2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷(含答案）

2024-2025 学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.(北京卷理1)集合 = { ∈ |0 ≤ < 3}， = { ∈ | 2 < 9}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. { |0 ≤ < 3} D. { |0 ≤ ≤ 3}
2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A. = 2 B. = √ C. = 4( > 0) D. = | | + 1
( 2) ( )3.定义在 上的函数 ( )，对任意 1， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)，有
1 < 0，则( )
2 1
A. (3) < (2) < (1) B. (1) < (2) < (3)
C. (2) < (1) < (3) D. (3) < (1) < (2)
4.已知命题 ： 0 ∈ ，
2
0 + 2 0 + ≤ 0是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. [1, +∞) C. ( ∞, 1) D. (1, +∞)
3 +2
5.关于函数 ( ) = ，下列说法不正确的是( )
1
A. ( )有且仅有一个零点
B. ( )在( ∞, 1)，(1, +∞)上单调递减
C. ( )的定义域为{ | ≠ 1}
D. ( )的图象关于点(1,0)对称
+
6.若关于 的不等式 > 0的解集为{ | > 1}，则关于 的不等式 > 0的解集为( )
2
A. { | < 2，或 > 1} B. { |1 < < 2}
C. { | < 1，或 > 2} D. { | 2 < < 1}
7.如果 ， ， 满足 < < 且 < 0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A. > B. ( ) > 0 C. 2 < 2 D. ( ) < 0
1 1
8.已知 ， ∈ ，则“ < ”是“ > ”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数 = ( )是定义在 上的偶函数，且在( ∞, 0]上是增函数，若不等式 ( ) ≥ ( )对任意 ∈ [1,2]
恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. [ 1,1] C. ( ∞, 2] D. [ 2,2]
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, ∈
10.函数 ( ) = { ，其中 ， 为实数集 的两个非空子集.又规定 ( ) = { | = ( ), ∈ )， ( ) =
, ∈
{ | = ( ), ∈ }.下列四个判断其中正确的是( )
①若 ∩ = ，则 ( ) ∩ ( ) = ；
②若 ∩ ≠ ，则 ( ) ∩ ( ) ≠ ；
③若 ∪ = ，则 ( ) ∪ ( ) = ；
④若 ∪ ≠ ，则 ( ) ∪ ( ) ≠ ．
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知集合 = {1,2}， = { , 2 + 3}.若 ∩ = {1}，则实数 的值为______．
√ 3
12.函数 ( ) = 的定义域为______．
| +1| 5
13.设 ， 是方程3 21 2 2 4 = 0的两根，不解方程，求下列各式的值：

(1) 2 + 1 = ______；
1 2
(2) 31 +
3
2 = ______．
+ 1, < ,
14.设函数 ( ) = { 2 若 ( )存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 ． ( 2) , ≥ .
15.设 是非空数集，若对任意 ， ∈ ，都有 + ∈ 、 ∈ ，则称 具有性质 ，给出以下命题：
①若 具有性质 ，则 可以是有限集；
②若 具有性质 ，且 ≠ ，则 具有性质 ；
③若 1、 2具有性质 ，且 1 ∩ 2 ≠ ，则 1 ∩ 2具有性质 ；
④若 1、 2具有性质 ，则 1 ∪ 2具有性质 ．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 4 + 3 ≤ 0}， = { | 3| < 1}， = { |2 ≤ ≤ + 2, ∈ }．
(Ⅰ)集合 =_____； =_____； ∩ =_____； ∪ ( ) =_____；
(Ⅱ)若 ∪ = ，求 的取值范围；
(Ⅲ)若 ∩ ≠ ，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
+ 1
已知函数 ( ) = 2 ， ( )为 上的奇函数且 (1) = ． +1 2
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(1)求 ， ；
(2)判断 ( )在[1, +∞)上的单调性并证明；
(3)当 ∈ [ 4, 1]时，求 ( )的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(Ⅰ)求出当 > 0时， ( )的解析式；
(Ⅱ)如图，请补出函数 ( )的完整图象，根据图象直接写出函数 ( )的单调递减区间；
(Ⅲ)结合函数图象，讨论函数 ( )在[ 3, ]上的值域．
19.(本小题12分)
近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，
进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过
去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格 (单位：元)与时间 (单位：天)的函数关系近似满足 ( ) = 10 +

