第25讲　 正方形 2025年中考一轮数学专题复习课件（湖南）(共21张PPT)

(共21张PPT)
第25讲 正方形
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第五单元 第25讲
课标要求 作业目标
正方形 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质定理及判定定理. 3.正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系 掌握正方形的概念性质定理及判定定理，并能运用它们解决几何证明问题和生活应用问题
会分析正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系
在综合的实际问题情境中抽象出数学模型，建立形数之间的联系
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第五单元 第25讲
　1. 边长为4的正方形的对角线的长度为 .
第2题图
2. 操作1：同P87操作1，如图①，当两个三角形的形状
为 三角形时，四边形ABCD为正方形；操作2：
同P87操作2，如图②，两根木棒满足AC BD且
AC BD，四边形ABCD为正方形.
4 　
等腰直角　
＝　
⊥　
A
B
C
D
45°
正方形四条边都相等
四个角都是直角；
对角线互相垂直平分且相等
定义 有一组邻边相等且有一个角是 的平行四边形是正方形
性质 特殊的平行四边形、菱形、矩形：具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质.边：四条边都相等；角：四个角都是 ；对角线：对角线互相 且相等，每条对角线 一组对角.对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 条对称轴
直角　
直角　
垂直平分　
平分　
四　
面积 面积：S＝a2＝ l2(a表示边长，l表示对角线的长)
教材 典型 应用 已知OE⊥OF.
结论：△OEB≌△OFC→OE＝OF，
S四边形OEBF＝S△BOC＝ S正方形ABCD. 见P96T4
考点 　正方形的性质
考点清单
判定 方法 (1)定义法：有一组邻边相等且有一个角是 的
平行四边形是正方形；
(2)有一组邻边相等的 是正方形；
(3)有一个角是直角的 是正方形；
(4)对角线互相垂直的 是正方形；
(5)对角线相等的 是正方形
直角　
矩形　
菱形　
矩形　
菱形　
考点 　正方形的判定
中点四
边形 中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关：
(1)任意四边形 平行四边形；
(2)对角线相等的四边形 菱形；
(3)对角线互相垂直的四边形 矩形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形 正方形
考点清单
重难精讲
变式探究
03
第五单元 第25讲
例　如下图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上.
(1)若四边形BEDF为正方形.
①求证：AE＝CF；
②已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
①证明：∵四边形BEDF为正方形，
∴DF＝EB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
∴AB－EB＝DC－DF. ∴AE＝CF.
②解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB
＝5，四边形BEDF为正方形，
∴5DE＝20，DE＝EB. ∴DE＝EB＝4.
∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.
由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
AB＝CD
DF＝BE
1
4
AB－EB＝DC－DF
AE＝CF
S ABCD＝AB·DE＝20
DE＝4
BE＝4
AE＝1
4
5
CF＝1
1
例　如下图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上.
(2)【逆向设问】已知DE⊥AB于点E，BF⊥CD于点F，AB＝7，
AD＝5，平行四边形ABCD的面积为28，求证：四边形BEDF是正方形.
证明：∵DE⊥AB于点E，BF⊥CD于点F，
∴∠DEB＝90°，∠DFB＝90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.
∴∠FDE＝∠DEB＝90°.∴四边形BEDF是矩形.
∵AB＝7，平行四边形ABCD的面积为28，
∴DE＝28÷7＝4.
在Rt△ADE中，∴AE＝ ＝3.
∴BE＝7－3＝4.∴BE＝DE. ∴四边形BEDF是正方形.
7
5
易证四边形BEDF是矩形
4
易得DE＝4
由勾股定理得AE＝3
易得BE＝4
3
DE＝BE
四边形BEDF是正方形
4
1. (2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF. 若
∠FEO＝45°，则 的值为 　 　.
第1题图
　
2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　C　)
A. 对角线相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行
C
3. 如图，在正方形ABCD中，连接AC，AE平分∠BAC交
BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF. 若BE＝AF，则
∠CDF的度数为(　C　)
A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5°
C
∠BAC＝45°
∠B＝∠DAF＝90°
AB＝AD
∠BAE＝∠BAC＝22.5°
BE＝AF
△ABE≌△DAF
∠BAE＝∠ADF＝22.5°
∠CDF＝67.5°
4. (人教版八下P63实验与探究变式)如下图，正方形ABCD的对
角线AC，BD交于点O，点E是AB上的一点，连接OE，过点O作OF⊥OE交BC于点F. 若AD＝2，
则四边形BFOE的面积为(　B　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
B
2
∠EOF＝90°
∠BOE＝∠COF
∠BOC＝90°
BO＝OC
∠OBE＝∠OCF＝45°
△OBE≌△OCF
S四边形BFOE＝S△OBC＝S正方形ABCD
S四边形BFOE＝×2×2＝1
∠BOF
是共角
5. 如图，顺次连接四边形ABCD边AB，BC，CD，AD的中
点得到四边形EFGH.
第5题图
①当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形；
②当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形；
③当AC与BD互相垂直且相等时，四边形
EFGH为正方形；
④当四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是矩形；
⑤当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形；
⑥当四边形ABCD是等腰梯形时，四边形EFGH是菱形.
以上说法中，正确的有 (填序号).
③⑤⑥　
6. (2022·邵阳)如下图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求
证：四边形AECF是正方形.
第6题图
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.
∴四边形AECF是菱形.
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.
∴菱形AECF是正方形.
7. (2024·资阳)第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如下
图①所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦
图”.如下图②所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形
(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼
成的大正方形ABCD. 若EF∶AH＝1∶3，则 sin ∠ABE＝
(　C　)
A. B. C. D.
第7题图
C
8. (2024·北京)如下图，在正方形ABCD中，点E在AB上，
AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. 若AD＝5，CG＝4，则
△AEF的面积为 .
第8题图
　
【辅助设问】正方形中出现除边长以外的垂线，易得全等或相
似，由题意可得：△CDG≌△ ，
△AFE∽△ (答案不唯一，填一个即可).
DAF　
DFA　
9. (2024·盐城)如下图①，点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，连接AF，CE交于点M，连接AG，CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”.
第9题图
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
∵点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，
∴AE＝ AB＝ CD＝CG，AE∥CG.
∴四边形AECG为平行四边形.
同理可得四边形AFCH为平行四边形.
∴AM∥CN，AN∥CM.
∴中顶点四边形AMCN是平行四边形.
(2)如上图②，连接AC，BD交于点O，可得M，N两点都在
BD上，当 ABCD满足 时，中顶点四边形
AMCN是菱形.
AC⊥BD　
9. (2024·盐城)如下图①，点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，连接AF，CE交于点M，连接AG，CH交于点N，将四边形AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”.
第9题图
课堂小结
正方形
定义
判定
正方形
中点四边形
性质