第20讲　 解直角三角形 2025年中考一轮数学专题复习课件（湖南）(共24张PPT)

(共24张PPT)
第20讲　 解直角三角形
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第四单元 第20讲
课标要求 作业目标
解直角三角形 1.探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值. 2.能用锐角三角函数理解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A）,会用三角函数表示直角三角形中两边的比
体会锐角三角函数变化与对应的函数思想
知道30°,45°,60°角的正弦、余弦和正切值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角
能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
运用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题
综合运用解直角三角形的相关知识把实际问题抽象成数学问题，体验数学模型思想和数学建模过程
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第四单元 第20讲
1. 计算：(－1)2025＋ －2 sin 30°＝ .
3. 如右图，当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为 24 米，那么旗杆AB的高度是 米(结果保留根号)，结果精确到十分位或精确到0.1为 ，精确到百分位或0.01为 .(参考数据： ≈1.732).
1　
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，则tanA＝ 　 　.
8 　
13.9　
13.86　
第3题图
－1
3
2×
1
tanA＝
　
cosA＝
24
AB＝BCtan30°＝24×＝8
定义 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A的正弦： sin A＝ 　 　； ∠A的余弦： cos A＝ 　 　；∠A的正切：tanA＝ 特殊角的三角函数值 拓展：tan15°＝＝2－
　
　
　
直角三角 形的边角 关系 三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理); 角度关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°; 边角关系： sin A＝ cos B＝ ， cos A＝ sin B＝ ; 面积关系：如上图①，S△ABC＝ ab＝ ch 拓展：sin A＝
cos (90°－∠A);
cos A＝ sin (90°－∠A);
tanA·tanB＝1；
sin 2A＋ cos 2A＝1
考点 　锐角三角函数【省卷T18，T26，长沙T23】
考点清单
仰角 俯角 如下图⑥，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角
坡角 坡度 如下图⑦，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫作坡度(或坡比)，用字母i表示，即i＝ ；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，则有i＝ ＝tanα
方向
角 如下图⑧，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于
O点的南偏东60°方向
图示
考点 　实际应用【省卷T24】
考点清单
重难精讲
变式探究
03
第四单元 第20讲
例1　(改编题)如图①，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若AB＝5，BC＝3，求AC的长和 sin A的值；
　例1题图①
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4.
∴ sin A＝ ＝ .
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4.
∴ sin A＝ ＝ .
5
3
勾股定理可得AC＝4
sin A＝
(2)如图②，点D是AC上一点，连接BD. 若BC＝ ，
tanA＝ ，tan∠ABD＝ ，求CD的长.
例1　(改编题)如图①，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
构造直角三角形
E
tan∠ABD＝ ＝
tanA＝ ＝
＝ ＝
AC＝2
AB＝ ＝5
AB＝2DE＋3DE＝5DE
AD＝ ＝
CD＝AC－AD＝
DE＝1
1
2
(2)如图②，点D是AC上一点，连接BD. 若BC＝ ，tanA＝ ，
tan∠ABD＝ ，求CD的长.
例1　(改编题)如图①，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
解：如图②，过点D作DE⊥AB于点E.
∵tanA＝ ＝ ，tan∠ABD＝ ＝ ，
∴AE＝2DE，BE＝3DE.
∴AB＝2DE＋3DE＝5DE.
在Rt△ABC中，tanA＝ ，BC＝ ，
∴ ＝ ＝ ，解得AC＝2 .
∴AB＝ ＝5.
∴DE＝1.∴AE＝2.
∴AD＝ ＝ ＝ .
∴CD＝AC－AD＝ .
E
1. (2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，
sin B＝ ，则BC的长是(　B　)
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
第1题图
B
2. (2023·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，
有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，
则 sin ∠BAC＝(　C　)
A. B. C. D.
C
第2题图
【变式题】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点
A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，连接
CD，则 cos ∠ADC的值为(　B　)
B
A. B. C. D.
变式题图
例2 (2023·长沙) 如下图，神舟十六号载人飞船在发射的过程
中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C
处的雷达站测得AC的距离是 8 km，仰角为30°；10s 后飞船到
达B处，此时测得仰角为 45°.
