人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.1 相似三角形的判定1（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.1 相似三角形的判定1（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 10:47:08 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
学习目标：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行线分线段成比例定理推论过程。
3）运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
学习重点：掌握平行线分线段成比例定理和推论。
学习难点：运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
老师告诉你
“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在解有关三角形相似的题中，常常作平行线构造三角形与已知三角形相似。
在线段较多的图形中寻找相似三角形时，如果图中有线段平行的条件，那么在图形中寻找符合“A”字形或“X”字形的基本图形，这种方法是解答此类题常用的方法。
一、知识点拨
知识点1 、平行线分线段成比例
1．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要点解读
(1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段．
(2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比．
【新知导学】
例1-1．如图,直线,直线AC分别交,,于点A,B,C；直线DF分别交,,于点D,E,F.且,,则的值为( )
A. B. C. D.
例1-2．如图,已知,直线,,分别交直线于点A、B、C,交直线于点D、E、F,那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，下列比例式中，不正确的是( )
A. B. C. D.
2．在中,D.F.E分别在边BC.AB.AC上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
3．如图①,在中,点D、E分别是AB、AC上的点,.
(1)若,,,求CE的长.
(2)连接BE,作交AC于点F,如图②,求证：.
知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝.
【新知导学】
例2-1．如图,在中,点D、E分别在、上,.若,,则的值为( )
A. B. C. D.2
例2-2．如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图,装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍.工人师傅为了解桶内所装液体的体积,先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A,并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m,搅拌棍A到底端D处的长度为,最后测量出桶的高为,圆桶内壁的底面直径为.已知桶内的液面与桶底面平行,其平面示意图如图2所示.请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留)
2．如图，已知，，，，.
（1）求CE的长；
（2）求AB的长.
3．如图，点D、E是边，上的点，，连接，，交点为F，，那么的值是___________.
4．如图，已知点F在AB上，且，点D是BC延长线上一点，，连接FD、AC，交于点N，则___________.
知识点3、 用平行线判定三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知导学】
例3-1.如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2 .如图，，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
【对应导练】
1 .如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
2 .如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
3 .如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
二、题型训练
1.利用平行线分线段成比例证明比例线段
1．在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞同学在研究某一问题时，发现：
（1）当时，有（如图①）；
（2）当时，有（如图②）；
（3）当时，有（如图③）.
在图④中，当（n为正整数）时，参照上述研究结论，请用含n的代数式表示的一般结论并证明.
2．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，AD平分，则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作.交BA的延长线于点E.
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知中，，，，AD平分，求的周长.
.
3．如图，在中，D是上一点，E是内一点，，过点D作的平行线交的延长线于点与交于点P，求证：.
2.利用平行线分线段成比例证明三角形相似
4．已知：如图，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的长；
（2）当，时，求EF的长.
5 .如图，在中，点D，E，F分别在上，．设，
(1)证明：
(2)求的长．
6．由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．
问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．
(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在和中，，．
①问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．
3.利用平行线分线段成比例求线段长度
7．如图，已知，它们依次交直线于点和.若，，
（1）求的长.
（2）如果，求的长.
8．如图,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
9．如图，在中，点F在上.
求线段的长.
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，过点作轴于点，连接，点是线段上一点，且．反比例函数的图像经过点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
8 .如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．
10．如图，、是三角形的边、上的点，，已知，，，则________．
11．如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么______．
12．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为_______．
13．如图，有一块纸质直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则纸条GD的长为 _____．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若，，求的长.
15．如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且.
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长.
16．已知:如图所示, 是中的外角的平分线.求证: 。
17．如图,梯形中, ,点是边的中点,联结并延长交的延长线于点,交于点.
（1）.若,,求线段的长;
（2）求证: .
