第2讲 整式与因式分解 2025年中考数学专题复习课件(共28张PPT)（湖南）

(共28张PPT)
第2讲 整式与因式分解
目录
CONTENTS
课标要求 作业目标
1
教材整合 核心归纳
2
重点精讲 变式探究
3
课标要求 作业目标
01
第一单元 第2讲
课标要求 作业目标
整式的加减 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示，并会把具体数代入代数式求值.掌握单项式、多项式的相关概念，并能根据运算法则进行同类项的合并及相关的四则运算. 知道单项式的概念，会辨别单项式，能确定单项式的系数和次数
知道同类项的概念，能辨别几个单项式是否是同类项
掌握合并同类项的法则，会运用法则，并把单项式按某个字幕的升（降）幂排列
掌握去括号的规律，能运用规律进行整式的加减运算
掌握整式加减的运算法则，能运用法则进行整式的加减运算，并根据字母的值求整式的值
要求与目标
知道多项式和整式的概念，会辨别多项式和整式，能确定多项式的项数、次数和常数项
课标要求 作业目标
整式的乘法与因式分解 掌握幂的相关运算.理解零次幂的概念.掌握单项式、多项式之间的运算法则.熟练运用乘法公式进行相关的计算.了解完全平方公式和平方差格式的几何意义.掌握因式分解的方法，理解乘法公式在因式分解中的作用.了解代数和几何之间的转化关系，体会数与形之间的结合与变换规律. 理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的概念，掌握三种幂的运算性质，能熟练地运用性质进行运算
掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则，能正确、熟练地运用法则进行运算
理解同底数幂相除的概念，掌握同底数幂相除的法则，能熟练地进行同底数幂相除的运算
理解零次幂的底数不为零的意义
了解平方差公式的几何意义,掌握公式的结构特征，能正确运用公式进行运算
了解完全平方公式的几何意义，掌握公式的结构特征，能正确运用公式进行计算
课标要求 作业目标
整式的乘法与因式分解 掌握幂的相关运算.理解零次幂的概念.掌握单项式、多项式之间的运算法则.熟练运用乘法公式进行相关的计算.了解完全平方公式和平方差格式的几何意义.掌握因式分解的方法，理解乘法公式在因式分解中的作用.了解代数和几何之间的转化关系，体会数与形之间的结合与变换规律. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，能灵活运用运算律和乘法公式进行简便运算
知道因式分解与整式乘法之间的联系，感受因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形
能识别多项式的公因式，并能正确用提公因式法分解因式
理解整式乘法公式在因式分解中的作用，掌握用公式法分解因式
了解因式分解的一般步骤，能够熟练运用提公因式法和公式法进行多项式的分解因式
教材整合 核心归纳
02
第一单元 第2讲
1. （2024·深圳）下列运算正确的是（　B　）
A. (－m3)2＝－m5 B. m2n·m＝m3n
C. 3mn－m＝3n D. (m－1)2＝m2－1
2. （2024·河南）请写出2m的一个同类项： .
B
m(答案不唯一)
3. 因式分解：a2－7a＝ ；
x2＋2x＋1＝ ；
(a＋1)2－4＝ .
a(a－7)　
(x＋1)2
(a＋3)(a－1)　
以题理知
4. 已知一串式子M：2a2b，－3ab2，a2bc，－2b＋a2， x2y，
x3－2x－8，将其分别填在下面考点中对应的横线上.
判断下列代数式是否符合书
写要求：
①1 xy（　×　）；
②ab÷c2（　×　）.
列代数式 关键是找出问题中的数量关系及公式，再列代数式
代数式求值 （1）直接代入法，如：已知
a＝1，则a－1的值为 ；
（2）整体代入法，如：已知
a－b＝2，则2a－2b的值为___
0　
4　
×
×
考点清单
考点 　代数式及其求值
整式 式子串M中单项式有：
； x2y的系数为 　 　，次数为
式子串M中多项式有： ；
x3－2x－8是 次 项式，它的每一项分别是 ，二次项的系数为
同类
项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同.式子串M中－a2b的同类项有
2a2b，－3ab2，a2bc，
x2y　
　
3　
－2b＋a2，x3－2x－8
三　
三　
x3，－2x，－8　
0　
2a2b　
思考：单独的
一个字母或一个
数是单项式吗？
如a，π，1等.
