第4讲　 数的开方与二次根式 2025年中考数学专题复习课件(共21张PPT)（湖南）

(共21张PPT)
第一单元 数与式
第4讲 数的开方与二次根式
目录
CONTENTS
课标要求 作业目标
1
教材整合 核心归纳
2
重点精讲 变式探究
3
课标要求 作业目标
01
第一单元 第4讲
要求与目标
课标要求 作业目标
数的开方与二次根式 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示实数的平方根、算术平方根、立方根，会求百以内的完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根. 2.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会运用它们进行简单的四则运算. 了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根
了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根
了解开方与乘方互为逆运算，会用平分运算求百以内整数的平方根
会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根
了解二次根式的概念，会求被开方数中字母的取值范围
理解二次根式的性质，掌握二次根式性质的基本运用
要求与目标
课标要求 作业目标
数的开方与二次根式 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示实数的平方根、算术平方根、立方根，会求百以内的完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根. 2.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会运用它们进行简单的四则运算. 理解最简二次根式的概念，会把二次根式化为最简二次根式
了解二次根式的乘法法则，会用法则进行二次根式的乘法运算
了解二次根式的除法法则，会用法则进行二次根式的除法运算
知道运用分母有理化去掉分母中的根号的方法
了解二次根式的加法、减法法则，会用法则进行二次根式的加减法运算
了解二次根式的加、减、乘、除混合运算的顺序，会进行简单的四则运算，体会类比、化归的数学
3. 计算： ＝ ；（2024·湖南） × ＝ 　 ；
－ · ＝ 　－2 　.
1.4 的平方根为 ； ＝ ；
的平方根为 　 ±　； ＝ .
2. 已知一串数式A： ， ， ， ， ， ，
其中一定是二次根式的是 　 ，；
若 有意义，则x的取值范围是 .
±2　
2　
± 　
－3　
， ， ，
x≥1　
以题理知
3　
　
－2 　
平方根 （a≥0） （1）实数a的平方根是 　 ± ，其中 　 　是a的算术平方根；
（2）性质：负数没有平方根和算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数
立方根 概念：实数a的立方根是 .
± 　
　
　
思考：平方根、算术平方根、立方根等于它本身的数分别是什么？
考点清单
考点 　数的开方
概念 形如 （a≥0）的式子
有意义的条件 被开方数大于或等于0
最简二次
根式 满足的两个条件：①被开方数不含 ；②被开方数中不含 的因数或因式.如若数式串A中均为二次根式，则最简二次根式有
分母　
能开得尽方　
， ， 　
考点 　二次根式的相关概念
性质 双重非负性：式子 中，a 0；
0；（ ）2＝ （a≥0）；
＝｜a｜＝
＝ 　 · （a≥0，b≥0）；
＝ 　 　 （a≥0，b＞0）
≥　
≥　
a　
· 　
　
易错：判断正误：
① ＝
－2（　×　）；
②（－ ）2＝
－2（　×　）；
③（ ）2＝
－2（　×　）；
④ ＝ （　√　）.
×
×
×
√
考点清单
考点 ③　二次根式的性质
估值 （1）平方法：对 平方得到a→找出与a相邻的两个平方整数m2＜a＜n2→开方m＜ ＜n.如 的值在整数 和 之间.
（2）近似值判断法：常见开不尽方的数的近似值： ≈1.414，
≈1.732， ≈2.236， ≈0.618
4　
5　
考点清单
考点 ④　二次根式的估算及运算 【省卷T5，长沙T4】
加减运算 先化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次
根式进行合并
乘除运算 · ＝ （a≥0，b≥0）； ＝ （a≥0，b＞0）
重难精讲
变式探究
03
第一单元 第4讲
下列说法正确的是（　D　）
A. －27的立方根是3
B. ＝±4
C. 1的平方根是1
D. 4的算术平方根是2
1. 计算：
（1）－ ＝ ；（2） ＝ .
D
－5　
－4　
对点演练
考点 数的开方
－3
4
±1
（2024·牡丹江）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围
是 .
2. 若式子 ＋x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围
是（　C　）
A. x＞－1 B. x≥－1
C. x≥－1且x≠0 D. x≤－1且x≠0
x≥－3且x≠0　
C
对点演练
考点 二次根式有意义的条件
分式意义：x≠0
二次根式意义：≥0
常见代数式有意义的条件有3种情况 ①二次根式的被开方数大于或等于0；
②分式的分母不等于0；
③零次幂的底数不等于0.
(a≥0)
分式 有意义时，g≠0
a0(a≠0)
方法总结
（改编题）已知代数式｜b－1｜＋ .
（1）若a，b在数轴上的位置如下图所示，则化简代数式的结
果为 ；
第（1）题图
（2）若代数式的值为0，则a＋b的值为 .
2b－a－1　
2　
考点 二次根式的性质
如图：b－1＞0，
b－1－()
2b－－1
｜b－1｜＋ =0
b=1
=b
a＋b=2
易错：当a－b＜0时， ＝｜a－b｜＝b－a.
方法：多个非负式的和为0，则其中的每个非负式均为0，即若
＋｜b｜＋c2＝0，则a＝b＝c＝0.
4. （2024·成都）若m，n为实数，且（m＋4）2＋ ＝0，
则（m＋n）2的值为 .
1　
3. 某三角形三边的长分别是2，5，m，
则 ＋ 等于（　D　）
A. 2m－10 B. 10－2m
C. 10 D. 4
D
已知k＝ （ ＋ ）·（ － ），则与k最接近的
整数为（　B　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
5. 已知m＜2 ＜m＋1，m为整数，则m的值为 .
6. 计算：（ － ）× ＋（ －1）2.
解：原式＝3－2＋3－2 ＋1＝5－2 .
B
5　
解：原式＝3－2＋3－2 ＋1＝5－2 .
对点演练
利用平方差公式
2
考点 ④ 二次根式的估算及运算
确定在哪两个相邻整数之间 ①先对二次根式平方，如()2＝8；
②找出与平方后所得的数相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；
③对以上两个整数开方，得到两个整数，
如＝2，＝3；
④确定这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如2<<3.
[注意：若要继续确定离2.5近还是离3近，则可比较2.752和7的大小，方法同上]
确定离哪个整数最近 ①先确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如2<<3；
②求这两个整数的平均数，如 ＝2.5；
③用平方法比较二次根式和平均数的大小，若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如2.52＝6.25<8，则离3最近．
方法总结
7. 的平方根是（　D　）
A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3
8. （教材改编题）请写出一个正整数m的值使得 是整
数：m＝ .
D
2（答案不唯一）　
易错点·创新点
9. （2024·深圳）如右图，已知四边形ABCD，DEFG，GHIJ
均为正方形，且S正方形ABCD＝10，S正方形GHIJ＝1，
则正方形DEFG的边长可以
是 （写出一个答案即可）.
2（答案不唯一）　
第9题图
10. 若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式
（2＋ a）·b的值为 .∵3－ 的整数部分为a，小数
b＝2－ .∴原式＝（2＋ ）·（2－ ）＝4－2＝2.
2　
【解析】∵3－ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝2－ .
∴原式＝(2＋ )·(2－ )＝4－2＝2.
易错点·创新点
课堂小结
数的开方与二次根式
平方根、算术平方根、立方根
二次根式的估算
二次根式的概念及性质
二次根式的运算
有意义的条件
二次根式的化简
二次根式的性质