1/2公式配方—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·湖北期末）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
阅卷人 二、填空题
得分
3．（2022七下·竞赛）若，则 ．
4．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
5．（2023八上·新会期中）已知，，，且，则 ．
阅卷人 三、解答题
得分
6．（乘法公式）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
7．（2023八上·临汾期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若，你能很快求出的值吗
8．（2020八上·北京期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2=
可得(a+b+c)2=0
（1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
（2）若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
（4）已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，
，
又
=
=，
=
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出，再将代数式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca变形为，最后将代入计算即可.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
3．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；竞赛类试题；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：原式=[2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+(c2-2ca+a2)]
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
又∵a=202，0，b=2021，c=2022，
∴原式=[(2020-2021)2+（2021-2022）2+（2022-2020）2]
=（1+1+4）=3.
故答案为：3.
【分析】由题意将所求代数式各项乘以2，然后根据完全平方公式可将原式化为[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，然后把a、b、c的值代入计算即可求解.
4．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
5．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵①，②，③，
∴①-②，
∵
∴，即，，，
∴
故答案为：．
【分析】利用已知等式相减分别求出，结合，可得，根据，然后整体代入计算即可求解．
6．【答案】解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
= [2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca]
= [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ac+a2）]
= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
∵a=2011，b=2012，c=2013，
∴原式= [（2011﹣2012）2+（2012﹣2013）2+（2013﹣2011）2]=3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】首先将原式运用分组分解法进行因式分解后代入已知数据即可．
7．【答案】（1）解：
．
∴
（2）解：由（1）得，．
当时，
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的计算方法展开计算即可；
（2）利用题干中的计算方法将a、b、c的值代入计算即可.
8．【答案】（1）解：x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
（2）解：p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
（3）解：
∴
∴
∴三角形是等边三角形
（4）3
【知识点】等边三角形的判定；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：(4) 原式
∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
∴原式 =3
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.
1 / 11/2公式配方—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·湖北期末）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，
，
又
=
=，
=
=3．
故答案为：D．
【分析】先求出，再将代数式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca变形为，最后将代入计算即可.
2．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
阅卷人 二、填空题
得分
3．（2022七下·竞赛）若，则 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；竞赛类试题；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：原式=[2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+(c2-2ca+a2)]
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
又∵a=202，0，b=2021，c=2022，
∴原式=[(2020-2021)2+（2021-2022）2+（2022-2020）2]
=（1+1+4）=3.
故答案为：3.
【分析】由题意将所求代数式各项乘以2，然后根据完全平方公式可将原式化为[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，然后把a、b、c的值代入计算即可求解.
4．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
5．（2023八上·新会期中）已知，，，且，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵①，②，③，
∴①-②，
∵
∴，即，，，
∴
故答案为：．
【分析】利用已知等式相减分别求出，结合，可得，根据，然后整体代入计算即可求解．
阅卷人 三、解答题
得分
6．（乘法公式）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
【答案】解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
= [2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca]
= [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ac+a2）]
= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
∵a=2011，b=2012，c=2013，
∴原式= [（2011﹣2012）2+（2012﹣2013）2+（2013﹣2011）2]=3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】首先将原式运用分组分解法进行因式分解后代入已知数据即可．
7．（2023八上·临汾期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若，你能很快求出的值吗
【答案】（1）解：
．
∴
（2）解：由（1）得，．
当时，
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的计算方法展开计算即可；
（2）利用题干中的计算方法将a、b、c的值代入计算即可.
8．（2020八上·北京期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2=
可得(a+b+c)2=0
（1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
（2）若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
（4）已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
【答案】（1）解：x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
（2）解：p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
（3）解：
∴
∴
∴三角形是等边三角形
（4）3
【知识点】等边三角形的判定；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：(4) 原式
∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
∴原式 =3
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.
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