18.如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
19 .如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)求．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
学习目标：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行线分线段成比例定理推论过程。
3）运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
学习重点：掌握平行线分线段成比例定理和推论。
学习难点：运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
老师告诉你
“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在解有关三角形相似的题中，常常作平行线构造三角形与已知三角形相似。
在线段较多的图形中寻找相似三角形时，如果图中有线段平行的条件，那么在图形中寻找符合“A”字形或“X”字形的基本图形，这种方法是解答此类题常用的方法。
一、知识点拨
知识点1 、平行线分线段成比例
1．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要点解读
(1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段．
(2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比．
【新知导学】
例1-1．如图,直线,直线AC分别交,,于点A,B,C；直线DF分别交,,于点D,E,F.且,,则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵直线
∴
故选：C.
例1-2．如图,已知,直线,,分别交直线于点A、B、C,交直线于点D、E、F,那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A.∵,
∴,故A正确；
B.根据无法判断,故B错误；
C.∵,
∴,
∵,
∴,故C错误；
D.∵,
∴,
∵,
∴,故D错误.
故选：A.
【对应导练】
1．如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，下列比例式中，不正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，
，，，
选项A、B、D均正确，选项C错误
.故选C.
2．在中,D.F.E分别在边BC.AB.AC上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四边形AFDE是平行四边形,
∴,.
∴.
故A错误；
∵,
∴.
故B正确；
∵,
∴,.
∴.
故C正确；
∵,,
∴,.
∴.
故D正确.
故选：A.
3．如图①,在中,点D、E分别是AB、AC上的点,.
(1)若,,,求CE的长.
(2)连接BE,作交AC于点F,如图②,求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)如图①.
∵,∴,即,∴,∴；
(2)如图②.
∵,∴.
∵,∴,∴,∴.
知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝.
【新知导学】
例2-1．如图,在中,点D、E分别在、上,.若,,则的值为( )
A. B. C. D.2
答案：A
解析：∵,,
∴,
∵,
∴；
故选：A.
例2-2．如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，.
，
.，
.
故选A.
【对应导练】
1．如图,装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍.工人师傅为了解桶内所装液体的体积,先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A,并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m,搅拌棍A到底端D处的长度为,最后测量出桶的高为,圆桶内壁的底面直径为.已知桶内的液面与桶底面平行,其平面示意图如图2所示.请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留)
答案：桶内所装液体的体积为立方米
解析：由题意得,,
,
,解得：,
∴桶内所装液体的体积(立方米).
答：桶内所装液体的体积为立方米.
2．如图，已知，，，，.
（1）求CE的长；
（2）求AB的长.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，即，
解得，则.
（2），，
即，解得.
3．如图，点D、E是边，上的点，，连接，，交点为F，，那么的值是___________.
答案：/
解析：如图所示，过D作，交于G，
则，即：，，
，即：，
∴.
故答案为：.
4．如图，已知点F在AB上，且，点D是BC延长线上一点，，连接FD、AC，交于点N，则___________.
答案：
解析：如图，过点F作，交AC于点E，
，，，
，即.
，.
，，
即.
知识点3、 用平行线判定三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知导学】
例3-1.如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
例3-2 .如图，，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】因为是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4对．
【详解】∵
∴，
∴，
∴；
∴共有4对．
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定：有两组对应角相等的三角形相似．
【对应导练】
1 .如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
【详解】
图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，
∴△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC,AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE.
故选：C.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定, 平行四边形的性质.
2 .如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
【答案】3：1
【分析】
根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出，再结合EC＝CD DE即可求出结论．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，
∴，
∵．
故答案为3：1．
3 .如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】
（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四边形ABCD内接于，
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键。
二、题型训练
1.利用平行线分线段成比例证明比例线段
1．在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞同学在研究某一问题时，发现：
（1）当时，有（如图①）；
（2）当时，有（如图②）；
（3）当时，有（如图③）.
在图④中，当（n为正整数）时，参照上述研究结论，请用含n的代数式表示的一般结论并证明.
答案：（n为正整数）.证明见解析
解析：（n为正整数）.证明如下：
过D作交AC于F，如图，
，，.
，，，
，，
（n为正整数）.
