5.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
［学习目标］ 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.
一、等差数列的定义及应用
问题1 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682，1758，1834，1910，1986.
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的年份吗？
知识梳理
一般地，如果数列{an}从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于 ，即 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的 .
例1 判断下列数列是否为等差数列，请说明理由.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)2，-2，2，-2，2，-2，…；
(3)1，1，1，1，…；
(4)6，5，3，1，-1，-3，…；
(5)m，m+n，m+2n，2m+n；
(6)a-d，a，a+d.
反思感悟 判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可.
跟踪训练1 (1)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
(2)若数列1，3，a+3，b是等差数列，则a= ，b= .
二、等差数列的通项公式
问题2 等差数列的定义给出了相邻两项的递推关系，你能根据定义推导等差数列的通项公式吗？
知识梳理
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= .
例2 (1)求等差数列10，8，6，…的第20项；
(2)100是不是等差数列2，9，16，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由；
(3)在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项公式an.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，
(1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2=11，a8=5，求a10.
三、等差数列与函数的关系
知识梳理
如果记f(x)=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f(n)，而且
(1)当公差d=0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是 (因此，公差为0的等差数列是常数列)；
(2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当 时，{an}是递增数列；当 时，{an}是递减数列.
例3 (1)(多选)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
(2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
跟踪训练3 (1)设{an}是等差数列，则“a1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n(n∈N+)，则它的公差d为( )
A.2 B.3
C.-2 D.-3
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列与函数的关系.
2.方法归纳：迭代法、定义法.
3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确.
1.(多选)下列说法正确的是( )
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列
C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k，b为常数)
D.数列{2n+1}(n∈N+)是等差数列
2.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为( )
A.52 B.62
C.-62 D.-52
3.在等差数列{an}中，如果a4=3，a7=9，an=17，那么n= .
4.在-3和6之间插入两个数a，b，使-3，a，b，6成等差数列，则这个等差数列的公差为 .
答案精析
问题1 对于(1)，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的年份应该是1 986+76=2 062.对于(2)，有270-275=-5，…；对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律.
知识梳理
2 同一个常数d an+1-an=d
公差
例1 解 (1)∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，
∴该数列是等差数列.
(2)∵-2-2=-4，2-(-2)=4，
不是同一个常数，
∴该数列不是等差数列.
(3)∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，
∴该数列是等差数列.
(4)∵5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，
∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列.
(5)∵(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n，
2m+n-(m+2n)=m-n，
∴当m=2n时，该数列是等差数列，
当m≠2n时，该数列不是等差数列.
(6)∵a-(a-d)=a+d-a=d，
∴该数列是等差数列.
跟踪训练1 (1)B (2)2 7
问题2 方法一 由等差数列的定义可得
an-an-1=d，
an-1-an-2=d，
……
a3-a2=d，
a2-a1=d，
将这n-1个式子两边分别相加，则有
an-a1=(n-1)d，
可得到等差数列的通项公式为
an=a1+(n-1)d.
方法二 一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义有
an+1-an=d，
即an+1=an+d，从而
a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d
=a1+3d，
……
由此可归纳出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d.
知识梳理
a1+(n-1)d
例2 解 (1)由题意得a1=10，
d=-2，
∴an=10+(n-1)×(-2)
=-2n+12，n∈N+.
∴a20=-2×20+12=-28.
(2)由于a1=2，d=7，
∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+.
由7n-5=100，解得n=15.
∴100是这个数列的第15项.
(3)由题意得
解得
∴an=2+(n-1)×2=2n.
跟踪训练2 解 设数列{an}的公差为d，
(1)由题意得
解得
所以an=7+2(n-1)=2n+5，n∈N+.
令2n+5=91，得n=43.
因为43为正整数，
所以91是此数列中的项.
(2)由题意得
解得
所以an=12+(n-1)×(-1)
=13-n，n∈N+，
所以a10=13-10=3.
知识梳理
(1)常数列 (2)d>0 d<0
例3 (1)AD
(2)解 取数列{an}中任意两项an和an-1(n≥2)，
作差得an-an-1
=(pn+q)-［p(n-1)+q］
=pn+q-(pn-p+q)=p.
它是一个与n无关的常数，
所以{an}是等差数列.
由于an=pn+q=q+p+(n-1)p，
所以首项a1=p+q，公差d=p.
跟踪训练3 (1)C (2)C
随堂演练
1.BCD 2.A 3.11 4.3(共73张PPT)
第五章
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等差数列的定义
第1课时
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
学习目标
我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出第六个龙年是哪一年吗？
导 语
一、等差数列的定义及应用
二、等差数列的通项公式
课时对点练
三、等差数列与函数的关系
随堂演练
内容索引
等差数列的定义及应用
一
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682，1758，1834，1910，1986.
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的年份吗？
问题1
提示 对于(1)，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的年份应该是1 986+76=2 062.
对于(2)，有270-275=-5，…；对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律.
一般地，如果数列{an}从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于_____________，即 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的 .
2
同一个常数d
an+1-an=d
公差
(1)概念的符号表示：an+1-an=d.
(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.
(3)差必须是同一个常数.
(4)公差可以是正数、负数、零.
注 意 点
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判断下列数列是否为等差数列，请说明理由.
(1)1，3，5，7，9，…；
例 1
∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，
∴该数列是等差数列.
(2)2，-2，2，-2，2，-2，…；
∵-2-2=-4，2-(-2)=4，不是同一个常数，∴该数列不是等差数列.
(3)1，1，1，1，…；
∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0， ∴该数列是等差数列.
(4)6，5，3，1，-1，-3，…；
∵5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列.