考点清单
考点 　整式的相关概念
4. 已知一串式子M：2a2b，－3ab2，a2bc，－2b＋a2， x2y，
x3－2x－8，将其分别填在下面考点中对应的横线上.
加减运算 如有括号就先去括号，然后再合并同类项
幂的运算
（m，n均为整数） 同底数幂的乘法：am·an＝ ；
同底数幂的除法：am÷an＝ ；
幂的乘方：（am）n＝ ；
积的乘方：（ab）n＝
am＋n　
am－n　
amn　
anbn　
考点清单
考点 ③　整式的运算 【省卷T4，长沙T4，T18，T25】
整式乘除 单项式乘除：2a·a2b＝ ，
－3a3b÷ab＝ ；
多项式乘法：（a＋b＋c）m＝ ，
（m＋n）（a＋b）＝ ；
多项式除以单项式：（am－bm）÷m＝
乘法公式 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝
乘法公式 完全平方公式：（a±b）2＝
2a3b　
－3a2　
ma＋mb＋mc
am＋an＋bm＋bn
a－b　
a2－b2
a2±2ab＋b2
法则逆用：
（1）am＋n＝am·an；
（2）am－n＝am÷an；
（3）amn＝（am）n；
（4）anbn＝（ab）n.
概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式 提公因 式法 ma＋mb＝m（a＋b）， 如x2－23x＝ 因式分解要注意检查是否分解彻底，必须分解到每个因式不能再分解为止
公式法 平方差公式：a2－b2＝ ____________ 公式法 完全平方公式：
a2±2ab＋b2＝ 十字相乘法 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) x(x－23)　
(a＋b)(a－b)
考点清单
(a±b)2　
考点 ④　因式分解
重难精讲
变式探究
03
第一单元 第2讲
（2022·长沙）某校现需购买甲、乙两种读本共100本，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本.设购买
甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为 元.
1. 某同学参加了 7.5 km 健康跑项目，他从起点开始以平均x km/min的速度跑了 10 min，此时他离健康跑终点的路程为 km.
8(100－x)　
对点演练
（7.5－10x）　
2. （2024·广州）若a2－2a－5＝0，则2a2－4a＋1＝ .
11　
考点 代数式及其求值
(100－x)本　
费用 = 单价×数量
8元/本
下列说法正确的是（　B　）
A. － 的次数是 2
B. － 的系数是－
C. x2＋x－1的次数是3
D. x2与x属于同类项
3. （2022·永州）若单项式 3xmy 与 －2x6y 是同类项，
则 m＝ .
B
6　
对点演练
考点 整式的相关概念
单项式的次数：所有字母的指数的和；
次数是 3
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数；次数是 2
同类项：字母相同，并且相同字母的指数也相同.
一、幂的运算
（2024·湖南）下列计算正确的是（　B　）
A. 3a2－2a2＝1 B. a3÷a2＝a（a≠0）
C. a2·a3＝a6 D. （2a）3＝6a3
4. 计算（－a2）3÷（－a）2的结果是（　D　）
A. a3 B. －a2 C. a4 D. －a4
5. 若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝ .
B
D
16　
对点演练
考点 整式的相关概念
a2
a5
8a3
二、整式的混合运算
（6分）（2024·长沙）先化简，再求值：
2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝ .
【评分标准】
过程（2分）
结果（4分）
代入求值（6分）
解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9
＝4m－9.
当m＝ 时，原式＝4× －9＝10－9＝1.
考点 整式的相关概念
6. 先化简，再求值：(2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(x＋y)，
其中x＝（ ）2025，y＝22024.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy.
当x＝（ ）2025，y＝22024时，
原式＝2×（ ）2025×22024＝2× ×（ ）2024×22024＝2× ×
（ ×2）2024＝2× ×12024＝2× ×1＝1.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy.