2．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，AD平分，则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作.交BA的延长线于点E.
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知中，，，，AD平分，求的周长.
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图2，过C作.交BA的延长线于E，
，
，，，
，
，
，
.
(2)如图3，，，，
，
AD平分，
，即，
，
，
的周长.
3．如图，在中，D是上一点，E是内一点，，过点D作的平行线交的延长线于点与交于点P，求证：.
答案：证明：,
2.利用平行线分线段成比例证明三角形相似
4．已知：如图，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的长；
（2）当，时，求EF的长.
答案：（1）4
（2）4
解析：（1）
（2）
，
，
，
，
，
5 .如图，在中，点D，E，F分别在上，．设，
(1)证明：
(2)求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）利用可直接得到；
（2）利用平行线分线段成比例可得：，从而代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
（2）∵，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例，掌握由平行判断相似的方法和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．
问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．
(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在和中，，．
①问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．
【答案】(1)①相似；证明见解析；②相似
(2)①相似；证明见解析；②两边对应成比例，夹角相等
【分析】（1）①过点D作DF∥AC，利用三角形相似的定义证明即可；②由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）①根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明；②由①中可知两边成比例且夹角相等，可以判定三角形相似进而可得答案．
【详解】（1）①相似．
证明如下：如图，过点D作交BC于点F
易得：四边形DECF是平行四边形，即DE=FC
由已知得 ，，
∵DE∥BC
∴
又∵DF∥AC
∴
∴
∴由相似三角形定义得：∽．
② 解：由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
故答案为：相似．
（2）①相似．
证明如下：如图，在AB上取一点D，使，过点D作交AC于点E
∵，，
∴∽
∴，， ，
∵，，
∴
∴
在和中，
∴≌（SAS）
又∵∽
∴ ∽．
②解：由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似
故答案为：两边对应成比例，夹角相等．
【点睛】本题考查相似三角形的定义及事实的应用，全等三角形的判定，平行线的性质．理解题意综合运用知识是解决本题的关键．
3.利用平行线分线段成比例求线段长度
7．如图，已知，它们依次交直线于点和.若，，
（1）求的长.
（2）如果，求的长.
答案：（1）
即
又∵,即
∴
(2)过A作交BE于H，交CF于G
∵
∴
又∵
又∵
故
8．如图,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
答案：∵EG∥BC,
∴.
又∵GF∥DC,
∴.
∴,即.
∴FD=4.
∴AD=AF+FD=10.
9．如图，在中，点F在上.
求线段的长.
答案：
又四边形是平行四边形，
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．
【详解】如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
2．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
3．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解．
【详解】 直线 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键．
4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；
【详解】A、∵，∴；选项正确，不符合题意；
B、∵，∴；选项正确，不符合题意；
C、∵，∴；选项错误，符合题意；
D、∵，∴；
∵，∴；
∴；选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．
5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例逐个选项判断即可．
【详解】∵平行四边形
∴，，，，
∵
∴，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确；，不符合题意
∵
∴，故选项C错误，符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，利用平行四边形得到平行进而得到比例是解题的关键．
6．如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【解析】
试题分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，过点作轴于点，连接，点是线段上一点，且．反比例函数的图像经过点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】过点作轴于点，则可得，从而得到，让根据得出的坐标为，然后得出点的纵坐标，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∵在反比例函数的图像上，
∴的坐标为，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，读懂题意得出的纵坐标是解本题的关键．
8 .如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【答案】B
【解析】
∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．
故选B．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．
【答案】4
【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=5，DE=2，AC=15，
∴BC=10，
∴
∴EF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键．
10．如图，、是三角形的边、上的点，，已知，，，则________．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找到对应线段是解题的关键．
11．如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么______．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
12．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为_______．
【答案】10
【分析】作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得：BD＝4，根据平行线分线段成比例定理可得B是PD的中点，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，则∠ODB＝90°，
∴BD＝AB，
∵AB＝8，
∴BD＝4，
∵CB⊥AP，
∴∠CBP＝90°，
∴∠CBP＝∠ODB
∴ODBC，
∴
∵C是OP的中点，
∴ PC＝PO
∴＝
∴B是PD的中点，
∴PB＝BD＝4，
∵BC＝3，
∴PC＝，
∴OP＝2PC＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂径定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是关键．
13．如图，有一块纸质直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则纸条GD的长为 _____．
【答案】6.5cm
【分析】设GD=xcm，根据D是AC的中点，得到AD=CD，根据矩形DEFG中，EF=GD=xcm，GD∥EF，推出AG=BG，BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，推出GD=BC，得到x= (x+6.5)，得到GD=6.5cm．
【详解】设GD=xcm，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵矩形DEFG中， DG∥EF，
∴
∴AG=BG，
∵EF=DG=xcm，BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，
∴DG=BC，
∴x= (x+6.5)，
∴x==6.5，
∴DG=6.5cm．
故答案为：6.5cm．
【点睛】本题主要考查了矩形，三角形中位线，平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边是性质，三角形中位线的性质．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若，，求的长.