( 为常数，且 > 0，1 ≤ ≤ 30， ∈ +)，日销售量 (单位：件)与时间 (单位：天)的部分数据如表所
示：
10 15 20 25 30
2( ) 50 55 60 55 50
已知第10天的日销售收入为505元．
给出以下三个函数模型：
① ( ) = + ；② ( ) = | | + ；③ ( ) = ．
(Ⅰ)请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 ( )与时间 的变化关系，
并求出该函数的解析式；
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(Ⅱ)设该工艺品的日销售收入为 ( )(单位：元)，求 ( )的解析式．
(Ⅲ)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
20.(本小题12分)
对于正整数集合 = { 1, 2, … , }( ∈

， ≥ 3)，如果去掉其中任意一个元素 ( = 1,2, … , )之后，剩
余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
具有可分性．
(Ⅰ)分别判断集合{1,2,3,4}，{1,2,3,4,5}是否具有可分性，并说明理由；
(Ⅱ)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
(Ⅲ)若集合 具有可分性，求集合 中元素个数的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】[3,4) ∪ (4, +∞)
7 80
13.【答案】
3 27
14.【答案】0 ；(答案不唯一，[0,1]内的任意值都行)；1
15.【答案】①③
16.【答案】解：(Ⅰ)集合 = { | 2 4 + 3 ≤ 0} = { |1 ≤ ≤ 3}， = { || 3| < 1} = { |2 < < 4}，
∴ ∩ = { |2 < ≤ 3}， = { | ≤ 2或 ≥ 4}，
∴ ∪ ( ) = { | ≤ 3或 ≥ 4}；
(Ⅱ) ∵ ∪ = ，∴ ，
①当 = 时，2 > + 2，∴ > 2，
2 ≤ + 2
②当 ≠ 时，则{2 > 2 ，
+ 2 < 4
解得1 < < 2，
综上所述， 的取值范围为(1,2) ∪ (2, +∞)；
(Ⅲ)若 ∩ = ，
①当 = 时，2 > + 2，∴ > 2，
2 ≤ + 2 2 ≤ + 2
②当 ≠ 时，{ 或{ ，
+ 2 < 1 2 > 3
3
∴ < 1或 < ≤ 2，
2
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3
综上所述，若 ∩ = ，则 的取值范围为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)，
2
3
故 A∩ ≠ ，则 的取值范围[ 1, ].
2
+
17.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = ， ( )为 上的奇函数，
2+1
+ +
则 ( ) = ( )，即 2 = 2 ，变形可得 = 0， +1 +1
1
又由 (1) = = ，则 = 1；
2 2

(2)由(1)的结论， ( ) = 2 ，在区间[1, +∞)上单调递减， +1
证明如下：设1 ≤ 1 < 2，
1 2 ( 2 1)( 则 ( ) ( ) = = 1 2
1)
1 2 2+1 2+1 ( 2
，
1 2 1+1)(
2
2+1)
又由1 ≤ 1 < 2，则( 2 1) > 0，( 1 2 1) > 0，
则 ( 1) ( 2) > 0，
故 ( )在[1, +∞)上单调单调递减．

