第14讲　 二次函数的实际应用 2025年中考一轮数学专题复习课件（湖南）(共22张PPT)

(共22张PPT)
第14讲
二次函数的实际应用
目录
CONTENTS
1
2
课标要求 作业目标
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第三单元 第14讲
课标要求 作业目标
二次函数的实际应用 通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，能利用二次函数解决简单的实际问题. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数的性质解决实际问题,体会数学建模思想,体会函数模型在反映现实世界的运动变化中的作用
要求与目标
重难精讲
变式探究
03
第三单元 第14讲
例1　原创教材变式　某超市新进某种水果进行销售，其进价
为 20 元/kg，设第x天的销售价格为y元/kg，销售量为mkg.根据
前 50 天的数据得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，
且当x＝30时，y＝40；当x＝40时，y＝30.②m与x的关系为
m＝5x＋50.
(1)求y与x的关系式及x的取值范围；
解：(1)设y＝kx＋b，
依题意得解得
∴y与x的关系式为y＝－x＋70，x的取值范围是0＜x≤50.
待定系数法求一次函数
注意0＜x≤50
(2)该水果每千克销售利润为 元，每天的销售利润 W(元)为 ；(用含 x 的式子表示)
(－x＋50)　
－5x2＋200x＋2500　
例1　原创教材变式　某超市新进某种水果进行销售，其进价为20元/kg，设第x天的销售价格为y元/kg，销售量为mkg.根据前50天的数据得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，
②m与x的关系为m＝5x＋50.
y＝－x＋70，0＜x≤50.
单利润＝单售价－单进价
单利润＝y－20＝－x＋70－20＝－x＋50
总利润＝单利润×数量
W＝(－x＋50)m＝(－x＋50)( 5x＋50)
W＝－5x2＋200x＋2500
(3)当x为 时，销售利润W为 4000 元；
(4)当x为 时，销售利润 W(元)最大，
最大利润为 元；
30或10　
20　
4500　
例1　原创教材变式　某超市新进某种水果进行销售，其进价为20元/kg，设第x天的销售价格为y元/kg，销售量为mkg.根据前50天的数据得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，y＝－x＋70，0＜x≤50.
②m与x的关系为m＝5x＋50.
每天的销售利润 W＝－5x2＋200x＋2500
W＝－5(x－20)2＋4500
－5x2＋200x＋2500＝ 4000
x1＝30，x2＝10
(5)当40≤x≤45时，x＝ 时销售利润W(元)最大，最大利
润为 元；【易错】
(6)要想销售利润不少于4375 元，
则x的取值范围为 .【方法】
40　
2500　
15≤x≤25　
例1　原创教材变式　某超市新进某种水果进行销售，其进价为20元/kg，设第x天的销售价格为y元/kg，销售量为mkg.根据前50天的数据得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，y＝－x＋70，0＜x≤50.
②m与x的关系为m＝5x＋50.
每天的销售利润 W＝－5x2＋200x＋2500
W＝－5(x－20)2＋4500
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
O
x
y
4375
W≥4375
－5(x－20)2＋4500＝4375
x1＝15，x2＝25
解题策略
易错：求利润最值时，应注意对称轴与x的取值范围之间的关
系，当顶点不在区间内时，应注意最值不取顶点的纵坐标，要
根据函数的增减性来确定最值.
方法：确定不等关系时，可先构建方程求解，再结合图象确定
范围.
例2　原创教材变式　如下图①，某小区决定要在一块一边靠墙
(墙长 21m)的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD， 绿化
带的一边靠墙，另三边用总长为 48 m的栅栏围住.设 AB的长为
xm，矩形绿化带的面积为ym2.
(1)y与x之间的函数关系式为 ，自变量x 的
取值范围为 .
y＝－2x2＋48x　
13.5≤x＜24　
48－2x
x
y＝x(48－2x)＝－2x2＋48x
0＜AD≤21
0＜48－2x≤21
13.5≤x＜24
(1) y与x之间的函数关系式为 y＝－2x2＋48x，
自变量 x 的取值范围为 13.5≤x＜24.
