第13讲　 二次函数的图象与性质 2025年中考一轮数学专题复习课件（湖南）(共29张PPT)

(共29张PPT)
第13讲
二次函数的图象与性质
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第三单元 第13讲
课标要求 作业目标
二次函数 1.理解二次函数的意义，会画二次函数的图象，并掌握其图象的性质. 2.能求得其顶点坐标. 3.知道二次函数与一元二次方程之间的关系，能利用图象求得方程的近似解. 了解二次函数的概念
会用描点法画二次函数的图象,了解并初步运用二次函数的性质
会根据二次函数的解析式和自变量的值求函数的值
会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为顶点式的形式,掌握二次函数图象的顶点坐标、对称轴
知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数,会根据已知条件求出二次函数的解析式
运用二次函数的图象和性质解决问题,领会二次函数解析式与图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
运用二次函数解决一元二次方程的有关问题,会利用二次函数的图象求一元二次方程的解
会求二次函数 y=ax +bx+c 的最大(小)值,并能确定相应自变量的值
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第三单元 第13讲
第1课时　知识精讲
已知函数串M：①y＝2x2－1；②y＝x＋1；③y＝－ ；④y
＝2(x－1)2－4；⑤y＝－ x2＋2x＋1，将其分别填在下面考点
对应的横线上.
概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数 大致 图象 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口 向上 向下
增减性 如函数串M中，当x＜0时，y随x的增大而增大的函数是 (填序号)
②③⑤　
考点 　二次函数的图象和性质【省卷T25，长沙T25】
对称轴与顶点坐标 对称轴：直线x＝－ ；顶点坐标：(－ ， ).如函数⑤的对称轴是 ，顶点坐标是 最值 当x＝－ 时，y最小值＝ 当x＝－ 时，y最大值＝
增减性 当x＞－ 时，y随x的增
大而 ；当x＜－ 时，y随x的增大而 当x＞－ 时，y随x的增大而 ；当x＜－ 时，
y随x的增大而
直线x＝2　
(2，3)　
增大　
减小　
减小　
增大　
考点清单
形式 设解析式的形式
(a≠0) 对称
轴 待定系数法求解析式
顶点式 y＝a(x－h)2＋k x＝h 先将已知点的坐标逐一代入所设解析式，再联立组建方程组，得出结果，再代回所设解析式
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2) x＝ 一般式 y＝ax2＋bx＋c x＝－ 考点 　求二次函数的解析式
考点清单
平移前解
析式 平移m个单位 (m＞0) 平移后解析式 规律
y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移m个单位 y＝a(x－h )2＋k 左“＋”
右“－”
向右平移m个单位 y＝a(x－h )2＋k y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0) 向上平移m个单位 y＝a(x－h)2
＋k 上“＋”
下“－”
向下平移m个单位 y＝a(x－h)2
＋k ＋m　
－m　
＋m　
－m　
考点清单
考点 　二次函数图象的平移
与一
元二 次方
程的 关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标
方程有两个不相等的实数根 b2－4ac 0
函数图象与x轴有2个交点
方程有两个相等的实数根 b2－4ac＝0
函数图象与x轴有 个交点
方程没有实数根 b2－4ac＜0 函数图象与x轴
有 个交点
＞　
1　
0　
考点 　二次函数与一元二次方程的关系【长沙T25】
考点清单
重难精讲
变式探究
03
第三单元 第13讲
例 原创问题链 如下图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3).回答下列问题：
(1)该抛物线的解析式为 ，对称轴为 ，顶点坐标为 .
(2)若点(－6，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小关系： (用“＞”连接).【方法1】
y＝－x2－2x＋3　
直线x＝－1
(－1，4)　
y2＞y3＞y1　
y＝－(x＋1)2＋4
直线x＝－1
可将三个点的坐标直接代入解析式求解，也可将解析式改写成交点式求解
可画草图判断
当－2＜x＜3时，y的取值范围是 .【易错】
(3)该函数的最大值为 ；当－6≤x≤－2时，y的最大值为 ；
4　
3　
－12＜y≤4　
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4　
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
当x＝－2时，y有最大值3
包含顶点
y有最大值为4
距离法：当抛物线开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，则点的纵坐标就越小
y≤4
当x＝3时，y＝－12
y＞－12
直线x＝－1
－3　
1　
3　
(4)方程ax2＋bx＋c＝0的根为 ；
当 y＞0 时，x的取值范围为 .
(5)y＝ax2＋bx＋c＋5 的图象与x轴的两交点为D，E，
则DE＝ .
(6)若点M(x1，n)，N(x2，n)都在该抛物线上，
则x1＋x2＝ .【方法2】
x1＝－3，x2＝1　
－3＜x＜1　
6　
－2
与 x 轴的交点
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4　
直线x＝－1
－3　
1　
3　
ax2＋bx＋c＋5＝0
－(x＋1)2＋4＋5＝0
x1＝－4，x2＝2
DE＝|－4－2|＝6
点M，N 纵坐标相同
对称法：－ ＝
x1＋x2＝－2
(7) P为抛物线上x轴上方的一动点(不与点C重合)，
若S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标.
解：∵S△ABP＝S△ABC，
∴点P与点C的纵坐标相等.