(5)m，m+n，m+2n，2m+n；
∵(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n，2m+n-(m+2n)=m-n，∴当m=2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列.
(6)a-d，a，a+d.
∵a-(a-d)=a+d-a=d，
∴该数列是等差数列.
判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可.
反
思
感
悟
(1)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
跟踪训练 1
√
由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1，即an+1-an=.
所以数列{an}是公差为的等差数列.
(2)若数列1，3，a+3，b是等差数列，则a= ，b= .
由题意得a+3-3=3-1，
∴a=2，公差d=3-1=2，
∴b=5+2=7.
2
7
二
等差数列的通项公式
等差数列的定义给出了相邻两项的递推关系，你能根据定义推导等差数列的通项公式吗？
问题2
提示 方法一 由等差数列的定义可得
an-an-1=d，
an-1-an-2=d，
……
a3-a2=d，
a2-a1=d，
将这n-1个式子两边分别相加，则有
an-a1=(n-1)d，
可得到等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d.
方法二 一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义有
an+1-an=d，
即an+1=an+d，从而
a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，
……
由此可归纳出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d.
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= .
a1+(n-1)d
(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.
(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
(3)等差数列通项公式的推广和变形：an=am+(n-m)d(m，n∈N+)，d=(m，n∈N+，且m≠n).
注 意 点
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(1)求等差数列10，8，6，…的第20项；
例 2
由题意得a1=10，d=-2，
∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，n∈N+.
∴a20=-2×20+12=-28.
(2)100是不是等差数列2，9，16，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由；
由于a1=2，d=7，
∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+.
由7n-5=100，解得n=15.
∴100是这个数列的第15项.
(3)在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项公式an.
由题意得
解得∴an=2+(n-1)×2=2n.
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
反
思
感
悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
在等差数列{an}中，
(1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项；
跟踪训练 2
设数列{an}的公差为d，
由题意得
解得
所以an=7+2(n-1)=2n+5，n∈N+.
令2n+5=91，得n=43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2=11，a8=5，求a10.
由题意得
解得
所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n，n∈N+，
所以a10=13-10=3.
等差数列与函数的关系
三
如果记f(x)=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f(n)，而且
(1)当公差d=0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是 (因此，公差为0的等差数列是常数列)；
(2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当 时，{an}是递增数列；当 时，{an}是递减数列.
常数列
d>0
d<0
(1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d.
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d(d>0时)或减少-d(d<0时).
注 意 点
<<<
(1)(多选)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中
正确的是
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
例 3
√
√
对于A，an=a1+(n-1)d，d>0，
∴an-an-1=d>0，则A正确；
对于B，nan=na1+n(n-1)d，
∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d，这个值与0的大小关系和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增，则B不正确；
对于C，=+d，
∴-=，
当d-a1>0，即d>a1时，数列是递增数列，
但d>a1不一定成立，则C不正确；
对于D，设bn=an+3nd，
则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
∴数列{an+3nd}是递增数列，则D正确.
取数列{an}中任意两项an和an-1(n≥2)，
作差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)=p.
它是一个与n无关的常数，
所以{an}是等差数列.
由于an=pn+q=q+p+(n-1)p，
所以首项a1=p+q，公差d=p.
(2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b，其中k，b是常数.
反
思
感
悟
(1)设{an}是等差数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
跟踪训练 3
√
由题意可得公差
d=a2-a1=a3-a2>0，
所以数列{an}是递增数列，即充分性成立；
若数列{an}是递增数列，则必有a1即必要性成立.
(2)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n(n∈N+)，则它的公差d为
A.2 B.3
C.-2 D.-3
√
方法一 由等差数列的定义，得d=a2-a1=-1-1=-2.
方法二 an=3-2n=-2n+3，由等差数列的函数特征知，d=-2.
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列与函数的关系.
2.方法归纳：迭代法、定义法.
3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列说法正确的是
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列
C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k，b为常数)
D.数列{2n+1}(n∈N+)是等差数列
√
根据等差数列的概念可知，数列6，4，2，0的公差为-2，故A错误；
易知B，C，D均正确.
√
√
1
2
3
4
2.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为
A.52 B.62
C.-62 D.-52
√
公差d=-2-(-5)=3，a20=a1+(20-1)d=-5+19×3=52.
3.在等差数列{an}中，如果a4=3，a7=9，an=17，那么n= .
1
2
3
4
由题意知d==2，
∴an=a4+(n-4)d，
∴17=3+2(n-4)，
∴n=11.
11
1
2
3
4
4.在-3和6之间插入两个数a，b，使-3，a，b，6成等差数列，则这个等差数列的公差为 .
由等差数列的定义可知
解得所以d=3.
3
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+)，则此数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
√
∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2，
∴{an}是公差为2的等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1+a3=，则a2等于
A.-2 B.1
C.2 D.4
∵an为等差数列，∴a2-a1=a3-a2，
∴a1+a3=2a2，
∴2a2=，解得a2=2(a2=0舍去).
√
3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a1=20，d=-3，∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，∴a7=2>0，a8=-1<0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为
A.-2 B.-3
C.-4 D.-5
√
设公差为d，d∈Z，由a6=23+5d>0，且a7=23+6d<0，得-又因为d∈Z，所以d=-4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.若等差数列{an}的首项a1=5，am=3，则等于
A.13 B.3-
C.3- D.5-
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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16
设等差数列{an}的公差为d，
因为a1=5，am=3，
所以d==.
所以=am+2d=3+=3-.
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6.《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金杖由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
√
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依题意，金杖由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1=4，则a5=2，设公差为d，则2=4+4d，解得d=-，所以a2=4-=.
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7.在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1= .
-3
设数列{an}的公差为d，
则
解得
8.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围
是 .