(1) 求点A离地面的高度AO；
解：(1)在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO＝ AC＝4km.
解：在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，
AC＝8km，
∴AO＝ AC＝4km.
∴飞船从A处到B处的平均速度＝ ＝ (km/s).
(2)求飞船从A处到B处的平均速度.(结果保留根号)
例2 (2023·长沙) 如下图，神舟十六号载人飞船在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°.
解：在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC＝ AC＝4 km.
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°.∴OB＝OC＝4 km.
∴AB＝OB－OA＝(4 －4)km.
V平均速度＝
SAB＝OB－OA
OA＝4 km
OB＝OC
OC＝ACcos30°
例3　为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20m，∠C＝18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1m，参考数据： sin 18°≈0.31， cos 18°≈0.95，tan18°≈0.32)
20
18°
E
＝
在Rt△ABC中，AF∶BF∶AB＝3∶4∶5
构造直角三角形
DE＝DCcos18°≈6.2
设未知数，AF＝3x
AB＝5x
DE＝AF≈6.2
AB≈10.3
例3　为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20m，∠C＝18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1m，参考数据： sin 18°≈0.31， cos 18°≈0.95，tan18°≈0.32)
　例3题图
解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
由题意得AF⊥BC，DE＝AF.
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴ ＝ .
∴设AF＝3xm，则BF＝4xm.
在Rt△ABF中，AB＝ ＝ ＝5x(m)，
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20m，
∴DE＝CD· sin 18°≈20×0.31＝6.2(m).
∴AF＝DE＝6.2m.∴3x＝6.2.解得x＝ .
∴AB＝5x≈10.3(m).
∴斜坡AB的长约为10.3m.
3. 如下图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4 海里处，求观测站与灯塔B之间的距离.
解：如图，作AE⊥OB于E.
在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAC－∠AOB
＝75°－30°＝45°，AB＝4 ，
∴AE＝BE＝ AB＝4.
在Rt△AOE中，
∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE＝ ＝ ＝4 .
∴OB＝OE＋BE＝(4 ＋4)海里.
∴观测站与灯塔B之间的距离为(4 ＋4)海里.
4. 如下图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC
于点D，BD＝ .若点E，F分别为AB，BC的中点，则EF
的长为 .
第4题图
1　
5. 在△ABC中，AB＝3 ，AC＝6，∠B＝45°，则BC
＝ .
3 ＋3或3 －3　
(1)求BC的长；
解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝
6，
∴BD＝ ＝ ＝
8.
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6.
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14.
第6题图
解：∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝ ＝ ＝8.
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6.
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14.
6. (2024·浙江)如下图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上
的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(2)求 sin ∠DAE的值.
解：(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE
＝ BC＝7.
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1.
∵AD⊥BC，∴AE＝ ＝
＝ .
∴ sin ∠DAE＝ ＝ ＝ .
第6题图
解：∵AE是BC边上的中线，∴CE＝ BC＝7.
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1.
∵AD⊥BC，∴AE＝ ＝
＝ .
∴ sin ∠DAE＝ ＝ ＝ .
6. (2024·浙江)如下图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上
的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
7. (2024·内蒙古)综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如下图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，
则楼BC的高度是多少米(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据： ≈1.7)？
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
则四边形BCFE是矩形.
由题意得AB＝80米，DE＝40米，
∠ADE＝90°－30°＝60°，∠CDF＝90°－45°＝45°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
tan∠ADE＝ ＝tan60°＝ ，
∴AE＝ DE＝40 米.
∴BE＝AB－AE＝(80－40 )米.
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝(80－40 )米.
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝(80－40 )米.
∴BC＝EF＝DE－DF＝40－80＋40 ≈28(米).
答：楼BC的高度约是28米.
课堂小结
解直角三角形及其实际应用
解直角三角形的理论基础
解直角三角形的四种基本类型
解直角三角形的应用
仰角、俯角
坡度、坡角
方向角
解直角三角形