分组分解法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．把多项式 分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
=（ab+b）+（a+1）
=b（a+1）+(a+1)
=（a+1）（1+b）
故答案为：B.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
2．把 因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】 解：
故答案为：D
【分析】先将后三项结合，利用完全平方公式分解因式，再对整体利用平方差公式分解因式.
3．用分组分解法将 分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：A、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 2x）＋（2y xy）＝x（x 2） y（x 2）＝（x 2）（x y），∴A分组正确，∴A不符合题意．
B、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 xy）＋（2y 2x）＝（x2 xy） （2x 2y）＝x（x y） 2（x y）＝（x y）（x 2），∴B分组正确，∴B不符合题意．
C、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2＋2y）＋（ xy 2x）无法进行分组分解，∴C分组错误，∴C符合题意．
D、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 2x） （xy 2y）＝x（x 2） y（x 2）＝（x 2）（x y），∴D分组正确，∴D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
4．（2022七上·芷江月考）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】此题采用分组分解法，首先将原式进行“一三”分组，进而将三项那一组利用完全平方公式分解因式，进而再利用平方差公式继续分解即可.
5．将多项式 分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式＝（x2 y2）＋（3x 3y）
＝（x＋y）（x y）＋3（x y）
＝（x y）（x＋y＋3），
故答案为：A.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
6．因式分解 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式＝（a3＋a2b） （ab2＋b3）
＝a2（a＋b） b2（a＋b）
＝（a2 b2）（a＋b）
＝（a b）（a＋b）（a＋b）
＝（a b）（a＋b）2
故答案为：B.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
7．（2024八上·青秀月考）因式分解： .
【答案】x（y-3）（y+3）
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： xy2-9x=x（y2-9）=x（y2-32）=x（y-3）（y+3）；
故答案为：x（y-3）（y+3）.
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可.
8．（2020八上·新乡期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
故答案为：（ab-1）（a+b）
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可.
9．因式分解：
【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
=（x+3y）（x+6y）-3（x+3y）
=
故答案为：.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
10．（2023八上·平潭月考）多项式的最小值为 ．
【答案】-6
【知识点】因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=
=
∵
∴原式的最小值为：-6，
故答案为：-6.
【分析】利用分组法和配方法对原式化简，最后根据平方的非负性即可求解.
11．（2022七上·长沙开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则以及完全平方公式将原式展开并合并，进而再利用完全平方公式分解因式，接着将底数利用分组分解法分解因式即可.
12．用分组分解法分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先利用二二分组法将多项式的前两项及后两项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法因式分解，最后组间再利用提取公因式法分解因式即可；
（2）先利用三一分组法将多项式的前三项及后一项分别分为一组，第一组利用完全平方公式分解因式，组间再利用平方差公式分解因式即可.
13．（2023八上·潮南期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）【类比】请用分组分解法将因式分解；
（2）【挑战】请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
当，时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组法将原式分组为，然后利用平方差公式和提公因式法即可求解；
（2）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可求解；
（3）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可得到原式为：，最后将 ，代入计算即可.
14． 下图是一道例题及部分解答过程， 其中 是两个关于 的多项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程， 完成下列问题：
（1） 直接写出多项式 和 ， 并求出该例题的运算结果．
（2）求多项式 与 的平方差．
【答案】（1）解：，
原式 ．
（2）解：
=
=
【知识点】因式分解-分组分解法；合并同类项法则及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）∵4x-6y-6x-9y=(4x-6y)-(6x+9y)=2(2x-3y)-3(2x+3y
∴A=2x-3y，B=2x+3y；
原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y；
【分析】（1）对前两项分为一组，后两项分为另一组，每组内分别利用提取公因式法进行因式分解，得到2(2x-3y)-3(2x+3y)，则得到多项式A、B，并对合并同类项即可；
（2）将（1）得到的多项式A、B运用平方差公式计算即可.
阅卷人 二、能力提升
得分
15．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
16．（2022八上·威远期中）已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵x2-xy-xz+yz=23，
∴x（x-y）-z（x-y）=23
∴（x-y）（x-z）=23，
∵x，y，z为正整数，x＞y，
∴x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，
∴x-y=1，x-z=23或x-y=23，x-z=1.
故答案为：B
【分析】利用分组分解法和提公因式法将等式的右边分解因式，可得到（x-y）（x-z）=23，再根据x，y，z为正整数，x＞y，可知x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，由此可求出x-z的值.