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设an=-24+(n-1)d，
则1
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9.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
由a1=8，a2=5，得d=a2-a1=5-8=-3，
由n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
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(2)判断-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项，如果是，是第几项？
由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意，令-401=-4n-1，得n=100，
则-401是这个数列的第100项.
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10.在等差数列{an}中，公差为d.
(1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；
因为a5-a3=12，所以d=6.
由a12=a1+11d=20，所以a1=-46.
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(2)已知a1=9，d=-2，an=-15，求n；
由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)，解得n=13.
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(3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式.
由已知可得
所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12.
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11.已知数列{an}满足a1=1，n∈N+，若点在直线x-y+1=0上，则an等于
A.n2 B.n
C.n+2 D.n+1
√
综合运用
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由题设可得-+1=0，
即-=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故通项公式为=1+(n-1)×1=n，
所以an=n2(n∈N+).
12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则下列说法正确的是
A.a3a6>a4a5 B.a3a6C.a3+a6>a4+a5 D.a3a6=a4a5
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由通项公式，得a3=a1+2d，a6=a1+5d，那么a3+a6=2a1+7d，a3a6= (a1+2d)(a1+5d)=+7a1d+10d2，同理，a4+a5=2a1+7d，a4a5=+7a1d+ 12d2，显然a3+a6=a4+a5，a3a6-a4a5=-2d2<0，故a3a61
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13.(多选)设等差数列{an}的公差为d，若bn=，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是
A.d<0 B.a1d<0
C.为常数列 D.数列{bn}为等差数列
√
√
∵{bn}为递减数列，∴bn+1即<，
∴a1an+1-a1an<0，即a1d<0，又==为常数，∴B，C正确.
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14.若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别
为d1和d2，则的值为 .
因为n-m=3d1，所以d1=(n-m).
又n-m=4d2，所以d2=(n-m).
故==.
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拓广探究
15.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则数列{an}的通项公式为
.
an=2n-(n∈N+)
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由题意得an+1+an=4n-3， ①
an+2+an+1=4n+1， ②
②-①得an+2-an=4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，
∴d=2.
∵a1+a2=1，
∴a1+a1+d=1，∴a1=-.
∴an=-+(n-1)×2=2n-(n∈N+).
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16.若数列{bn}对于n∈N+，都有bn+2-bn=d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn=则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N+，都有an+an+1=2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
因为an+an+1=2n(n∈N+)， ①
所以an+1+an+2=2(n+1)， ②
②-①得an+2-an=2(n∈N+)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列.
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(2)求数列{an}的通项公式.
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因为a1=a，an+an+1=2n(n∈N+)，
所以a1+a2=2×1，即a2=2-a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2-a为首项，2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，an=2-a+×2=n-a，
当n为奇数时，an=a+×2=n+a-1.
所以an=第2课时 等差数列的性质
［学习目标］ 1.能理解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质简化计算.4.能运用等差数列解决实际问题.
一、等差中项
问题1 如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？
知识梳理
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A= .
例1 (1)若a=，b=，则a，b的等差中项为( )
A. B.
C. D.
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
反思感悟 在等差数列{an}中，有an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N+)，即an=，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
跟踪训练1 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
二、等差数列的性质
问题2 设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小.
知识梳理
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at= ，特别地，如果2s=p+q，则有 =ap+aq.
例2 (1)已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1，求a4+a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，求a11+a12+a13的值.
延伸探究 已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75.
反思感悟 等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N+)，则am+an=ap+aq=2ar.
三、等差数列的实际应用
例3 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：从第1年养鸡场个数为30减少到第6年养鸡场个数为10.
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)这个县的养鸡业哪一年的规模最大？请说明理由.
跟踪训练2 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将开始亏损？
1.知识清单：
(1)等差中项.
(2)等差数列的性质.
(3)等差数列的实际应用.
2.方法归纳：解方程组法、构造法.
3.常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错.
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于( )
A.3 B.-3
C. D.-
3.在等差数列{an}中，a2，a6是方程x2-3x+1=0的根，则a4= .
4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费 元.
答案精析
问题1 因为x，A，y是等差数列，
所以A-x=y-A，即A=.
知识梳理
例1 (1)A
(2)解 因为-1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是-1与7的等差中项，
则b==3，
又a是-1与3的等差中项，
所以a==1.
又c是3与7的等差中项，
所以c==5.
所以该数列为-1，1，3，5，7.
跟踪训练1 解 由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5，
得2m+n=10.
两式相加，得3m+3n=18，
即m+n=6.
所以m和n的等差中项为=3.
问题2 a2+a7=3×2-1+3×7-1=25，
a3+a6=3×3-1+3×6-1=25，
所以a2+a7=a3+a6.
知识梳理
ap+aq 2as
例2 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得a2+a6+a10
=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)
=3a1+15d.
由题意知，3a1+15d=1，
即a1+5d=.
∴a4+a8=2a1+10d
=2(a1+5d)=.
方法二 根据等差数列性质得
a2+a10=a4+a8=2a6.
由a2+a6+a10=1，得3a6=1，
解得a6=，∴a4+a8=2a6=.
(2){an}是公差为正数的等差数列，
设公差为d，
∵a1+a3=2a2，
∴a1+a2+a3=15=3a2，∴a2=5，
又a1a2a3=80，
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16 d=3或d=-3(舍去)，
∴a12=a2+10d=35，a11+a12+a13=3a12=105.
延伸探究 24
例3 解 由图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，设公差为d1，
且a1=1，a6=2；
从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，设公差为d2，且b1=30，b6=10.
从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn=anbn.
(1)由a1=1，a6=2，得
∴∴a2=1.2.
