提公式法和公式法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．（2024八上·临洮月考）6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
应提取的公因式是3x2y2 ，
故答案为：D.
【分析】根据提公因式因式分解：分别找到系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可求解.
2．（2019八上·台州期末）把多项式(m+1)(m－1)+(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： (m+1)(m－1)+(m－1)= (m－1)（ m+2 ）；
故答案为：D。
【分析】提出各项的公因式 (m－1) 后，第一项剩下的商式是（m+1），第二项剩下的商式是1，将各项剩下的商式相加的和作为另一个因式。
3．（2021八上·虎林期末）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、2x2-xy-x=x（2x-y-1），故此选项不符合题意；
B、-x2+2xy-3y=-y（xy-2x+3），故此选项不符合题意；
C、x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2，故此选项符合题意；
D、x2-x-3无法因式分解，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义及提公因式法逐项判断即可。
4．（2021八上·沂源期中）下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A －a2+ab－ac=－a(a-b+c) ，故本选项不符合题意；
B 9xyz－6x2y2=3xy(3z－2xy)，故本选项不符合题意；
C 3a2x－6bx+3x=3x(a2－2b+1)，故本选项不符合题意；
D ，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提取公因式的方法因式分解逐项判断即可。
5．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
6．（2024八上·岳阳开学考）下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）和因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）逐个分析求解即可.
7．（2024八上·丰城开学考）将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：D．
【分析】将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解.
8．（2019八上·沛县期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接利用公式法分解因式得出答案.
9．（2024八上·长沙月考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】 利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
10．（2022八上·德惠期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式因式分解即可。
11．（2018八上·双城期末）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
12．（2023八上·武汉月考）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ．
【答案】±10
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵可以用完全平方公式来分解因式，
∴m=10.
故答案为：±10.
【分析】完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，据此解答即可.
13．（2024八上·东莞期中）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用平方差公式（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可.
（2）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用完全平方公式（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解；
．
14．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
15．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
阅卷人 二、能力提升
得分
16．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
17．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
阅卷人 三、拓展创新
得分
18．（2022八上·高青期中）探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
； ； ；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 ．
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．
（4）解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：验证结论：可用x2＋4x＋4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴．
（4）解：根据题意可得：
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）；
；
．
故答案为：；；．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）根据（1）的计算结果可得；
（3）利用特殊值法判断即可；
（4）根据（2）的结论可得，再求出即可。
1 / 1提公式法和公式法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．（2024八上·临洮月考）6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2
2．（2019八上·台州期末）把多项式(m+1)(m－1)+(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
3．（2021八上·虎林期末）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·沂源期中）下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
6．（2024八上·岳阳开学考）下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
7．（2024八上·丰城开学考）将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八上·沛县期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
9．（2024八上·长沙月考）因式分解： ．
10．（2022八上·德惠期末）分解因式： ．
11．（2018八上·双城期末）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 ．
12．（2023八上·武汉月考）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ．
13．（2024八上·东莞期中）分解因式：
（1）
（2）
14．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
15．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
阅卷人 二、能力提升
得分
16．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
阅卷人 三、拓展创新
得分
18．（2022八上·高青期中）探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
； ； ；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 ．
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．
（4）解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
应提取的公因式是3x2y2 ，
故答案为：D.
【分析】根据提公因式因式分解：分别找到系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： (m+1)(m－1)+(m－1)= (m－1)（ m+2 ）；
故答案为：D。
【分析】提出各项的公因式 (m－1) 后，第一项剩下的商式是（m+1），第二项剩下的商式是1，将各项剩下的商式相加的和作为另一个因式。
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、2x2-xy-x=x（2x-y-1），故此选项不符合题意；
B、-x2+2xy-3y=-y（xy-2x+3），故此选项不符合题意；
C、x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2，故此选项符合题意；
D、x2-x-3无法因式分解，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义及提公因式法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A －a2+ab－ac=－a(a-b+c) ，故本选项不符合题意；
B 9xyz－6x2y2=3xy(3z－2xy)，故本选项不符合题意；
C 3a2x－6bx+3x=3x(a2－2b+1)，故本选项不符合题意；
D ，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提取公因式的方法因式分解逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）和因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）逐个分析求解即可.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：D．
【分析】将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解.
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接利用公式法分解因式得出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】 利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式因式分解即可。
11．【答案】a（x+y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
12．【答案】±10
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵可以用完全平方公式来分解因式，
∴m=10.
故答案为：±10.
【分析】完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，据此解答即可.
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用平方差公式（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可.
（2）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用完全平方公式（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解；
．
14．【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
15．【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
16．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
17．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
18．【答案】（1）；；
（2）
（3）解：验证结论：可用x2＋4x＋4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴．
（4）解：根据题意可得：
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）；
；
．
故答案为：；；．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）根据（1）的计算结果可得；
（3）利用特殊值法判断即可；
（4）根据（2）的结论可得，再求出即可。
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