17．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
【答案】B
【知识点】解分式方程；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】首先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，再整理成方程的一边为零的形式，进而利用分组分解法将方程的一边分解因式，根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，可得a+b=0或b+c=0或a+c=0，最后根据相反数的意义可得答案.
18．（2021八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴ 或 ，
当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故答案为：A．
【分析】利用分组分解因式的方法将化为，可得 或 ，再利用三角形三边的关系求解即可。
19． 计算 的结果为 .
【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：=，
=，
=，
=，
=.
故答案为：.
【分析】先把分数的分子分母分别分段分解因式，再约分即可得到结果.
20．（2022八上·蓬莱期中）有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如．根据上面的方法因式分解：
（1）；
（2）．
（3）已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：等腰三角形，理由如下：
∴
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将含有x的分为一组，含y的分为一组，再提取公因式解答即可；
（2）先将代数式分组得出原式，再提取公因式解答即可；
（3）由a，b，c是的三边，且满足，化简得出三边的关系，从而判断三角形的形状。
阅卷人 三、拓展创新
得分
21．若一个整数能表示成 是正整数) 的形式，则称这个数为 “丰利数”．例．如： 2 是 “丰利数”， 因为 ； 再．如， 是正整数)， 所以 也是 “丰利数”．
（1）请写一个最小的三位 “丰利数”是 ，并判断 20 “丰利数” (填“是”或“不是”)；
（2） 已知 是整数， 是常数)， 要使 为 “丰利数”， 试求出符合条件的一个 值 ， 并说明理由．
【答案】（1）100；是
（2）解：原式 ，
当 是正整数的平方时， 为零时， 是 “丰利数”，
故 的一个值可以是 10．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1），
最小的三位 丰利数是 100，
能表示成两个正整数平方和的形式，
20是丰利数，
故填：100，是；
【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“丰利数”是解题的关键．
（1）根据丰利数的定义解答即可；
（2）将原式变形为，根据丰利数的定义，得到 为0时，即可解答．
1 / 1分组分解法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．把多项式 分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．把 因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用分组分解法将 分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七上·芷江月考）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
5．将多项式 分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
6．因式分解 的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·青秀月考）因式分解： .
8．（2020八上·新乡期末）分解因式： .
9．因式分解：
10．（2023八上·平潭月考）多项式的最小值为 ．
11．（2022七上·长沙开学考）分解因式： ．
12．用分组分解法分解因式：
（1） ．
（2） ．
13．（2023八上·潮南期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）【类比】请用分组分解法将因式分解；
（2）【挑战】请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
14． 下图是一道例题及部分解答过程， 其中 是两个关于 的多项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程， 完成下列问题：
（1） 直接写出多项式 和 ， 并求出该例题的运算结果．
（2）求多项式 与 的平方差．
阅卷人 二、能力提升
得分
15．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
16．（2022八上·威远期中）已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
17．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
18．（2021八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
19． 计算 的结果为 .
20．（2022八上·蓬莱期中）有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如．根据上面的方法因式分解：
（1）；
（2）．
（3）已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
阅卷人 三、拓展创新
得分
21．若一个整数能表示成 是正整数) 的形式，则称这个数为 “丰利数”．例．如： 2 是 “丰利数”， 因为 ； 再．如， 是正整数)， 所以 也是 “丰利数”．
（1）请写一个最小的三位 “丰利数”是 ，并判断 20 “丰利数” (填“是”或“不是”)；
（2） 已知 是整数， 是常数)， 要使 为 “丰利数”， 试求出符合条件的一个 值 ， 并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
=（ab+b）+（a+1）
=b（a+1）+(a+1)
=（a+1）（1+b）
故答案为：B.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】 解：
故答案为：D
【分析】先将后三项结合，利用完全平方公式分解因式，再对整体利用平方差公式分解因式.
