人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.1 图形的相似
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.1 图形的相似 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 10:45:14 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.1 图形的相似
学习目标
1 了解相似图形和相似多边形的概念.
2 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.
老师告诉你
相似形的特征：
相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似形不仅指平面图形，也包括立体图形；
（4）两个图形相似，可以看作由一个图形放大或缩小得到的，不是把一个图形拉长或加宽得到的。
一、知识点拨
知识点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【新知导学】
【例1-1】．如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【例1-4】．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ．
【对应导练】
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
4．已知，求的值．
知识点2 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【新知导学】
【例2-1】．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【例2-2】．若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（结果保留根号）．
【对应导练】
1．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
2．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
知识点3 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【新知导学】
【例3-1】．下列说法不正确的是（ ）
A．客机模型与客机相似
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
【例3-2】．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？
【对应导练】
1．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
2．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
知识点4 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【新知导学】
【例4-1】．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【例4-2】．如图，四边形四边形．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【对应导练】
1．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
2．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．
二、题型训练
判断两个图形是否相似
1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（ ）
A． B． C． D．
2．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
2.黄金分割确定线段长度
4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ）
A． B．点是线段的黄金分割点
C． D．
6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
3.比例性质的应用
7．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
8．活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
9．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
3．如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
5．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如果，那么
10．已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是 ．
11．若，且，则 ．
12．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
13．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
15．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）．
17．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
19．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务．
仰视、俯视读数是否有误差的数学解释实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为．求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下：如图，连接，，．∵C为的中点，∴．∵，∴是的中位线，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C为的中点，……
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______；
(2)补全研究报告中“……”部分的内容；
(3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”）
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.1 图形的相似
学习目标：
1 了解相似图形和相似多边形的概念.
2 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.
老师告诉你
相似形的特征：
相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似形不仅指平面图形，也包括立体图形；
（4）两个图形相似，可以看作由一个图形放大或缩小得到的，不是把一个图形拉长或加宽得到的。
一、知识点拨
知识点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【新知导学】
【例1-1】．如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，以及比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据题意可得，则，据此对每个选项进行对比变形即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，故B符合题意，A不符合题意；
C、，则，故C不符合题意；
D、，则，则，故不符合题意，
故选：B．
【例1-2】．下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可．
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故选：B．
【例1-4】．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设它们的比例中项为，
是长度分别为1、4的两条线段的比例中项，
，
即，
（负数舍去），
它们的比例中项线段长为．
故答案为：2．
【对应导练】
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
B、，故四条线段成比例，故符合题意；
C、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
D、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B．
2．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比例中项的定义，根据线段是线段，的比例中项，则，然后代入求解即可，解题的关键是掌握比例中项的性质．
【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可．
【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为，
，
即．
故答案为：2．
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案．
【详解】解：设，且，
则，
∴
知识点2 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【新知导学】
【例2-1】．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【答案】D
【分析】本题属于概念理解类题目，解题的关键是掌握黄金分割的定义“若点C把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，且”；根据黄金分割的定义，分别对各个选项进行判断，问题即可得解．
【详解】解：根据黄金分割的定义可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【例2-2】．若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查黄金分割比例的实际应用、解分式方程．理解题意，掌握“黄金比”的定义是解题关键．设演员的上半身长为，则掂起脚尖身高为，下半身长为．根据“黄金比”可列出关于x的方程，求解即可．
【详解】解：设演员的上半身长为，
∵芭蕾舞演员的身高为，
∴掂起脚尖身高为，下半身长为．
∵此时上半身长与下半身长之比恰好满足黄金比，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴该演员的上半身长为．
故答案为：．
【对应导练】
1．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离．
【详解】解：设，则，
，
，
解得（舍），
，
同理可求， ，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识．
（1）按照作图步骤作出图形即可；
（2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）证明：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点P是线段的黄金分割点．
知识点3 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【新知导学】
【例3-1】．下列说法不正确的是（ ）
A．客机模型与客机相似
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
【答案】C
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：A．客机模型与客机相似，正确；
B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确；
C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确；
D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确；
故选C．
【例3-2】．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？
【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同
【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键．
【详解】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同．
【对应导练】
1．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
【答案】不能，见解析
【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解．
【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
即宽度为0米的小路不存在，
∴做不到．
【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）．