答案：6
解析：，
，
，，
，
.
15．如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且.
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长.
答案：(1)
(2)
解析：（1），，，，
，
即，
解得；
（2），，，
，
即，
解得.
16．已知:如图所示, 是中的外角的平分线.求证: 。
答案：证明:过作与的延长线交于,则,
∵ (两直线平行,同位角相等)
(两直线平行,内错角相等)
(已知)
(等量代换)
,
∴。
17．如图,梯形中, ,点是边的中点,联结并延长交的延长线于点,交于点.
（1）.若,,求线段的长;
（2）求证: .
答案：（1）.∵,
∴.
且,
则.
（2）.同理:∵,
∴.
即.
18.如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可．
【详解】证明：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
19 .如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由，推出，得到，即可得到；
（2）由，推出，由，推出，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
学习目标：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行线分线段成比例定理推论过程。
3）运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
学习重点：掌握平行线分线段成比例定理和推论。
学习难点：运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
老师告诉你
“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在解有关三角形相似的题中，常常作平行线构造三角形与已知三角形相似。
在线段较多的图形中寻找相似三角形时，如果图中有线段平行的条件，那么在图形中寻找符合“A”字形或“X”字形的基本图形，这种方法是解答此类题常用的方法。
一、知识点拨
知识点1 、平行线分线段成比例
1．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要点解读
(1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段．
(2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比．
【新知导学】
例1-1．如图,直线,直线AC分别交,,于点A,B,C；直线DF分别交,,于点D,E,F.且,,则的值为( )
A. B. C. D.
例1-2．如图,已知,直线,,分别交直线于点A、B、C,交直线于点D、E、F,那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，下列比例式中，不正确的是( )
A. B. C. D.
2．在中,D.F.E分别在边BC.AB.AC上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
3．如图①,在中,点D、E分别是AB、AC上的点,.
(1)若,,,求CE的长.
(2)连接BE,作交AC于点F,如图②,求证：.
知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝.
【新知导学】
例2-1．如图,在中,点D、E分别在、上,.若,,则的值为( )
A. B. C. D.2
例2-2．如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图,装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍.工人师傅为了解桶内所装液体的体积,先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A,并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m,搅拌棍A到底端D处的长度为,最后测量出桶的高为,圆桶内壁的底面直径为.已知桶内的液面与桶底面平行,其平面示意图如图2所示.请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留)
2．如图，已知，，，，.
（1）求CE的长；
（2）求AB的长.
3．如图，点D、E是边，上的点，，连接，，交点为F，，那么的值是___________.
4．如图，已知点F在AB上，且，点D是BC延长线上一点，，连接FD、AC，交于点N，则___________.
知识点3、 用平行线判定三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知导学】
例3-1.如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2 .如图，，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
【对应导练】
1 .如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
2 .如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
3 .如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
二、题型训练
1.利用平行线分线段成比例证明比例线段
1．在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞同学在研究某一问题时，发现：
（1）当时，有（如图①）；
（2）当时，有（如图②）；
（3）当时，有（如图③）.