当x＝（ ）2025，y＝22024 时，
原式＝2×（ ）2025×22024＝2× ×（ ）2024×22024
＝2× ×（ ×2）2024＝2× ×12024＝2× ×1＝1.
对点演练
考点 整式的相关概念
三、乘法公式的灵活运用
已知（a－b）2＝6，（a＋b）2＝4，则 a2＋b2 的值为 .
【变式1】已知（x＋y）2＝25，（x－y）2＝9，则 xy＝ .
【变式2】（2024·大庆）若a＋ ＝ ，则 a2＋ 的值是 .
【变式3】★已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则m－n的值为 .
5　
4　
3　
4　
考点 整式的相关概念
(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)
(x＋y)2－(x－y)2＝4xy
a2＋b2 ＝
xy＝
a2＋＝(a2＋ )＋2a·－2＝(a－ )2－2
a2＋＝ (
m2－6m＋9＋n2＋2n＋1＝0
(m－3)2＋(n＋1)2＝0
m＝3，
n＝－1
m－n＝4
完全平方公式的恒等变形：
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab.
已知a＋b（或a－b），ab，a2＋b2中任意两个式子的值，均可通过公式变形求出另外一个式子的值.
考点 整式的相关概念
（2023·益阳）下列因式分解正确的是（　A　）
A. 2a2－4a＋2＝2（a－1）2
B. a2＋ab＋a＝a（a＋b）
C. 4a2－b2＝（4a＋b)(4a－b）
D. a3b－ab3＝ab（a－b）2
A
考点 ④ 因式分解
a(a＋b＋1)
(2a＋b)(2a－b)
ab(a2－b2)
＝ab(a＋b)(a－b)
7. 因式分解：
（1）2a2－2a＝ ；
（2）（2024·绥化）2mx2－8my2＝ .
8. （1）已知a＋b＝1，则a2－b2＋2b＋9的值为 ；
（2）（2024·广西）如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2
＋ab3的值为 .
2a(a－1)　
2m(x＋2y)(x－2y)
10　
9　
对点演练
考点 ④ 因式分解
8
字母“C”和“H”按照如下图所示的规律依次摆放，则第
个图形中字母“H”的个数是（　B　）
A. 2n B. 2n＋2 C. 2n－2 D. 2n＋1
B
考点 ⑤ 规律及代数推理【长沙T16】
4
H的个数：
对比①
对比②
4+2+2
④
4+2×3
4+2×2
4+2×(n-1)
n
2n+2
6
4+2
n
9. （2023·岳阳）观察下列式子：
12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－
5＝5×4；……
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 .
10. 若k为任意整数，则（2k＋3）2－4k2的值总能（　B　）
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
n2－n＝n(n－ 1)
B
对点演练
考点 ⑤ 规律及代数推理【长沙T16】
12. 【课标素材题】（2024·雅安）如下图是1个纸杯和若干个
叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高
度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数
据（字母）：
±2　
第12题图
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径
D；③杯底直径d；④杯沿高a.请选用适当
的字母表示H＝ .
h＋an　
易错点·创新点
11. 已知y2－my＋1是完全平方式，则m的值是 .
13. 观察下面的等式：32－12＝8×1；52－32＝8×2；72－52＝
8×3；92－72＝8×4；……
（1）写出192－172的结果；
解：（1）∵17＝2×9－1，
∴192－172＝8×9＝72.
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表
示，n为正整数）；
解：（2）由题意可得（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n.
解：（1）∵17＝2×9－1，
∴192－172＝8×9＝72.
解：（2）由题意可得(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n.
易错点·创新点
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
解：（3）∵（2n＋1）2－（2n－1）2＝[（2n＋1）＋（2n－
1）][（2n＋1）－（2n－1）]＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1
－2n＋1）＝4n×2＝8n，
∴（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n正确.
解：（3）∵(2n＋1)2－(2n－1)2
＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)]
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)
＝4n×2＝8n，
∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n正确.
易错点·创新点
课堂小结
代数式、整式
及因式分解
代数式及求值
整式的相关概念及运算
整式的加减
因式分解
单项式
多项式
整式
同类项
合并同类项
整式的乘除