第6讲　 一元二次方程 2025年中考数学专题复习课件(共26张PPT)（湖南）

(共26张PPT)
第6讲 一元二次方程
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第二单元 第6讲
课标要求 作业目标
一元二次方程 掌握一元二次方程的概念.能灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.知道判别式与方程的根的关系.了解一元二次方程根与系数的关系.能在实际问题中建立一元二次方程模型解决实际问题. 理解一元二次方程的相关概念,能判断未知数的值是否是方程的解
能把一元二次方程化为一般形式,能正确判断一元二次方程的各项系数
理解配方法,会用配方法解数字系数的一元二次方程,在探索解法的过程中体会“化归”的数学思想和“降次”的策略
理解一元二次方程的求根公式的导出过程,掌握求根公式
会用公式法解数字系数的一元二次方程
会用一元二次方程根的判别式判别方程的根的情况,会根据一元二次方程的根的情况确定判别式的值的符号
会用因式分解法解数字系数的一元二次方程,在探索解法的过程中体会“化归”的数学思想和“降次”的基本策略
了解一元二次方程的根与系数的关系,会用根与系数的关系解决简单的数学问题
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第二单元 第6讲
(1)其中有实数根的是 .
(2)方程②的根为 ；
方程④的根为 .
(3)方程⑤的两根之和为 ；两根之积为 .
②③④⑤　
x1＝x2＝1　
x1＝2－ ，x2＝2＋ 　
2 　
2　
已知方程串M：①x2＋1＝0；②x－1＝x(x－1)；
③x2－3x＋1＝0；④x2－4x＝－2；⑤ x2－ x＋1＝0.
Δ＝b2－4ac≥0
x2－2x＋1＝0
x2－4x＋2＝0
x1＋x2＝－
x1x2＝
(x－1)2＝0
x＝
公式法
配方法
概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
的整式方程.一般形式为ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c为常数，a 0
2　
≠　
考点清单
考点 　一元二次方程的相关概念
解法 适用方程的形式或步骤
直接开平
方法 3x2－6＝0的根为
配方法 一般步骤：移常数项；将二次项系数化为1；配完全平方式
［配上()2］；写成(x＋n)2＝p的形式；开平方解方程
公式法 适用于所有一元二次方程.关于x的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为x＝ (b2－4ac≥0)
因式分解法 (1)常数项为0，即ax2＋bx＝0；
(2)将方程通过因式分解化为(mx＋n)(px＋q)＝0；
(3)方程两边含有相同的因式.如方程串M中适合用因式分解法的
是 (填序号)
x1＝ ，x2＝－ 　
考点清单
考点 　解一元二次方程【长沙T25】
②　
判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式是
Δ＝b2－4ac
根的情
况 b2－4ac＞0 方程有 的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程无实数根
根与系
数的关
系 若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，则x1＋x2＝ 　－ ，x1x2＝ . 　_x001A_ _x001B_ _x001B_ 　
两个不相等　
b2－4ac＝0　
b2－4ac＜0
－p　
q　
－ 　
　
考点 　根的判别式及根与系数的关系【省卷T15】
考点清单
常考类型 解题策略
平均变化 率问题 若a为基础量，设x为平均增长率，则两次增长后的量为 ；
设x为平均下降率，则两次下降后的量为
每每问题 ①总利润＝(售价－成本)×数量；②已知单价每增长a元，少卖b件，若涨价x元，则少卖的件数为(·b)件
传播(繁殖)问题 若a为基础量，设x为每个个体每轮传播(繁殖)的数量，则两轮传播(繁殖)后的总数为a＋ax＋x(a＋ax)＝
a(1＋x)2　
a(1－x)2　
考点 　一元二次方程的实际应用
考点清单
a(1＋x)2　
循环问题 单循环赛、握手次数为 (n为队伍数或人数)； 双循环赛、互赠卡片数为 (n为队伍数或人数) 面积
问题 设空白部分宽为x， S阴影＝ 设空白部分宽为x， S阴影＝ 围栏总长为l，设BC
＝x，S阴影＝
　
n(n－1)　
(a－2x)(b－2x)
(a－x)(b－x)
x(l－x)　
重难精讲
变式探究
03
第二单元 第6讲
(1) 若方程的一个根是－2，则m的值为 ，
方程的另一个根为 ；
－8　
4　
m＜1
例1 原创问题链 已知x2－2x＋m＝0 是关于x的一元二次方程.
(2) 若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ；
代入
(－2)2－2×(－2)＋m＝0
m＝－8
x1＋x2＝－
－2＋x2＝2
x2＝4
Δ＝b2－4ac＞0
(－2)2－4×m＞0
(3)(6分)当m＝－3时，用两种方法求方程的解；
方法一：配方法 方法二：因式分解法
【评分标准】
过程(4分)
写出解(6分)
解：当m＝－3时，原方程变为x2－2x－3＝0.
解：当m＝－3时，原方程变为x2－2x－3＝0.
方法一：移项，得x2－2x＝3.
配方，得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
开平方，得x－1＝±2.
例1 原创问题链 已知x2－2x＋m＝0 是关于x的一元二次方程.
∴x1＝3，x2＝－1.