在图④中，当（n为正整数）时，参照上述研究结论，请用含n的代数式表示的一般结论并证明.
2．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，AD平分，则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作.交BA的延长线于点E.
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知中，，，，AD平分，求的周长.
.
3．如图，在中，D是上一点，E是内一点，，过点D作的平行线交的延长线于点与交于点P，求证：.
2.利用平行线分线段成比例证明三角形相似
4．已知：如图，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的长；
（2）当，时，求EF的长.
5 .如图，在中，点D，E，F分别在上，．设，
(1)证明：
(2)求的长．
6．由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．
问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．
(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在和中，，．
①问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．
3.利用平行线分线段成比例求线段长度
7．如图，已知，它们依次交直线于点和.若，，
（1）求的长.
（2）如果，求的长.
8．如图,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
9．如图，在中，点F在上.
求线段的长.
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，过点作轴于点，连接，点是线段上一点，且．反比例函数的图像经过点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
8 .如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．
10．如图，、是三角形的边、上的点，，已知，，，则________．
11．如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么______．
12．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为_______．
13．如图，有一块纸质直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则纸条GD的长为 _____．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若，，求的长.
15．如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且.
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长.
16．已知:如图所示, 是中的外角的平分线.求证: 。
17．如图,梯形中, ,点是边的中点,联结并延长交的延长线于点,交于点.
（1）.若,,求线段的长;
（2）求证: .
18.如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
19 .如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)求．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
学习目标：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行线分线段成比例定理推论过程。
3）运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
学习重点：掌握平行线分线段成比例定理和推论。
学习难点：运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
老师告诉你
“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在解有关三角形相似的题中，常常作平行线构造三角形与已知三角形相似。
在线段较多的图形中寻找相似三角形时，如果图中有线段平行的条件，那么在图形中寻找符合“A”字形或“X”字形的基本图形，这种方法是解答此类题常用的方法。
一、知识点拨
知识点1 、平行线分线段成比例
1．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图所示，l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要点解读
(1)对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段．
(2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比．
【新知导学】
例1-1．如图,直线,直线AC分别交,,于点A,B,C；直线DF分别交,,于点D,E,F.且,,则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵直线
∴
故选：C.
例1-2．如图,已知,直线,,分别交直线于点A、B、C,交直线于点D、E、F,那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A.∵,
∴,故A正确；
B.根据无法判断,故B错误；
C.∵,
∴,
∵,
∴,故C错误；
D.∵,
∴,
∵,
∴,故D错误.
故选：A.
【对应导练】
1．如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，下列比例式中，不正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，
，，，
选项A、B、D均正确，选项C错误
.故选C.
2．在中,D.F.E分别在边BC.AB.AC上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四边形AFDE是平行四边形,
∴,.
∴.
故A错误；
∵,
∴.
故B正确；
∵,
∴,.
∴.
故C正确；
∵,,
∴,.
∴.
故D正确.
故选：A.
3．如图①,在中,点D、E分别是AB、AC上的点,.
(1)若,,,求CE的长.
(2)连接BE,作交AC于点F,如图②,求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)如图①.
∵,∴,即,∴,∴；
(2)如图②.
∵,∴.
∵,∴,∴,∴.
知识点2 、平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图①②③所示，若DE∥BC，则有＝，＝，＝.
【新知导学】
例2-1．如图,在中,点D、E分别在、上,.若,,则的值为( )
A. B. C. D.2
答案：A
解析：∵,,
∴,
∵,
∴；
故选：A.
例2-2．如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，.
，
.，
.
故选A.
【对应导练】
1．如图,装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍.工人师傅为了解桶内所装液体的体积,先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A,并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m,搅拌棍A到底端D处的长度为,最后测量出桶的高为,圆桶内壁的底面直径为.已知桶内的液面与桶底面平行,其平面示意图如图2所示.请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留)
答案：桶内所装液体的体积为立方米
解析：由题意得,,
,
,解得：,
∴桶内所装液体的体积(立方米).