由b1=30，b6=10，
得∴
∴b2=26.
∴c2=a2b2=1.2×26=31.2，
故第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数是31.2万.
(2)c6=a6b6=2×10=20=a1b1=30，
∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.
(3)∵an=1+(n-1)×0.2
=0.2n+0.8(1≤n≤6，n∈N+)，
bn=30+(n-1)×(-4)
=-4n+34(1≤n≤6，n∈N+)，
∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)
=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6，n∈N+).
∵2与2.25最接近，
∴当n=2时，cn最大.
故第2年的规模最大.
跟踪训练2 解 设从第一年起，
第n年的利润为an万元，
则a1=200，an+1-an=-20(n∈N+)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)
=220-20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an=220-20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将开始亏损.
随堂演练
1.B 2.A 3. 4.23.2(共66张PPT)
第五章
<<<
等差数列的性质
第2课时
1.能理解等差中项的概念.
2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
3.能运用等差数列的性质简化计算.
4.能运用等差数列解决实际问题.
学习目标
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an=n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10，…，容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.
导 语
一、等差中项
二、等差数列的性质
课时对点练
三、等差数列的实际应用
随堂演练
内容索引
等差中项
一
如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？
问题1
提示 因为x，A，y是等差数列，所以A-x=y-A，
即A=.
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A=.
(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N+)，则{an}为等差数列.
注 意 点
<<<
(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为
A. B.
C. D.
例 1
√
由题意知，a，b的等差中项为
=-++)=.
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
因为-1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是-1与7的等差中项，则b==3，
又a是-1与3的等差中项，
所以a==1.
又c是3与7的等差中项，
所以c==5.
所以该数列为-1，1，3，5，7.
在等差数列{an}中，有an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N+)，即an=，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
反
思
感
悟
若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
跟踪训练 1
由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10.
两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6.
所以m和n的等差中项为=3.
二
等差数列的性质
设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小.
问题2
提示 a2+a7=3×2-1+3×7-1=25，
a3+a6=3×3-1+3×6-1=25，
所以a2+a7=a3+a6.
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at= ，特别地，如果2s=p+q，则有 =ap+aq.
ap+aq
2as
(1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az.
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.
(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=….
(4)在等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，则这些项组成的数列仍为等差数列.
注 意 点
<<<
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有
注 意 点
<<<
数列 结论
{c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N+)
{pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数)
(1)已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1，求a4+a8.
例 2
方法一 根据等差数列的通项公式，得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+ (a1+9d)=3a1+15d.
由题意知，3a1+15d=1，即a1+5d=.
∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=.
方法二 根据等差数列性质得a2+a10=a4+a8=2a6.
由a2+a6+a10=1，得3a6=1，
解得a6=，∴a4+a8=2a6=.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，求a11+a12+a13的值.
{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1+a3=2a2，
∴a1+a2+a3=15=3a2，∴a2=5，
又a1a2a3=80，∴a1a3=(5-d)(5+d)=16 d=3或d=-3(舍去)，
∴a12=a2+10d=35，a11+a12+a13=3a12=105.
已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75.
延伸探究
方法一 (利用an=am+(n-m)d)
设等差数列 {an}的公差为d，
则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20，
所以d===，
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
方法二 (利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项，
所以a60=a15+3d，解得d=4，
所以a75=a60+d=24.
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N+)，则am+an=ap+aq=2ar.
反
思
感
悟
等差数列运算的两种常用思路
等差数列的实际应用
三
甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：
从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡
上升到第6年平均每个养鸡场出产2万
只鸡.乙调查表明：从第1年养鸡场个
数为30减少到第6年养鸡场个数为10.
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
例 3
由图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，设公差为d1，
且a1=1，a6=2；
从第1年到第6年的养鸡场个数
也成等差数列，记为{bn}，
设公差为d2，且b1=30，b6=10.
从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn=anbn.
由a1=1，a6=2，得
∴∴a2=1.2.
由b1=30，b6=10，
得
∴b2=26.
∴c2=a2b2=1.2×26=31.2，
故第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数是31.2万.
c6=a6b6=2×10=20∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是
扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)这个县的养鸡业哪一年的规模最大？请说明理由.
∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6，n∈N+)，
bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6，n∈N+)，
∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)
=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6，n∈N+).
∵2与2.25最接近，
∴当n=2时，cn最大.
故第2年的规模最大.
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
反
思
感
悟
某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将开始亏损？
跟踪训练 2
设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1=200，an+1-an=-20(n∈N+)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)
=220-20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an=220-20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将开始亏损.
1.知识清单：
(1)等差中项.
(2)等差数列的性质.
(3)等差数列的实际应用.
2.方法归纳：解方程组法、构造法.
3.常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错.
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
随堂演练
四
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1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A+C=2B，又因为A+B+C=180°，所以3B=180°，从而B=60°.
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2.等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于
A.3 B.-3
C. D.-
√
由等差数列的性质，得a4+a5=a2+a7，
所以a2=15-12=3.
3.在等差数列{an}中，a2，a6是方程x2-3x+1=0的根，则a4= .
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由等差数列的性质及根与系数的关系，得a4=(a2+a6)=.
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4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费 元.
根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，那么当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
23.2
课时对点练
五
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基础巩固
1.已知等差数列{an}的前三项为a-1，a+1，2a+1，则此数列的通项公式为
A.2n-5 B.2n-3
C.2n-1 D.2n+1
√
2=+，
解得a=2，所以a1=1，d=2，所以an=a1+d=2n-1.
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2.在等差数列{an}中，若a2+a6=6，a5=8，则a2+a7等于
A.22 B.14
C.20 D.11
因为a2+a6=2a4=6，所以a4=3.又a5=8，所以a2+a7=a4+a5=11.