方法二：因式分解法
方法二：因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1
＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
方法二：因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，
∴x－3＝0或x＋1＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
例1 原创问题链 已知x2－2x＋m＝0是关于x的一元二次方程.
(3)(6分)当m＝－3时，用两种方法求方程的解；
例1 原创问题链 已知x2－2x＋m＝0是关于x的一元二次方程.
(4)若x1，x2是原方程的两个根，已知 ＋ ＝3，求m的值.
解：由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝m.
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2m＝3，解得m＝ .
∵方程有两个根时，m≤1，
∴m＝ 符合题意.∴m＝ .
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2
例2 情境串联问题链 安化黑茶是湖南特产，中国国家地理标志
产品.
(1)(6分)某茶叶采购商第一次采购黑茶的价格为480元/斤，由于
气候影响，茶叶产量降低，该采购商第三次的采购价格比第一
次多100.8元/斤，求后两次采购价格的平均增长率.
解：(1)设后两次采购价格的平均增长率为x，
依题意得480(1＋x)2＝480＋100.8，
解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1(舍去).
答：后两次采购价格的平均增长率为10％.
【评分标准】
设(1分)
列(3分)
解/取舍(5分)
作答(6分)
第三次采购价格＝第一次采购价格(1+平均增长率)2
例2 情境串联问题链 安化黑茶是湖南特产，中国国家地理标志产品.
每袋售价/元 周销售量/袋 销售额/元
原来
涨价后
260
100
28800
(2)(6分)某超市销售黑茶，经过观察发现，售价为260元/袋时，每周能销售100袋；售价每增加10元，则销量减少1袋，为减少库存，当售价为多少元/袋时，每周的销售额为28800元？
y
100－
设售价为y元/袋
(2)设售价为y元/袋，依题意可列方程为y(100－ )＝28800，
解得y1＝300，y2＝960.∵要减少库存，∴y＝300.
答：当售价为300元/袋时，每周的销售额为28800元.
例2 情境串联问题链 安化黑茶是湖南特产，中国国家地理标志
产品.
(3)某茶叶文化交流会邀请了当地一些有名的茶叶制作商参会，
在此活动中，制作商们互赠名片，共送出名片600张，则参加
交流会的茶叶制作商有 人.
25　
循环问题：互赠卡片数为n(n－1)(n为人数)
n(n－1)＝600
n＝25
3. 若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则 2024－6a＋2b
的值为 .
2. 已知关于x的方程 (m－2) ＋4x＋3＝0 是一元二次方程，则m的值为 .
－2　
2020　
1. (2024·南充)已知 m是方程 x2＋4x－1＝0 的一个根，
则 (m＋5)(m－1) 的值为 .
－4　
①最高次幂为2次；
②二次项系数不为0
m2－2＝2，m－2≠0
9a－3b＝6
2024－2(3a－b)
代入
3a－b＝2
代入
4. 解下列方程.
(1)2x2－1＝x； (2)(x＋4)2＝5(x＋4).
解：(1)移项，得 2x2－x－1＝0.
∴x－1＝0或2x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝－.
分解因式，得(x－1)(2x＋1)＝0
解：(2)移项，得 (x＋4)2－5(x＋4)＝0.
分解因式，得 (x＋4)(x＋4－5)＝0.
(x＋4)(x－1)＝0.
∴x＋4＝0 或 x－1＝0.
∴x1＝－4，x2＝1.
5. 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　A　)
A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6 C. x1x2＝ D. x1x2＝7
6. (2024·湖南)若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有
两个相等的实数根，则k的值为 .
7. (2024·眉山)已知方程 x2＋x－2＝0 的两根分别为x1，x2，
则 ＋ 的值为 　 　.
A
2　
　
＋＝
x1＋x2＝－1，x1x2＝－2
＋＝
代入
【易错变式2】(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程
x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
且x1＋x2＋x1·x2＝2，则实数m＝ .
【易错变式1】若 α，β 是一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的两个实
数根，则 2α2＋α＋αβ 的值为 .
　
3　
(2α2＋α)＋αβ
2α2＋α＝1，αβ＝－
(2α2＋α)＋αβ＝1－
代入
8. 如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样
宽的道路，其余部分铺上草坪.
第8题图
要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少米？
解：设道路的宽为x m，
依题意得(50－2x)·(38－2x)＝1260，
解得x1＝4，x2＝40(舍去)，
所以x＝4.
答：道路的宽应为4 m.
解：设道路的宽为x m，
依题意得(50－2x)·(38－2x)＝1260，
解得x1＝4，x2＝40(舍去)，
所以x＝4.
答：道路的宽应为4 m.
9. (2024·泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无
实数根，则函数y＝kx与函数y＝ 的图象交点个数为(　A　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方
程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个
根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到
方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　B　)
A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0
C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0
A
B
11. (2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0；
解：(1)分解因式，得(x－1)(x－3)＝0.
∴x－1＝0或x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝3.
解：(1)分解因式，得(x－1)(x－3)＝0.
∴x－1＝0或x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝3.
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.
解：(2)当3是直角三角形的斜边时，第三边的长为 ＝2 ；
当1和3是直角三角形的直角边时，第三边的长为 ＝ .
∴第三边的长为2 或 .
课堂小结
一元二次方程
一元二次方程及其解法
一元二次方程的实际应用
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法