2．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨．
知识点4 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【新知导学】
【例4-1】．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可．
【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确．
故选：D．
【例4-2】．如图，四边形四边形．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
（1）根据四边形内角和算出的度数，再根据相似多边形的性质即可求解；
（2）根据相似多边形的性质得出，即可求解；
【详解】（1）解：在四边形，，
∵四边形四边形，
∴．
（2）解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【对应导练】
1．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案．
【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为．
由题意可得，所以．
将的两边同除以，得，
所以．
因为矩形的长和宽均为正数，所以．
故原矩形的长和宽的比为．
2．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．
【答案】，
【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．四边形与四边形相似，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，，相似四边形的对应边成比例，即可求得的长，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数，即可求出的度数．
【详解】解：四边形与四边形相似，，
，，，
，
，
．
二、题型训练
判断两个图形是否相似
1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确;
C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误；
D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可；
(2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键．
3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边，
∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
2.黄金分割确定线段长度
4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
设，，
∴
∴（负值舍去）
∴
故选：B．
5．如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ）
A． B．点是线段的黄金分割点
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形性质以及黄金分割的定义，熟练掌握基本知识点是解题关键．
设，则，通过勾股定理求出，进而得到，再逐一判断即可．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C错误，
∴，故D正确，
∴，故点不是线段的黄金分割点，故B错误，
若，在直角三角形中会有，但是与前面得到矛盾，故，故A错误．
故选：D ．
6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
∴，
故答案为∶．
3.比例性质的应用
7．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
【答案】成比例，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答．
【详解】解：成比例．理由如下：
， ，
， ，
∴，
∴，
∴线段、、、成比例．
8．活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等：
（1）根据图示和等高线的定义求解即可；
（2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可；
（4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可；
（5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可．
【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米，
故答案为：100；
（2），
故答案为：；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为，
故选：G；
（4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向，
故答案为：南；东；
（5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，
∴不公平，化学小组被坑了；、
设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下：
设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率．
9．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
【答案】
【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，，宽，，
由，
得
即
∴
开平方，得， （舍去）．
【点睛】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质即可解答．
【详解】解：根据比例的性质可得．
故选：B．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意；
C、两个正方形一定相似，符合题意；
D、两个菱形不一定相似，不符合题意．
故选：C．
3．如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
但不能得到，即选项D不正确．
故选：D
4．已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故选：A．
5．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故选：．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故选：B ．
7．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．
【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意
B. 两个图形是相似图形，不符合题意；
C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意；
D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意．
故选：C．
8．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴设，则，
∵，
∴
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如果，那么
【答案】12
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由可得把两式相乘即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：12．
10．已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是 ．
【答案】
【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键．
【详解】解：设线段的比例中项是c，则
∴
∴（负值舍去）
故答案为：．
11．若，且，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据，可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10
12．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
故答案为：．
13．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵四边形是一张矩形纸片，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
【答案】能，
【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：能．求解过程如下：
七边形与七边形相似，且其相似比等于，
七边形与七边形的面积比为，则，
．
故七边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方．
15．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)9：4
【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形；
（2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形；
（3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比．
【详解】（1）解：如图1，①即为所求．
（2）解：如图2，②即为所求．
（3）解：①的面积：
②的面积：
面积比：18:8=9:4
∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4．
故答案为：9:4．
【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号．
16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键．
根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解．
【详解】解：四边形是正方形，
．
又，
，
，
四边形是矩形，
．
又，
．
17．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
（1）利用已知条件得到，进而代入求出答案．
（2）设，代入化简即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以．
（2）解：设，
所以．
18．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识．
（1）按照作图步骤作出图形即可；
（2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）证明：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点P是线段的黄金分割点．
19．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务．
仰视、俯视读数是否有误差的数学解释实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为．求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下：如图，连接，，．∵C为的中点，∴．∵，∴是的中位线，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C为的中点，……
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______；
(2)补全研究报告中“……”部分的内容；
(3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”）
【答案】(1)直径
(2)见解析
(3)会
【分析】（1）根据直角所对的弦是直径即可求解；
（2）进而得出，即可得出，进而即可求解；
（3）根据（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）∵，∴是的直径
故答案为：直径．
（2）如图，连接，，．
∵C为的中点，∴．
∵，∴是的中位线，
∴．
∵，∴是的直径，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∵C为的中点，，
∴，
∴
∴，
（3）∵
∴由研究报告，可知仰视读数和俯视读数会产生误差．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的性质，直角所对的弦是直径，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.1 图形的相似
学习目标
1 了解相似图形和相似多边形的概念.
2 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.