(3)根据题意，由(2)的结论以及函数是奇函数，可知 ( ) = 2 在[ 4, 1]上递减， +1
4 1
则 ( )在[ 4, 1]上的最大值为 ( 4) = ，最小值为 ( 1) = ．
17 2
18.【答案】解：(Ⅰ)依题意，设 > 0，则 < 0，
于是 ( ) = ( )2 2 = 2 2 ，
因为 ( )为 上的奇函数，因此 ( ) = ( ) = 2 + 2 ，
所以当 > 0时， ( )的解析式 ( ) = 2 + 2 ；
(Ⅱ)由已知及(1)得函数 ( )的图象如下：
观察图象，得函数 ( )的单调递减区间为：( ∞, 1]，[1, +∞)；
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2 + 2 , ≤ 0
(Ⅲ)由(1)可知， ( ) = { ，
2 + 2 , > 0
显然当 = 1时， ( ) = 1，
当 > 0时，令 ( ) = 1得， 2 + 2 = 1，
解得 = 1 + √ 2或1 √ 2(舍去)，
当 3 < ≤ 1时， ( )在[ 3, ]上单调递减，
所以 ( ) 2 = ( 3) = 3， ( ) = ( ) = + 2 ，
所以 ( )的值域为[ 2 + 2 , 3]；
当 1 ≤ ≤ 1 + √ 2时，
( ) = ( 3) = 3， ( ) = 1，
所以 ( )的值域为[ 1,3]；
当 ≥ 1 + √ 2时，
( ) 2 = ( 3) = 3， ( ) = ( ) = + 2 ，
所以 ( )的值域为[ 2 + 2 , 3]，
综上所述，当 3 < ≤ 1时， ( )的值域为[ 2 + 2 , 3]；当 1 ≤ ≤ 1 + √ 2时， ( )的值域为[ 1,3]；
当 ≥ 1 + √ 2时，
( )的值域为[ 2 + 2 , 3]．
19.【答案】解：(Ⅰ)由表格中的数据知，当时间 变长时， ( )先增后减，①③函数模型都描述的是单调函
数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型②： ( ) = | | + ，
由 (15) = (25)，
可得|15 | = |25 |，解得 = 20，
(15) = 5 + = 55 = 1,
因为{ ，解得{ ，
(20) = = 60 = 60,
则日销售量 ( )与时间 的关系式为 ( ) = | 20| + 60(1 ≤ ≤ 30, ∈ )；
(Ⅱ)因为第10天的日销售收入为505元，
1
则(1 + ) × 50 = 505，解得 = 1，所以 ( ) = + 10，
10
+ 40,1 ≤ ≤ 20
由(1)知 ( ) = | 20| + 60 = { ， ∈ ，
+ 80,20 < ≤ 30
则 ( ) = ( ) ( )
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40
10 + + 401,1 ≤ ≤ 20,
= { ， ∈ ；
80
10 + + 799,20 < ≤ 30,

40 40
(Ⅲ)当1 ≤ ≤ 20， ∈ ′时， ( ) = 10 + + 401 ≥ 2√ 10 + 401 = 441，

40
当且仅当10 = ，即 = 2时，等号成立；

80
当20 < ≤ 30， ∈ 时， ( ) = 10 + + 799单调递减，

8
所以函数的最小值为 (30) = 499 + > 441，
3
综上可得，当 = 2时，函数 ( )取得最小值441，
所以该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
20.【答案】解：(1)对于集合{1,2,3,4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1,2,3,4}不
具有可分性，
对于集合{1,2,3,4,5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1,2,3,4,5}不具有可分性；
(2)不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集 = { 1, 2, 3, 4, 5}，其中 1 < 2 < 3 < 4 < 5，
则去掉 1时，可能的情况为 2 + 3 + 4 = 5或 2 + 5 = 3 + 4，
若 2 + 3 + 4 = 5，则去掉 2时， 1 + 3 + 4< 5,不能分成两个集合,且两个集合的元素之和相等，
若 2 + 5 = 3 + 4，则去掉 2时， 1 + 5 < 3 + 4， 1 + 3 + 4 > 5,不能分成两个集合,且两个集合的元素之和相等，
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
(3)先证明若集合 具有可分性，则集合 的元素个数 为奇数，
否则 为偶数，记∑ =1 = ，则 为偶数，所以∑

=1( ) = ( 1) 为偶数，所以 为偶数，
为偶数，

所以 是一系列偶数的和，也为偶数，所以则 为4的倍数，所以∑

=1( ) = ( 1) 为4的倍2
数，所以 为4的倍数， 为4的倍数，

所以 是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则 为8的倍数，所以∑

2 =1
( ) = ( 1) 为
8的倍数，所以 为8的倍数， 为8的倍数，
… … …，
依次类推下去，可得 为2 ( ∈
)的倍数，显然矛盾，故假设不成立， 为奇数，证毕．
又容易检验 = 3时，集合 不可分，由(2)知 = 5时，集合 也不可分，所以 ≥ 7，
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当 = 7时，取 = {1,3,5,7,9,11,13}，
划去1时，3 + 5 + 7 + 9 = 11 + 13；
划去3时，1 + 9 + 13 = 5 + 7 + 11；
划去5时，9 + 13 = 1 + 3 + 7 + 11；
划去7时，3 + 5 + 13 = 1 + 9 + 11；
划去9时，7 + 13 = 1 + 3 + 5 + 11；
划去11时，3 + 7 + 9 = 1 + 5 + 13；
划去13时，7 + 11 = 1 + 3 + 5 + 9，
即 具有可分性，
综上可知，集合 中元素个数的最小值为7．
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