3．【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：A、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 2x）＋（2y xy）＝x（x 2） y（x 2）＝（x 2）（x y），∴A分组正确，∴A不符合题意．
B、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 xy）＋（2y 2x）＝（x2 xy） （2x 2y）＝x（x y） 2（x y）＝（x y）（x 2），∴B分组正确，∴B不符合题意．
C、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2＋2y）＋（ xy 2x）无法进行分组分解，∴C分组错误，∴C符合题意．
D、∵x2 xy＋2y 2x＝（x2 2x） （xy 2y）＝x（x 2） y（x 2）＝（x 2）（x y），∴D分组正确，∴D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】此题采用分组分解法，首先将原式进行“一三”分组，进而将三项那一组利用完全平方公式分解因式，进而再利用平方差公式继续分解即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式＝（x2 y2）＋（3x 3y）
＝（x＋y）（x y）＋3（x y）
＝（x y）（x＋y＋3），
故答案为：A.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式＝（a3＋a2b） （ab2＋b3）
＝a2（a＋b） b2（a＋b）
＝（a2 b2）（a＋b）
＝（a b）（a＋b）（a＋b）
＝（a b）（a＋b）2
故答案为：B.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
7．【答案】x（y-3）（y+3）
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： xy2-9x=x（y2-9）=x（y2-32）=x（y-3）（y+3）；
故答案为：x（y-3）（y+3）.
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
故答案为：（ab-1）（a+b）
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
=（x+3y）（x+6y）-3（x+3y）
=
故答案为：.
【分析】利用分组分解因式的计算方法及步骤（ 分组分解因式的步骤主要包括：观察、分组、提取公因式或利用公式、验证）分析求解即可.
10．【答案】-6
【知识点】因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=
=
∵
∴原式的最小值为：-6，
故答案为：-6.
【分析】利用分组法和配方法对原式化简，最后根据平方的非负性即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则以及完全平方公式将原式展开并合并，进而再利用完全平方公式分解因式，接着将底数利用分组分解法分解因式即可.
12．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先利用二二分组法将多项式的前两项及后两项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法因式分解，最后组间再利用提取公因式法分解因式即可；
（2）先利用三一分组法将多项式的前三项及后一项分别分为一组，第一组利用完全平方公式分解因式，组间再利用平方差公式分解因式即可.
13．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
当，时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组法将原式分组为，然后利用平方差公式和提公因式法即可求解；
（2）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可求解；
（3）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可得到原式为：，最后将 ，代入计算即可.
14．【答案】（1）解：，
原式 ．
（2）解：
=
=
【知识点】因式分解-分组分解法；合并同类项法则及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）∵4x-6y-6x-9y=(4x-6y)-(6x+9y)=2(2x-3y)-3(2x+3y
∴A=2x-3y，B=2x+3y；
原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y；
【分析】（1）对前两项分为一组，后两项分为另一组，每组内分别利用提取公因式法进行因式分解，得到2(2x-3y)-3(2x+3y)，则得到多项式A、B，并对合并同类项即可；
（2）将（1）得到的多项式A、B运用平方差公式计算即可.
15．【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
16．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵x2-xy-xz+yz=23，
∴x（x-y）-z（x-y）=23
∴（x-y）（x-z）=23，
∵x，y，z为正整数，x＞y，
∴x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，
∴x-y=1，x-z=23或x-y=23，x-z=1.
故答案为：B
【分析】利用分组分解法和提公因式法将等式的右边分解因式，可得到（x-y）（x-z）=23，再根据x，y，z为正整数，x＞y，可知x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，由此可求出x-z的值.
17．【答案】B
【知识点】解分式方程；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】首先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，再整理成方程的一边为零的形式，进而利用分组分解法将方程的一边分解因式，根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，可得a+b=0或b+c=0或a+c=0，最后根据相反数的意义可得答案.
18．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴ 或 ，
当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故答案为：A．
【分析】利用分组分解因式的方法将化为，可得 或 ，再利用三角形三边的关系求解即可。
19．【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：=，
=，
=，
=，
=.
故答案为：.
【分析】先把分数的分子分母分别分段分解因式，再约分即可得到结果.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：等腰三角形，理由如下：
∴
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将含有x的分为一组，含y的分为一组，再提取公因式解答即可；
（2）先将代数式分组得出原式，再提取公因式解答即可；
（3）由a，b，c是的三边，且满足，化简得出三边的关系，从而判断三角形的形状。
21．【答案】（1）100；是
（2）解：原式 ，
当 是正整数的平方时， 为零时， 是 “丰利数”，
故 的一个值可以是 10．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1），
最小的三位 丰利数是 100，
能表示成两个正整数平方和的形式，
20是丰利数，
故填：100，是；
【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“丰利数”是解题的关键．
（1）根据丰利数的定义解答即可；
（2）将原式变形为，根据丰利数的定义，得到 为0时，即可解答．
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