√
3.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于
A. B.
C. D.
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∵b是x，2x的等差中项，
∴b==，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x=a+b，
∴a=，
∴=.
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4.在等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+ a2 023等于
A.10 B.15
C.20 D.40
√
∵a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，
∴a2+a2 022=10，
由等差数列的性质得2a1 012=10，即a1 012=5，
∴a1+a1 012+a2 023=3a1 012=15.
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5.在等差数列-5，-3，-2，-，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为
A.an=n- B.an=-5-(n-1)
C.an=-5-(n-1) D.an=n2-3n
√
首项仍为-5，公差d==，故an=-5+(n-1)=n-.
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6.程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一道“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为
A.3.4升 B.2.4升
C.2.3升 D.3.6升
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设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9，
由题意知{an}为等差数列，公差为d，
因为
解得
所以a4+a5=2a1+7d=3.4.
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7.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N+)，且a2=5，a5=13，则a8= .
21
由题意得数列{an}为等差数列，
∴a2+a8=2a5，即a8=21.
8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= .
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因为数列{an}，{bn}都是等差数列，
所以数列{an+bn}也构成等差数列，
所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)，
所以2×21=7+a5+b5，所以a5+b5=35.
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9.在等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13；
方法一 直接化成a1和d的方程如下：
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48，
即4(a1+12d)=48，
∴4a13=48，∴a13=12.
方法二 根据已知条件a2+a3+a23+a24=48，
得4a13=48，
∴a13=12.
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(2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d.
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方法一 直接化成a1和d的方程如下：
解得
∴d=3或-3.
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方法二 由a2+a3+a4+a5=34，
得2(a2+a5)=34，
即a2+a5=17，
由
解得
∴d===3或d===-3.
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10.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位：元)，求an.
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设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1=265为首项，-15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，则265+(n-1)·(-15)≥160.解得n≤8.
所以当n>8时，bn=160.
综上所述，得bn=n∈N+.
从而an=n∈N+.
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11.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有
A.a1+a101>0 B.a1+a101<0
C.a3+a99=0 D.a51=0
√
综合运用
√
根据等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，由于a1+a2+a3+…+a101=0，
所以a51=0，a3+a99=2a51=0.
12.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-a11的值为
A.14 B.15
C.16 D.17
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设公差为d，
∵a4+a6+a8+a10+a12=120，
∴5a8=120，a8=24，
∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.
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13.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是
A.{|an|}
B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p，q为常数)
D.{2an+n}
√
√
√
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数列-1，1，3是等差数列，
取绝对值后为1，1，3，不是等差数列，A不成立；
若{an}是等差数列，由等差数列的定义，
知{an+1-an}为常数列，
故{an+1-an}是等差数列，B成立；
若{an}的公差为d，
则(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd，为常数，
故{pan+q}是等差数列，C成立；
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(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1
=2d+1，
故{2an+n}是等差数列，D成立.
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14.在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，则am+n= .
设公差为d，
则d===-1，
从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
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拓广探究
15.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成
首项为的等差数列，则|m-n|= .
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设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4.则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0，1-4n>0).
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质知，数列的第4项为x2，由题意知x1=，
∴x2=，数列的公差d==，
∴数列的中间两项分别为+=+=.∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=.
经检验，符合题意，∴|m-n|==.
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16.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bk}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
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由题意知an=3n+2(n∈N+)，bk=4k-1(k∈N+)，
两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得，
所以n=k-1，而n∈N+，k∈N+，
所以设k=3r(r∈N+)，得n=4r-1.
由已知
且r∈N+，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项.第3课时 等差数列的综合问题
［学习目标］ 1.掌握等差数列常见的判定与证明方法.2.掌握等差数列中项的设法.3.能解决等差数列的综合问题.
一、等差数列的判定与证明
例1 已知数列{an}满足a1=2，an+1=.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究 将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”.
(1)证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
反思感悟 判断等差数列的方法
(1)定义法
an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2，n∈N+) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an+1=an+an+2(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列.
二、等差数列中项的设法
例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
跟踪训练1 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.
三、等差数列的综合应用
例3 在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N+).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若λan+≥λ对任意n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9= .
1.知识清单：
(1)等差数列的判定与证明.
(2)等差数列中项的设法.
(3)等差数列的综合应用.
2.方法归纳：方程组法.
3.常见误区：不能用通项公式的函数特征证明数列为等差数列.
1.如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是( )
A.该数列一定是等差数列
B.该数列一定不是等差数列
C.该数列不一定是等差数列
D.该数列的第六项为6
2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为 ( )
A. B.±
C.- D.-
3.在等差数列{an}中，若+2a2a8+a6a10=16，则a4a6= .
4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为 .
答案精析
例1 解 (1)数列是等差数列，
理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即是首项为=，
公差为d=的等差数列.
(2)由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N+.
延伸探究 (1)证明 bn+1-bn
=-
=-=-==.
又b1==，
∴数列{bn}是首项为，
公差为的等差数列.
(2)解 由(1)知
bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴数列{an}的通项公式为
an=+2，n∈N+.
例2 解 (1)设这三个数依次为
a-d，a，a+d，
则
解得
所以这三个数为4，3，2.
(2)设这四个数为a-3d，a-d，
a+d，a+3d(公差为2d)，
依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8，
即a=1，a2-9d2=-8，
所以d2=1，所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列，
所以d>0，
所以d=1，
故所求的四个数为-2，0，2，4.
跟踪训练1 解 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得
∴
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
例3 (1)证明 由3anan-1+an-an-1=0(n≥2)，
整理得-=3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2，
所以an=，n∈N+.