老师告诉你
相似形的特征：
相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似形不仅指平面图形，也包括立体图形；
（4）两个图形相似，可以看作由一个图形放大或缩小得到的，不是把一个图形拉长或加宽得到的。
一、知识点拨
知识点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【新知导学】
【例1-1】．如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【例1-4】．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ．
【对应导练】
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
4．已知，求的值．
知识点2 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【新知导学】
【例2-1】．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【例2-2】．若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（结果保留根号）．
【对应导练】
1．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
2．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
知识点3 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【新知导学】
【例3-1】．下列说法不正确的是（ ）
A．客机模型与客机相似
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
【例3-2】．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？
【对应导练】
1．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
2．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
知识点4 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【新知导学】
【例4-1】．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【例4-2】．如图，四边形四边形．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【对应导练】
1．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
2．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．
二、题型训练
判断两个图形是否相似
1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（ ）
A． B． C． D．
2．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
2.黄金分割确定线段长度
4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ）
A． B．点是线段的黄金分割点
C． D．
6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
3.比例性质的应用
7．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
8．活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
9．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
三、课堂达标
一、单选题（每小题3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
3．如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
5．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如果，那么
10．已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是 ．
11．若，且，则 ．
12．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
13．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
15．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）．
17．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
19．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务．
仰视、俯视读数是否有误差的数学解释实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为．求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下：如图，连接，，．∵C为的中点，∴．∵，∴是的中位线，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C为的中点，……
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______；
(2)补全研究报告中“……”部分的内容；
(3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”）
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.1 图形的相似
学习目标：
1 了解相似图形和相似多边形的概念.
2 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3 掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.
老师告诉你
相似形的特征：
相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似形不仅指平面图形，也包括立体图形；
（4）两个图形相似，可以看作由一个图形放大或缩小得到的，不是把一个图形拉长或加宽得到的。
一、知识点拨
知识点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【新知导学】
【例1-1】．如果线段a，b，c，d是成比例线段，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，以及比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据题意可得，则，据此对每个选项进行对比变形即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，故B符合题意，A不符合题意；
C、，则，故C不符合题意；
D、，则，则，故不符合题意，
故选：B．
【例1-2】．下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可．
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故选：B．
【例1-4】．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设它们的比例中项为，
是长度分别为1、4的两条线段的比例中项，
，
即，
（负数舍去），
它们的比例中项线段长为．
故答案为：2．
【对应导练】
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
B、，故四条线段成比例，故符合题意；
C、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
D、，故四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B．
2．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比例中项的定义，根据线段是线段，的比例中项，则，然后代入求解即可，解题的关键是掌握比例中项的性质．
【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可．
【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为，
，
即．
故答案为：2．
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案．
【详解】解：设，且，
则，
∴
知识点2 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【新知导学】
【例2-1】．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【答案】D
【分析】本题属于概念理解类题目，解题的关键是掌握黄金分割的定义“若点C把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，且”；根据黄金分割的定义，分别对各个选项进行判断，问题即可得解．
【详解】解：根据黄金分割的定义可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【例2-2】．若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 ．（结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查黄金分割比例的实际应用、解分式方程．理解题意，掌握“黄金比”的定义是解题关键．设演员的上半身长为，则掂起脚尖身高为，下半身长为．根据“黄金比”可列出关于x的方程，求解即可．
【详解】解：设演员的上半身长为，
∵芭蕾舞演员的身高为，
∴掂起脚尖身高为，下半身长为．
∵此时上半身长与下半身长之比恰好满足黄金比，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴该演员的上半身长为．
故答案为：．
【对应导练】
1．如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离．
【详解】解：设，则，
，
，
解得（舍），
，
同理可求， ，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识．
（1）按照作图步骤作出图形即可；
（2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）证明：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点P是线段的黄金分割点．
知识点3 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【新知导学】
【例3-1】．下列说法不正确的是（ ）
A．客机模型与客机相似
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
【答案】C
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：A．客机模型与客机相似，正确；
B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确；
C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确；
D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确；
故选C．
【例3-2】．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？
【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同
【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键．
【详解】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同．
【对应导练】
1．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．
【答案】不能，见解析
【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解．
【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
即宽度为0米的小路不存在，
∴做不到．
【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）．
2．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨．
知识点4 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【新知导学】
【例4-1】．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可．
