第26讲　 圆的基本性质 2025年中考一轮数学专题复习课件（湖南）(共22张PPT)

(共22张PPT)
第26讲 圆的基本性质
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第六单元 第26讲
课标要求 作业目标
圆 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念. 2.探索并证明垂径定理及其推论. 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论. 理解圆、弧、弦、圆心角的概念,了解等圆、等弧的概念
掌握垂径定理及推论，会运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并能解决一些实际问题
理解弧、弦、圆心角的关系
理解圆周角、圆内接四边形的定义，掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系，掌握圆周角定理及其推论，掌握圆内接四边形的性质
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第六单元 第26讲
1. “圆、等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形”中，
既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 .
2. (2024·甘肃改编)如右图，点A，B，C在☉O上，
AC⊥OB，垂足为点D，若∠B＝60°，
弦AC的长为4 ，则∠COB＝ °，
☉O的半径r＝ .
圆　
60　
4　
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
∠BDA＝90°
∠BAC＝30°
∠COB＝60°
由垂径定理得CD＝2
r＝4
定义 圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，
其中定点称为 ，定长称为半径，
以点O为圆心的圆记作☉O，
线段OA叫作半径
对称性 (1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
(2)圆是中心对称图形， 是它的对称中心；
(3)圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
圆心　
圆心　
考点 　圆的定义及对称性
考点清单
垂径定理 【2022课标要求变化：选学内容变为必学内容】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 .即如左图，CD⊥AB，CD是直径→
AM＝BM＝ AB，＝ ， ＝
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.即如上图，AM＝BM，CD是直径
→CD AB， ＝ ， ＝
两条弧
　
　
　
⊥　
　
　
延伸 (1)根据圆的对称性，在以下五个结论中：① ＝ ；② ＝ ；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三.
(2)常作辅助线：过圆心作弦的垂线或连接半径，构
造直角三角形解题，得a2＋d2＝r2
考点 　垂径定理及其推论【省卷T26，长沙T9】
考点清单
弧、弦、
圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.如左图，∠AOB＝∠COD→ ＝ ，AB＝
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如左图， ＝ →∠AOB＝ ，AB＝ ；
AB＝CD→∠AOB＝ ， ＝ _______
　
CD　
∠COD　
CD　
∠COD　
　
圆周角定
理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.即如左图，∠A＝ ∠BOC
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.如左图，已知∠A和∠D是 所对的圆周角，则∠A＝ ；已知 ＝ ，
则∠A＝
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.如左图，已知AB是直径，则∠ACB＝ ；已知∠ACB是直角，则AB是直径
　
∠D　
∠D或∠BCD　
90°　
考点 　弧、弦、圆心角、圆周角【省卷T7，长沙T24】
考点清单
性质
(1)圆内接四边形的对角互补.如左图，
∠A＋∠BCD＝ ，∠B＋∠D＝ ；
(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对
角.如左图，∠DCE＝ ；
(3)常用拓展：连接BO，DO，
则∠DCE＝∠A＝ ∠BOD
180°　
180°　
∠A　
考点 　圆内接四边形【长沙T24】
考点清单
重难精讲
变式探究
03
第六单元 第26讲
例1　(2023·永州改编)如下图，☉O是一个盛有水的容器的横
截面，☉O的半径为 10 cm，水面的宽CD＝12 cm，往容器中加水后，水面上升了 2 cm，
则此时水面的宽度AB＝ cm.
16　
E
F
CD∥AB
OF⊥AB
CE＝CD＝6
OC＝10
在Rt△OEC中，OE＝8
EF＝2
OF＝OE－EF＝6
在Rt△OEC中，AF＝8
10　
6　
AB＝2AF＝16
变式题图
D
C
B
A
E
F
O
【易错变式】如图，一下水管横截面为圆形，直径为 100 cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为 80 cm，则水位上升 cm.
10或70　
运用垂径定理时，通常需要构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，再运用勾股定理或锐角三角函数求解.
由勾股定理得，
OE＝40，OF＝30
方法同例1
30　
OC＝OA＝50
AF＝40
CE＝30
水位上升EF＝10
分两种情况讨论：
①水位上升在O点的下方
②水位上升在O点的上方
同理OP＝30
B′
A′
P
30　
10　
OA′＝50，A′P＝40
50　
水位上升EP＝70
1. (2024·新疆)如下图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，
AB⊥CD，垂足为点E. 若CD＝8，OD＝5，则BE的长为
(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1题图
B
2. (2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为(　　)
A. 50cm B. 35cm
C. 25cm D. 20cm
第2题图
C
例2　(2024·云南)如下图，CD是☉O的直径，点A，B在☉O
上.若 ＝ ，∠AOC＝36°，则∠D＝(　B　)
例2题图
B
A. 9°
B. 18°
C. 36°
D. 45°
同弧或等弧所对的圆心角相等
∠AOC＝∠COB＝36°
∠D＝∠COB＝18°
例3　(2022·湘潭)如下图，在☉O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，AD.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若AD＝3，∠C＝30°，求☉O的半径.
　例3题图
证明：∵∠C＝∠B，
∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB.
解：∵∠C＝∠B，
∠C＝30°，
∴∠B＝30°.
∵AB是☉O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°.
∴AB＝6.
∴☉O的半径为3.
同弧或等弧所对的圆周角相等
∠C＝∠B
∠AEC＝∠DEB
3　
∠C＝∠B＝30°
直径所对的圆周角等于90°
∠ADB＝90°
AB＝6
☉O的半径为3
3. (2023·长沙)如右图，点A，B，C在半径为2的
☉O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为点E，
交☉O于点D，连接OA，则OE的长度为 .
第3题图
1　
4. (2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(　B　)
A. 100° B. 110°
C. 120° D. 130°
B
第4题图
例4　(2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于☉O，
若四边形OABC是菱形，则∠D＝ °.
60　
例4题 图
∠ABC＝∠AOC
∠ABC＋∠D＝180°
∠AOC＝2∠D
3∠D＝180°
∠D＝60°
5. (2024·广元)如下图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边
形，点E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE＝
(　A　)
A. 64° B. 60°
C. 54° D. 52°
A
第5题图
6. (改编题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半
轴上，点B在y轴正半轴上.☉D经过A，B，O，C四点，连
接AB，AC，OC，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心D的坐标
为 .
第6题图
(－ ，1)　
课堂小结
圆的基本概念与性质
圆
弧
圆的相关概念
圆心角、弦、弧之间的关系
弦与直径
圆心角
弦心距
圆周角
圆周角定理及其推论、圆的内接四边形
垂径定理及其推论