入计算，最后利用平方根的计算方法分析求解即可.
10．（2024八上·万源期末）的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【解答】∵，
∴（a-3）2+（b-4）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，
解得：a=3，b=4，
∵a2+b2=32+42=25，c2=25，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为： 直角三角形.
【分析】先利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
11．（2021八上·铁锋期末）已知等腰三角形两边，，满足，则此等腰三角形的周长为 ．
【答案】11或13
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2-6a-10b+34=0，
∴（a2-6a+9）+（b2-10b+25）=0，
∴（a-3）2+（b-5）2=0，
∴a=3，b=5，
∴当腰为3时，等腰三角形的周长为5+3+3=11，
当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+3=13．
故答案为：11或13.
【分析】先求出（a2-6a+9）+（b2-10b+25）=0，再求出a=3，b=5，最后分类讨论求解即可。
阅卷人 三、解答题
得分
12．（2018八上·武汉月考）已知 x2＋2x＋y2－10y＋26＝0，求：
（1）x＋2y 的平方根.
（2）2y＋2x 的立方根.
【答案】（1）解：有题意得：x2＋2x＋y2－10y＋26＝0，
x2＋2x＋1+y2－10y＋25＝0
即: ，
x+1=0;y-5=0,
x=-1；y=5；
x＋2y=9， 9的平方根为3或-3.
（2）解：2y＋2x =8，,8的立方根为2.
【知识点】平方根；立方根及开立方；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项及分组分解法将 x2＋2x＋y2－10y＋26＝0 变形为 ， 根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，即可求出x,y的值，将x,y的值再代入代数式按有理数的混合运算顺序算出结果，最后再求其平方根即可；
（2）将x,y的值再代入代数式按有理数的混合运算顺序算出结果，最后再求其立方根即可。
13．已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】解：x2 +2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，
整理得(x2+y2-2xy)+(y2-2y+1)+(z2-4z+4)= 0，即(x-y)2+(y-1)2+(z-2)2=0， (x-y)2≥0， (y-1)2≥0，(z-2)2≥0，x-y=0，y-1=0，z-2=0，
解得x=y=1，z=2，则x+y+z= 1+1+2=4．
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】利用配方法把原式化为(x-y)2+(y-1)2+(z-2)2=0，根据偶次幂的非负性求出x、y、z的值，再代入计算即可.
14．（2020七上·呼和浩特月考）已知：x2+4x+y2－6y+13=0，求 的值．
【答案】解：原方程可化为:（x+2）2+（y－3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y－3）2=0，
∴x=－2，且y=3，
∴ ．
【知识点】代数式求值；配方法的应用
【解析】【分析】本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x、y的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得： x=－2和y=3，从而可求出后面代数式的值.
15．（2024八下·丰城期中） 若，，是的三条边，且，判断此三角形的形状．
【答案】解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
即，
∴，，，
∵，即，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【分析】将已知等式利用完全平方公式变形得到(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0，然后利用非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
16． 仔细阅读下列解题过程：
若， 求 的值.
解：，
，
，
，
.
根据以上解题过程， 试探究下列问题：
（1）若， 求 的值.
（2）若， 求 的值.
【答案】（1）解：x2-2xy+2y2-2y+1=0，
x2-2xy+y2+y2-2y+1=0，
(x-y)2+(y-1)2=0，
∴ x-y=0，y-1=0，
∴ x=y=1，
∴ x+2y=3.
（2）解：将m=n+4代入mn+t2-8t+20=0，
(n+4)n+t2-8t+20=0，
n2+4n+4+t2-8t+16=0，
∴ (n+2)2+(t-4)2=0，
∴ n+2=0，t-4=0，
∴ n=-2，t=4，
∴ m=2，
∴ n2m-1=(-2)3=-8.
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法可得(x-y)2+(y-1)2=0，利用平方的非负性可得x，y的值，代入代数式即可求得；
（2）将m=n+4代入mn+t2-8t+20=0，根据配方法可得(n+2)2+(t-4)2=0，利用平方的非负性可得m，n的值，代入代数式即可求得.
17．（2023八上·济南开学考）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2-2mm+2n2-8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16＝0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）＝0，
∴（m-n）2+（n-4）2＝0，
∴m-n＝0，n-4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-12a-16b+100＝0，求斜边长c的值．
【答案】（1）解：已知等式变形得：（x2+2xy+y2）+（y2-6y+9）＝0，
即（x+y）2+（y-3）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y-3）2≥0，
∴x+y＝0，y-3＝0，
解得：x＝-3，y＝3；
（2）解：已知等式变形得：（a2-12a+36）+（b2-16b+64）＝8，
即（a-6）2+（b-8）2＝0，
∵（a-6）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-6＝0，b-8＝0，
解得：a＝6，b＝8，
∴根据勾股定理得：c＝＝10．
【知识点】勾股定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）利用配方法将原式变形为（x+y）2+（y-3）2＝0，利用非负数之和为0的性质可得x+y＝0，y-3＝0，最后求出x、y的值即可；
（2）利用配方法将原式变形为（a-6）2+（b-8）2＝0，利用非负数之和为0的性质可得a-6＝0，b-8＝0，再求出a、b的值，最后利用勾股定理求出c的值即可.
18．（2024八上·江汉期末）已知，实数m，n，t满足．
（1）求m，n，t的值；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．
①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；
②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
（2）解：①∵点A与B重合，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴B点的坐标为；
②的面积=
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性；配方法的应用；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，
∵∠CBD=45°，∠BED=90°，
∴∠BDE=∠CBD=45°，
∴BE=DE，
∵∠OBC+∠BCO=90°，∠OBC+∠BGE=90°，
∴∠BCO=∠BGE=∠DCE，
∵∠BEG=∠DEC=90°，
∴△BEG≌△DEC（AAS），
∴EG=EC，
∵∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，
∴∠OBC=∠ADO，
∵∠OBC+∠BGE=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠BGE=∠OAD，
∴AD=GD=n=8，
设DE=BE=x，
又BC=t=2，
∵GE=CE，
∴DG-DE=BE-BC，
∴8-x=x-2，
∴x=5，即DE=5，
∴S△BCD=BC×DE=×2×5=5.
【分析】（1）利用配方的方法可将原式变形为(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0，根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出m、n、t得值；
（2）①由同角的补角相等可得∠BCO=∠OBD，结合角的和差及三角形外角性质可得∠OBC=∠BDO，结合∠CBD=45°及直角三角形的量锐角互余可得∠OBC=∠BDO=22.5°；过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，交y轴于点C，如图，易得△BED是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等推出∠GBE=∠CDE，从而用ASA判断出△BEG≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得CD=BG=6，再用ASA判断出△BOD≌△GOD，得出BO=OG=BG=3，从而得到点B的坐标；
②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，易得△BDE是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等及对顶角相等得∠BCO=∠BGE=∠DCE，从而可用AAS判断出△BEG≌△DEC，得EG=EC，由三角形外角和、内角和及∠BCD+∠DAO=180°，可推出∠OBC=∠ADO，由等角的余角相等得∠BGE=∠OAD，由等角对等边得AD=GD=n=8，设DE=BE=x，又BC=t=2，结合GE=CE，由线段的和差可列出方程8-x=x-2，求解得出DE的长，进而根据三角形的面积计算公式计算可得答案.
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