∴点P与点C关于对称轴直线x＝－1对称.
∴P(－2，3).
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4　
直线x＝－1
－3　
1　
3　
P
方法1：函数值大小比较的方法：①代值比较法；②性质法：
运用于点在对称轴同侧的情况；③草图法：较快捷、较准确的
方法(如P41T3).
方法2：对称法：抛物线是轴对称图形，当抛物线上两点的纵
坐标相等时，－ ＝ .
易错：限定区间求最值时，当顶点不在区间内时，应注意最值
不取顶点的纵坐标.
第2课时　分点训练
1. 已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　C　)
A. 对称轴为直线x＝－2 B. 顶点坐标为(2，3)
C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3
C
2. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如下图所示，则一次函数
y＝x＋b的图象一定不经过(　D　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
第2题图
D
3. 已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)写出二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，－4a＋b).
由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2
(2)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过(1，c)，(3，d)，
(－1，e)，(－3，f )四点，判断 c，d，e，f 的大小，并说明理由.
需要分类讨论
(1) 当抛物线开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，则点的纵坐标就越大；反之，点的纵坐标就越小.
(2) 当抛物线开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，则点的纵坐标就越小；反之，点的纵坐标就越大.
(2)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过 (1，c)，(3，d)，
(－1，e)，(－3，f ) 四点，判断 c，d，e，f 的大小，并说明理由.
二次函数图象的顶点坐标为(－2，－4a＋b).
解：(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＞c＞e＝f.
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＜c＜e＝f.
4. 将抛物线y＝x2 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得
到的抛物线的解析式是(　A　)
A. y＝(x－3)2＋4 B. y＝(x＋3)2＋4
C. y＝(x＋3)2－4 D. y＝(x－3)2－4
5. (2024·牡丹江)将抛物线 y＝ax2＋bx＋3 向下平移5个单位长度
后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝ .
A
2　
代入
3(2a－b)－7
平移后的抛物线为 y＝ax2＋bx－2
4a－2b－2＝4
2a－b＝3
代入
3(2a－b)－7＝2
(1)若抛物线y1经过点A，B，C，求y1的解析式；
解：(1)设抛物线y1＝ax2＋bx＋c，
由题意得解得
∴y1＝x2－2x－3.
解：(1)设抛物线y1＝ax2＋bx＋c，
由题意得解得
∴y1＝x2－2x－3.
6.原创问题链已知点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3).
(2)若点B为抛物线y2的顶点，且抛物线y2经过点A，求y2的解析式；
解：(2)设抛物线y2＝m(x－2)2－3，
将点(3，0)代入，得m(3－2)2－3＝0，
∴m＝3.∴y2＝3(x－2)2－3.
(3)将抛物线y2的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移1个
单位长度得到抛物线y3，则y3的解析式为 ；
(4)若抛物线y3与y4的图象关于x轴对称，则y4的解析式为
.
y3＝3(x－1)2－1
y4＝－3(x－1)2＋1　
关于 x 轴对称，y 变为－y，x 不变
先将解析式化成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”
的规律得出结果.
7. 如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
第7题图
(1)b2－4ac 0；
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为 ；
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c＋ 与x轴交点的
个数为 ；
＞　
x1＝－4，x2＝2　
1　
(4) 关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为 ；
(5) 关于x的不等式ax2＋bx＋c＞－4的解集为 .
－4≤x≤2　
x＜－2或x＞0
8. (2024·贵州改编)如上图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　D　)
A. 二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当y＜0时，x＜－3
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
D
x＝－1
直线x＝－1
2
2
1
x＜－3或x＞1
1
令y＝a(x＋1)2＋4
a(－3＋1)2＋4＝0
a＝－1
(－3，0)
y＝－x2－2x＋3
代入
9. 【数形结合思想】(2023·衡阳改编)已知关于x的方程 x2＋2x－3＝0 的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x3，x4(x3＜x4).若m＞0，则下列结论正确的是(　A　)
A. x3＜x1＜x2＜x4 B. x1＜x3＜x4＜x2
C. x1＜x2＜x3＜x4 D. x3＜x4＜x1＜x2
A
运用数形结合思想解题.函数y＝x2＋2x－3－m的图象可以看作 由y＝x2＋2x－3的图象向下平移得到，结合草图即可得出结果.
x1
x2
O
x
y
x3
x4
10. (2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，
当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　C　)
A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4
C. 2≤t≤4 D. t≥2
C
11. (2024·湖北节选)如下图，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交
于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
(1)求b的值；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交
于点A(－1，0)，∴0＝－1－b＋3，解得
b＝2.
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交
于点A(－1，0)，
∴0＝－1－b＋3，解得b＝2.
(2)如下图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标.
解：(2)∵b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
令y＝0，解得x＝－1或3；
令x＝0，解得y＝3.
∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3).
如图，作MN⊥x轴于点N.
设M(m，－m2＋2m＋3)，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，
11. (2024·湖北节选)如下图，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于
点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C.
即 ＝ ＝ .
∴ ＝ ，
解得m＝ 或－1(舍去).
∴点M的横坐标为 .
课堂小结
二次函数
二次函数的图象与性质
待定系数法求函数解析式
二次函数图象的平移、对称
二次函数与方程(组)、不等式的关系