答：桶内所装液体的体积为立方米.
2．如图，已知，，，，.
（1）求CE的长；
（2）求AB的长.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，即，
解得，则.
（2），，
即，解得.
3．如图，点D、E是边，上的点，，连接，，交点为F，，那么的值是___________.
答案：/
解析：如图所示，过D作，交于G，
则，即：，，
，即：，
∴.
故答案为：.
4．如图，已知点F在AB上，且，点D是BC延长线上一点，，连接FD、AC，交于点N，则___________.
答案：
解析：如图，过点F作，交AC于点E，
，，，
，即.
，.
，，
即.
知识点3、 用平行线判定三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
因为DE∥BC，所以图①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似，如图①③.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE∥BC这一条件就能确定△ABC∽△ADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知导学】
例3-1.如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
例3-2 .如图，，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】因为是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4对．
【详解】∵
∴，
∴，
∴；
∴共有4对．
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定：有两组对应角相等的三角形相似．
【对应导练】
1 .如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
【详解】
图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，
∴△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC,AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE.
故选：C.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定, 平行四边形的性质.
2 .如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
【答案】3：1
【分析】
根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出，再结合EC＝CD DE即可求出结论．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，
∴，
∵．
故答案为3：1．
3 .如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】
（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四边形ABCD内接于，
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键。
二、题型训练
1.利用平行线分线段成比例证明比例线段
1．在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞同学在研究某一问题时，发现：
（1）当时，有（如图①）；
（2）当时，有（如图②）；
（3）当时，有（如图③）.
在图④中，当（n为正整数）时，参照上述研究结论，请用含n的代数式表示的一般结论并证明.
答案：（n为正整数）.证明见解析
解析：（n为正整数）.证明如下：
过D作交AC于F，如图，
，，.
，，，
，，
（n为正整数）.
2．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，AD平分，则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2，过点C作.交BA的延长线于点E.
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知中，，，，AD平分，求的周长.
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图2，过C作.交BA的延长线于E，
，
，，，
，
，
，
.
(2)如图3，，，，
，
AD平分，
，即，
，
，
的周长.
3．如图，在中，D是上一点，E是内一点，，过点D作的平行线交的延长线于点与交于点P，求证：.
答案：证明：,
2.利用平行线分线段成比例证明三角形相似
4．已知：如图，AC、BD相交于点O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的长；
（2）当，时，求EF的长.
答案：（1）4
（2）4
解析：（1）
（2）
，
，
，
，
，
5 .如图，在中，点D，E，F分别在上，．设，
(1)证明：
(2)求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）利用可直接得到；
（2）利用平行线分线段成比例可得：，从而代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
（2）∵，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例，掌握由平行判断相似的方法和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．
问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．
(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在和中，，．
①问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．
【答案】(1)①相似；证明见解析；②相似
(2)①相似；证明见解析；②两边对应成比例，夹角相等
【分析】（1）①过点D作DF∥AC，利用三角形相似的定义证明即可；②由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）①根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明；②由①中可知两边成比例且夹角相等，可以判定三角形相似进而可得答案．
【详解】（1）①相似．
证明如下：如图，过点D作交BC于点F
易得：四边形DECF是平行四边形，即DE=FC
由已知得 ，，
∵DE∥BC
∴
又∵DF∥AC
∴
∴
∴由相似三角形定义得：∽．
② 解：由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
故答案为：相似．
（2）①相似．
证明如下：如图，在AB上取一点D，使，过点D作交AC于点E
∵，，
∴∽
∴，， ，
∵，，
∴
∴
在和中，
∴≌（SAS）
又∵∽
∴ ∽．
②解：由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似
故答案为：两边对应成比例，夹角相等．
【点睛】本题考查相似三角形的定义及事实的应用，全等三角形的判定，平行线的性质．理解题意综合运用知识是解决本题的关键．
3.利用平行线分线段成比例求线段长度
7．如图，已知，它们依次交直线于点和.若，，
（1）求的长.