(2)当AB的长为多少时，矩形绿化带ABCD的面积最大？请求
出其最大面积.
解：∵－2＜0，
对称轴为直线x＝－ ＝12，
∴当13.5≤x＜24时，y随x的增大而减小.
∴当x＝13.5时，y的值最大，为－2×13.52＋48×13.5＝283.5.
∴当AB长为13.5m时，绿化带的面积最大，为283.5m2.
48－2x
x
求 y 的最大值
(3)若要在围成的矩形绿化带中间加一道栅栏(如下图②)，求出此时y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.当x为何值时，绿化带的面积最大？
例2　原创教材变式　如下图①，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 21m)的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD， 绿化带的一边靠墙，另三边用总长为 48m的栅栏围住.设 AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2.
解：∵栅栏总长为48m，AB的长为xm，
∴BC＝(48－3x)m.
∴y＝x(48－3x)＝－3x2＋48x.
由题意可得0＜48－3x≤21，解得9≤x＜16.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x2＋48x(9≤x＜16).
∵－3＜0，对称轴为直线x＝－ ＝8，
∴当9≤x＜16时，y随x的增大而减小.
∴当x＝9时，绿化带的面积最大.
48－3x
x
x
x
易错题醒
在解决二次函数相关的实际问题时，要注意自变量的取值范
围，且要符合实际意义，本题需要注意0＜AD≤21.
可求这条抛物线所表示的二次函数的
解析式为 .
当y＝6 时，求出此时自变量x的取值为 ，即可解决这个问题.
例3　原创教材变式　下图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 8 m 时，水面宽AB为 12 m.当水面上升 6 m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如下图①，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为( ， )，抛物线的顶点坐标为( ， ).
12　
0　
6　
8　
y＝－ x2＋ x　
3或9　
12　
6　
8　
x
y
O
方法二：如上图②，以抛物线顶点为原点，对称轴为 y 轴，
建立平面直角坐标系xOy，
这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 .
当y＝ 时，求出此时自变量x的取值为 ，
即可解决这个问题.
由此可知，水面上升 6 m达到
警戒水位时，此时拱桥内
的水面宽度是 m.
y＝－ x2　
－2　
±3　
6　
例3　原创教材变式　下图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 8 m 时，水面宽AB为 12 m.当水面上升 6 m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
x
y
O
此时y＝－2
-8
-2
-3
3
B(6，－8)
设y＝ax2
代入
【延伸设问】
若按照方法二建立直角坐标系，当水面达到警戒水位时，一艘装
满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如下图)，
这艘船能从这座桥下通过吗？请说明理由.
　延伸设问题图
∴能通过.
-8
-2
-3
3
y＝－ x2　
当 y＝－ 时，x＝±.
此时，水面宽为 m.
∵5＜＜6，
解题策略
方法1：根据已知条件，建立合适的平面直角坐标系能使所设
的解析式形式最简(原则上尽量让坐标轴上的数据为已知数据，
有利于坐标的表示).
方法2：解决抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等问题需要
理解所求问题的几何意义：(1)判断抛球是否过网即判断网的上
端点是否在抛物线的下方；(2)判断投篮能否投中即判断篮筐是
否在抛物线上；(3)判断货车、船能否通过隧道、拱桥即判断两
端点是否在抛物线下方；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人
所处位置的水柱高度是否比人的身高更高.
1. 如下图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：
h＝－5t2＋30t，则当小球飞行高度达到最高时，
飞行时间t＝ s.
第1题图
3　
2. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一
根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的
水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心
的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 .
m　
(1)A，B两种客房每间定价分别是多少元？
解：(1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
则
解得
答：A，B两种客房每间定价分别是200元、120元.
3. (2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？
解：(2)设A种客房每间定价为m元，
则W＝m(24－ )＝－ (m－220)2＋4840.
∵－ ＜0，
∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840.
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，
最大营业额为4840元.
3. (2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
课堂小结
二次函数的实际应用
抛物线型(类抛物线型)问题
销售利润问题
图形面积问题