(3)解 λan+≥λ对任意n≥2恒成立，
即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立，
即λ≤对任意的n≥2恒成立.
令f(n)=，
则f(n+1)-f(n)
=-
==3-.
因为n≥2，所以f(n+1)-f(n)>0，
即f(2)所以f(2)最小.
又f(2)=，
所以λ≤，
所以实数λ的取值范围为.
跟踪训练2 27
随堂演练
1.C 2.D 3.4
4.-2，2，6或6，2，-2(共63张PPT)
第五章
<<<
等差数列的综合问题
第3课时
1.掌握等差数列常见的判定与证明方法.
2.掌握等差数列中项的设法.
3.能解决等差数列的综合问题.
学习目标
一、等差数列的判定与证明
二、等差数列中项的设法
课时对点练
三、等差数列的综合应用
随堂演练
内容索引
等差数列的判定与证明
一
已知数列{an}满足a1=2，an+1=.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
例 1
数列是等差数列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即=，
公差为d=的等差数列.
(2)求an.
由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N+.
将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”.
(1)证明数列{bn}为等差数列；
延伸探究
bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==，
∴数列{bn}是首项为的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N+.
(1)定义法
an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2，n∈N+) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an+1=an+an+2(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列.
反
思
感
悟
判断等差数列的方法
二
等差数列中项的设法
(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
例 2
设这三个数依次为a-d，a，a+d，
则
解得
所以这三个数为4，3，2.
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，
依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8，
即a=1，a2-9d2=-8，
所以d2=1，
所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，….
对称项设法的优点是若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
反
思
感
悟
等差数列的常见设法
成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.
跟踪训练 1
设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得
∴
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
等差数列的综合应用
三
在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N+).
(1)证明：数列是等差数列；
例 3
由3anan-1+an-an-1=0(n≥2)，
整理得-=3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.
由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2，
所以an=，n∈N+.
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若λan+≥λ对任意n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.
λan+≥λ对任意n≥2恒成立，
即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立，
即λ≤对任意的n≥2恒成立.
令f(n)=，
则f(n+1)-f(n)=-==3-.
因为n≥2，所以f(n+1)-f(n)>0，
即f(2)所以f(2)最小.
又f(2)=，所以λ≤，
所以实数λ的取值范围为.
解决数列的综合问题往往涉及构造等差数列求数列通项，当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an.
由递推关系转化为等差数列的常见形式如下：
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列.
反
思
感
悟
(2)转化为-=常数，则数列是等差数列.
(3)转化为-=常数，则数列是等差数列.
(4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列.
(5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列.
反
思
感
悟
已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9= .
跟踪训练 2
27
方法一 由性质可知，数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9是等差数列，所以2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)，则a3+a6+a9=2×33-39=27.
方法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=(a2-a1)+(a5-a4)+(a8-a7)=3d=-6，
解得d=-2，所以a3+a6+a9=a2+d+a5+d+a8+d=27.
1.知识清单：
(1)等差数列的判定与证明.
(2)等差数列中项的设法.
(3)等差数列的综合应用.
2.方法归纳：方程组法.
3.常见误区：不能用通项公式的函数特征证明数列为等差数列.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是
A.该数列一定是等差数列
B.该数列一定不是等差数列
C.该数列不一定是等差数列
D.该数列的第六项为6
√
等差数列定义中要求从第二项起与它前一项的差都等于同一个常数，仅由部分满足不足以说明该数列是等差数列.
1
2
3
4
2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为
A. B.±
C.- D.-
√
由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π，
∴a7=.
∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.
3.在等差数列{an}中，若+2a2a8+a6a10=16，则a4a6= .
1
2
3
4
∵在等差数列{an}中，+2a2a8+a6a10=16，
∴+a2(a6+a10)+a6a10=16，
∴(a2+a6)(a2+a10)=16，∴2a4·2a6=16，
∴a4a6=4.
4
1
2
3
4
4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为 .
设这三个数分别为a-d，a，a+d.
由题意可得
解得
故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2.
-2，2，6或6，2，-2
课时对点练
五
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基础巩固
1.已知数列{an}，对任意n∈N+，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为
A.公差为2的等差数列
B.公差为1的等差数列
C.公差为-2的等差数列
D.非等差数列
√
由等差数列与函数的关系可知，一次函数的一次项系数即为等差数列的公差.
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2.已知等差数列{an}中，若a1+a2=8，a3+a8=2a5+2，则a1等于
A.1 B.2
C.3 D.4
设等差数列{an}的公差为d，
则a3+a8=a5+a6=2a5+2，解得d=a6-a5=2，
a1+a2=2a1+d=2a1+2=8，解得a1=3.
√
3.(多选)在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+(n∈N+)，则下列说法正确的是
A.{an}是等差数列 B.是等差数列
C.an= D.an=n
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√
√
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由=+-=-=1，公差为-=2-1=1的等差数列，所以=n，即an=.
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4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是
A.d> B.d< C.√
由题意可得
所以1
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5.有穷等差数列5，8，11，…，3n+11(n∈N+)的项数是
A.n B.3n+11
C.n+4 D.n+3
√
由题意知a1=5，a2=8，所以d=3，所以an=5+(n-1)×3=3n+2，设3n+11(n∈N+)是数列中的第k项，即3n+11=3k+2，解得k=n+3.
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6.(多选)已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8)<0，则
A.a6+a7<0 B.a6>0
C.a7>0 D.a6+a7>0
√
√
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由等差数列的性质可得(a5+a6+a7+a8)·(a6+a7+a8)=2(a6+a7)(3a7)= 6(a6+a7)a7<0，
故可得
因为首项为正数的数列{an}为等差数列，
若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，
所以
所以a6>0>a7.
