第24章 圆 圆中常用辅助线的作法专项练（含答案）2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

圆--圆中常用辅助线的作法 专项练
一、单选题
1．如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．3
2．如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
3．如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形内接于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）

A．4 B．5 C． D．
6．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
7．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ．
8．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
9．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
10．如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ．
11．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
三、解答题
12．如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，，求的长．
13．如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
14．如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．
15．如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．

(1)求证：；
(2)若，求的直径．
16．如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
17．已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)如图①，若为的中点，求的大小；
(2)如图②，连接与相交于点，求证：．
18．如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．

(1)求证：；
(2)求的半径长．
(3)求线段的长．
19．如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
参考答案：
1．D
解：如图，作于，于，连接，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
2．A
解：连接，则，过点O作交于点D，
∵若，
∴，
则=
∴．
3．A
解：连接，
由题意可得，是的垂直平分线，
，
设，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
4．B
解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，点是线段的中点，
∴在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
5．C
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
6．A
解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
7．
解：作于点，于点，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：．
8．/
解：∵中，，，，
∴，
如图，连接，
∵以为直径作，
∴，
∴，
∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
∴当，，在同一直线上时，最小，，
∴，即的最小值，
故答案为：．
9．
解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
10．4
解：延长交于点K，连接，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，的值最大，
即当为直径时，的值最大，
∵的直径，
∴，
故答案为：4．
11．/
解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
12．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
在中，，在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴为的中位线，
∴．
13．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)的半径为
（1）由圆周角可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）延长交于，
∵延长交于点F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
中，，
∴
解得，
∴的半径为．
14．(1)见详解
(2)见详解
（1）连接，交于点N，如图，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，且在（1）已证明，
即．
15．(1)见解析
(2)5
（1）证明：连接，如图，

∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点T，如图，

∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；
16．(1)
(2)见详解
（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
17．(1)
(2)见解答
（1）解：连接，如图①，
与相切于点，
，
，
为的中点，
，
，
在中，，
，
点为的中点，
，
，
；
（2）证明：连接，如图②，
点为的中点，
，
，
，
又，
，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)3
(3)
（1）证明：连接，
，是的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，设，
则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
即的半径为3．
（3）解：在和中，根据勾股定理得：
，
，
，，
，
，即：，
．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴
．在 中，
，
在中，
．