【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确．
故选：D．
【例4-2】．如图，四边形四边形．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
（1）根据四边形内角和算出的度数，再根据相似多边形的性质即可求解；
（2）根据相似多边形的性质得出，即可求解；
【详解】（1）解：在四边形，，
∵四边形四边形，
∴．
（2）解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【对应导练】
1．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案．
【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为．
由题意可得，所以．
将的两边同除以，得，
所以．
因为矩形的长和宽均为正数，所以．
故原矩形的长和宽的比为．
2．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．
【答案】，
【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．四边形与四边形相似，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，，相似四边形的对应边成比例，即可求得的长，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数，即可求出的度数．
【详解】解：四边形与四边形相似，，
，，，
，
，
．
二、题型训练
判断两个图形是否相似
1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确;
C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误；
D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可；
(2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键．
3．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边，
∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
2.黄金分割确定线段长度
4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
设，，
∴
∴（负值舍去）
∴
故选：B．
5．如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ）
A． B．点是线段的黄金分割点
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形性质以及黄金分割的定义，熟练掌握基本知识点是解题关键．
设，则，通过勾股定理求出，进而得到，再逐一判断即可．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C错误，
∴，故D正确，
∴，故点不是线段的黄金分割点，故B错误，
若，在直角三角形中会有，但是与前面得到矛盾，故，故A错误．
故选：D ．
6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
∴，
故答案为∶．
3.比例性质的应用
7．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
【答案】成比例，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答．
【详解】解：成比例．理由如下：
， ，
， ，
∴，
∴，
∴线段、、、成比例．
8．活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）
有两组没有标签的化学试剂：
第一组 稀 稀 溶液 溶液
第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸性 稀 稀 稀
碱性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等：
（1）根据图示和等高线的定义求解即可；
（2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可；
（4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可；
（5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可．
【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米，
故答案为：100；
（2），
故答案为：；
（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为，
故选：G；
（4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向，
故答案为：南；东；
（5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，
∴不公平，化学小组被坑了；、
设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下：
设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，
∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为，
∵，
∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率．
9．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
【答案】
【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，，宽，，
由，
得
即
∴
开平方，得， （舍去）．
【点睛】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质即可解答．
【详解】解：根据比例的性质可得．
故选：B．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意；
C、两个正方形一定相似，符合题意；
D、两个菱形不一定相似，不符合题意．
故选：C．
3．如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
但不能得到，即选项D不正确．
故选：D
4．已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故选：A．
5．随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故选：．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故选：B ．
7．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．
【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意
B. 两个图形是相似图形，不符合题意；
C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意；
D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意．
故选：C．
8．如图，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴设，则，
∵，
∴
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如果，那么
【答案】12
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由可得把两式相乘即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：12．
10．已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是 ．
【答案】
【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键．
【详解】解：设线段的比例中项是c，则
∴
∴（负值舍去）
故答案为：．
11．若，且，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据，可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10
12．如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
故答案为：．
13．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵四边形是一张矩形纸片，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
【答案】能，
【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：能．求解过程如下：
七边形与七边形相似，且其相似比等于，
七边形与七边形的面积比为，则，
．
故七边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方．
15．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)9：4
【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形；
（2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形；
（3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比．
【详解】（1）解：如图1，①即为所求．
（2）解：如图2，②即为所求．
（3）解：①的面积：
②的面积：
面积比：18:8=9:4
∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4．
故答案为：9:4．
【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号．
16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键．
根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解．
【详解】解：四边形是正方形，
．
又，
，
，
四边形是矩形，
．
又，
．
17．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
（1）利用已知条件得到，进而代入求出答案．
（2）设，代入化简即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以．
（2）解：设，
所以．
18．（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识．
（1）按照作图步骤作出图形即可；
（2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）证明：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点P是线段的黄金分割点．
19．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务．
仰视、俯视读数是否有误差的数学解释实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为．求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下：如图，连接，，．∵C为的中点，∴．∵，∴是的中位线，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C为的中点，……
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______；
(2)补全研究报告中“……”部分的内容；
(3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”）
【答案】(1)直径
(2)见解析
(3)会
【分析】（1）根据直角所对的弦是直径即可求解；
（2）进而得出，即可得出，进而即可求解；
（3）根据（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）∵，∴是的直径
故答案为：直径．
（2）如图，连接，，．
∵C为的中点，∴．
∵，∴是的中位线，
∴．
∵，∴是的直径，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∵C为的中点，，
∴，
∴
∴，
（3）∵
∴由研究报告，可知仰视读数和俯视读数会产生误差．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的性质，直角所对的弦是直径，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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