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7.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为-36，则这三个数的平方和为 .
98
设这三个数为a-d，a，a+d，
则
解得
∴这三个数为-1，4，9或9，4，-1.
∴它们的平方和为98.
8.在等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2(··…·)= .
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在等差数列{an}中，a5+a6=4，所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6) =20，
则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.
20
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9.已知，，成等差数列.求证：，，也成等差数列.
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因为成等差数列，
所以=+，即2ac=b(a+c).
因为+=
=
=
==，
所以成等差数列.
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10.各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，且a2=-1.
(1)求证：数列为等差数列；
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∵各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，
两边取倒数得=+3，
∴-=3，
∵a2=-1，∴-=3，
解得a1=-.
∴数列为等差数列，且首项为-4，公差为3.
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(2)若≥λ对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围.
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由(1)得=-4+3(n-1)=3n-7，
∴an=.
∵≥λ对任意n∈N+恒成立，
∴λ≤对任意n∈N+恒成立.
令f(n)===1-.
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当n=1时，f(1)=4；
当n=2时，f(2)=-；
当n≥3时，f(n)单调递增.
则=f(3)≤f(n)<1，
∴f(n)min=f(2)=-，∴λ≤-，
∴实数λ的取值范围为.
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11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小一份的面包个数为
A. B.
C. D.
√
综合运用
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设五个人所分得的面包个数为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，其中d>0，
则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100，∴a=20.
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d，
得3a+3d=7(2a-3d)，
∴24d=11a，
∴d=，
∴最小的一份为a-2d=20-=.
12.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn=，若对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是
A.(-8，-7) B.(-7，-6) C.(-8，-6) D.(-6，-5)
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√
因为对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，且bn=.又数列{an}的公差为1，所以数列{an}为递增数列，所以解得-81
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13.在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1，2，…)，则数列{Tn}
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
√
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设等差数列{an}的公差为d，
由
得
解得d=2.
∴an=2n-11(n=1，2，…)，Tn=(-9)×(-7)×…×(2n-11).
当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，
故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.
故数列{Tn}有最大项T4，无最小项.
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14.在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入非负整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格中应填的数是 .
142
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
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16
记aij为第i行第j列的空格中所填的数，
则a52=x，a41=y.
由第3行得a33=，
由第3列得a33=2×103-2x，
所以2x+y=113. ①
由第1列得a21=3y，
则由第2行得a23=2×74-3y，
由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x，
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
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所以2×74-3y=3×103-4x，
即4x-3y=161， ②
联立①②，解得x=50，y=13，
所以a15=2×186-a55=2×186-4x=
172，a13=2a33-a53=112，a14==142，
故标有*号的空格中应填142.
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
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拓广探究
15.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为
A.99 B.131
C.139 D.141
√
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设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图，
由图可得
则故选D.
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16.已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号为被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2；
由题意得，等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m=4n-1，n∈N+.
所以b1=a3=8-5×3=-7，
b2=a7=8-5×7=-27.
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(2)求数列{bn}的通项公式；
由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1=-7，公差d'=-20，所以bn= b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
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(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
因为m=4n-1，n∈N+，
所以当n=110时，m=4×110-1=439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.作业4 等差数列的定义
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+)，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
2.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1+a3=，则a2等于( )
A.-2 B.1
C.2 D.4
3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
4.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为( )
A.-2 B.-3
C.-4 D.-5
5.若等差数列{an}的首项a1=5，am=3，则等于( )
A.13 B.3-
C.3- D.5-
6.《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金杖由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
7.在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1= .
8.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是 .
9.(10分)(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(4分)
(2)判断-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项，如果是，是第几项？(6分)
10.(12分)在等差数列{an}中，公差为d.
(1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；(4分)
(2)已知a1=9，d=-2，an=-15，求n；(4分)
(3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式.(4分)
11.已知数列{an}满足a1=1，n∈N+，若点在直线x-y+1=0上，则an等于( )
A.n2 B.n
C.n+2 D.n+1
12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则下列说法正确的是( )
A.a3a6>a4a5 B.a3a6C.a3+a6>a4+a5 D.a3a6=a4a5
13.(多选)设等差数列{an}的公差为d，若bn=，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是( )
A.d<0 B.a1d<0
C.为常数列 D.数列{bn}为等差数列
14.若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为 .
15.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则数列{an}的通项公式为 .
16.(12分)若数列{bn}对于n∈N+，都有bn+2-bn=d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn=则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N+，都有an+an+1=2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；(5分)
(2)求数列{an}的通项公式.(7分)
答案精析
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B
7.-3 8.
9.解 (1)由a1=8，a2=5，
得d=a2-a1=5-8=-3，
由n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为
an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意，令-401=-4n-1，
得n=100，
则-401是这个数列的第100项.
10.解 (1)因为a5-a3=12，
所以d=6.
由a12=a1+11d=20，
所以a1=-46.
(2)由an=a1+(n-1)d，
得-15=9-2(n-1)，解得n=13.
(3)由已知可得
解得
所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12.
11.A 12.B 13.BC 14.
15.an=2n-(n∈N+)
解析 由题意得
an+1+an=4n-3， ①
an+2+an+1=4n+1， ②
②-①得an+2-an=4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，
∴d=2.
∵a1+a2=1，
∴a1+a1+d=1，∴a1=-.
∴an=-+(n-1)×2
=2n-(n∈N+).
16.(1)证明 因为an+an+1
=2n(n∈N+)， ①
所以an+1+an+2=2(n+1)， ②
②-①得an+2-an=2(n∈N+)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列.