（2）如果，求的长.
答案：（1）
即
又∵,即
∴
(2)过A作交BE于H，交CF于G
∵
∴
又∵
又∵
故
8．如图,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
答案：∵EG∥BC,
∴.
又∵GF∥DC,
∴.
∴,即.
∴FD=4.
∴AD=AF+FD=10.
9．如图，在中，点F在上.
求线段的长.
答案：
又四边形是平行四边形，
三、课堂达标
一、单选题：（每小题4分，共32分）
1．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．
【详解】如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
2．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
3．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解．
【详解】 直线 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键．
4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；
【详解】A、∵，∴；选项正确，不符合题意；
B、∵，∴；选项正确，不符合题意；
C、∵，∴；选项错误，符合题意；
D、∵，∴；
∵，∴；
∴；选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．
5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例逐个选项判断即可．
【详解】∵平行四边形
∴，，，，
∵
∴，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确；，不符合题意
∵
∴，故选项C错误，符合题意；
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，利用平行四边形得到平行进而得到比例是解题的关键．
6．如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【解析】
试题分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，过点作轴于点，连接，点是线段上一点，且．反比例函数的图像经过点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】过点作轴于点，则可得，从而得到，让根据得出的坐标为，然后得出点的纵坐标，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∵在反比例函数的图像上，
∴的坐标为，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，读懂题意得出的纵坐标是解本题的关键．
8 .如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【答案】B
【解析】
∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．
故选B．
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．
【答案】4
【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=5，DE=2，AC=15，
∴BC=10，
∴
∴EF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键．
10．如图，、是三角形的边、上的点，，已知，，，则________．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找到对应线段是解题的关键．
11．如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么______．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
12．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为_______．
【答案】10
【分析】作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得：BD＝4，根据平行线分线段成比例定理可得B是PD的中点，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，则∠ODB＝90°，
∴BD＝AB，
∵AB＝8，
∴BD＝4，
∵CB⊥AP，
∴∠CBP＝90°，
∴∠CBP＝∠ODB
∴ODBC，
∴
∵C是OP的中点，
∴ PC＝PO
∴＝
∴B是PD的中点，
∴PB＝BD＝4，
∵BC＝3，
∴PC＝，
∴OP＝2PC＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂径定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是关键．
13．如图，有一块纸质直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则纸条GD的长为 _____．
【答案】6.5cm
【分析】设GD=xcm，根据D是AC的中点，得到AD=CD，根据矩形DEFG中，EF=GD=xcm，GD∥EF，推出AG=BG，BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，推出GD=BC，得到x= (x+6.5)，得到GD=6.5cm．
【详解】设GD=xcm，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵矩形DEFG中， DG∥EF，
∴
∴AG=BG，
∵EF=DG=xcm，BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，
∴DG=BC，
∴x= (x+6.5)，
∴x==6.5，
∴DG=6.5cm．
故答案为：6.5cm．
【点睛】本题主要考查了矩形，三角形中位线，平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边是性质，三角形中位线的性质．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若，，求的长.
答案：6
解析：，
，
，，
，
.
15．如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且.
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长.
答案：(1)
(2)
解析：（1），，，，
，
即，
解得；
（2），，，
，
即，
解得.
16．已知:如图所示, 是中的外角的平分线.求证: 。
答案：证明:过作与的延长线交于,则,
∵ (两直线平行,同位角相等)
(两直线平行,内错角相等)
(已知)
(等量代换)
,
∴。
17．如图,梯形中, ,点是边的中点,联结并延长交的延长线于点,交于点.
（1）.若,,求线段的长;
（2）求证: .
答案：（1）.∵,
∴.
且,
则.
（2）.同理:∵,
∴.
即.
18.如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可．
【详解】证明：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
19 .如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由，推出，得到，即可得到；
（2）由，推出，由，推出，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)