(2)解 因为a1=a，an+an+1
=2n(n∈N+)，
所以a1+a2=2×1，即a2=2-a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，
2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2-a为首项，
2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，
an=2-a+×2=n-a，
当n为奇数时，
an=a+×2=n+a-1.
所以an=作业5 等差数列的性质
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.已知等差数列{an}的前三项为a-1，a+1，2a+1，则此数列的通项公式为( )
A.2n-5 B.2n-3
C.2n-1 D.2n+1
2.在等差数列{an}中，若a2+a6=6，a5=8，则a2+a7等于( )
A.22 B.14
C.20 D.11
3.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于( )
A. B.
C. D.
4.在等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+a2 023等于( )
A.10 B.15
C.20 D.40
5.在等差数列-5，-3，-2，-，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )
A.an=n-
B.an=-5-(n-1)
C.an=-5-(n-1)
D.an=n2-3n
6.程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一道“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )
A.3.4升 B.2.4升
C.2.3升 D.3.6升
7.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N+)，且a2=5，a5=13，则a8= .
8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= .
9.(10分)在等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13；(5分)
(2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d.(5分)
10.(11分)某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位：元)，求an.
11.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( )
A.a1+a101>0 B.a1+a101<0
C.a3+a99=0 D.a51=0
12.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-a11的值为( )
A.14 B.15
C.16 D.17
13.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A.{|an|}
B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p，q为常数)
D.{2an+n}
14.在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，则am+n= .
15.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则|m-n|= .
16.(12分)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bk}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
答案精析
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A
7.21 8.35
9.解 方法一 (1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)
+(a1+23d)=48，
即4(a1+12d)=48，
∴4a13=48，∴a13=12.
(2)直接化成a1和d的方程如下：
解得或
∴d=3或-3.
方法二 (1)根据已知条件
a2+a3+a23+a24=48，
得4a13=48，
∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34，
得2(a2+a5)=34，
即a2+a5=17，
由
解得或
∴d===3或
d===-3.
10.解 设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1=265为首项，-15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，
则265+(n-1)·(-15)≥160.
解得n≤8.
所以当n>8时，bn=160.
综上所述，
得bn=n∈N+.
从而an=
n∈N+.
11.CD 12.C 13.BCD 14.0 15.
16.解 由题意知an=3n+2(n∈N+)，
bk=4k-1(k∈N+)，
两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得，
所以n=k-1，而n∈N+，k∈N+，
所以设k=3r(r∈N+)，
得n=4r-1.
由已知
且r∈N+，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项.作业6 等差数列的综合问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知数列{an}，对任意n∈N+，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为( )
A.公差为2的等差数列
B.公差为1的等差数列
C.公差为-2的等差数列
D.非等差数列
2.已知等差数列{an}中，若a1+a2=8，a3+a8=2a5+2，则a1等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(多选)在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+(n∈N+)，则下列说法正确的是( )
A.{an}是等差数列 B.是等差数列
C.an= D.an=n
4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A.d> B.d<
C.5.有穷等差数列5，8，11，…，3n+11(n∈N+)的项数是( )
A.n B.3n+11
C.n+4 D.n+3
6.(多选)已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8)<0，则( )
A.a6+a7<0 B.a6>0
C.a7>0 D.a6+a7>0
7.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为-36，则这三个数的平方和为 .
8.在等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2(··…·)= .
9.(10分)已知，，成等差数列.求证：，，也成等差数列.
10.(11分)各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，且a2=-1.
(1)求证：数列为等差数列；(5分)
(2)若≥λ对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围.(6分)
11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小一份的面包个数为( )
A. B.
C. D.
12.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn=，若对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是( )
A.(-8，-7) B.(-7，-6)
C.(-8，-6) D.(-6，-5)
13.在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1，2，…)，则数列{Tn}( )
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
14.在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入非负整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格中应填的数是 .
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
15.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为( )
A.99 B.131
C.139 D.141
16.(12分)已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号为被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2；(4分)
(2)求数列{bn}的通项公式；(4分)
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？(4分)
答案精析
1.A 2.C 3.BC 4.D 5.D 6.BD
7.98 8.20
9.证明 因为，，成等差数列，
所以=+，
即2ac=b(a+c).
因为+
=
==
==，
所以，，成等差数列.
10.(1)证明 ∵各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，
两边取倒数得=+3，
∴-=3，
∵a2=-1，∴-=3，
解得a1=-.
∴数列为等差数列，
且首项为-4，公差为3.
(2)解 由(1)得=-4+3(n-1)=3n-7，
∴an=.
∵≥λ对任意n∈N+恒成立，
∴λ≤对任意n∈N+恒成立.
令f(n)==
=1-.
当n=1时，f(1)=4；
当n=2时，f(2)=-；
当n≥3时，f(n)单调递增.
则=f(3)≤f(n)<1，
∴f(n)min=f(2)=-，
∴λ≤-，
∴实数λ的取值范围为.
11.A 12.A 13.B
14.142
解析 记aij为第i行第j列的空格中所填的数，
则a52=x，a41=y.
由第3行得a33=，
由第3列得a33=2×103-2x，
所以2x+y=113. ①
由第1列得a21=3y，
则由第2行得a23=2×74-3y，
由第3列得a33+103=a23+2x，
则a23=3×103-4x，
所以2×74-3y=3×103-4x，
即4x-3y=161， ②
联立①②，解得x=50，y=13，
所以a15=2×186-a55
=2×186-4x=172，
a13=2a33-a53=112，
a14==142，
故标有*号的空格中应填142.
15.D ［设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图，
由图可得
则故选D.］
16.解 (1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为
an=3-5(n-1)=8-5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m=4n-1，n∈N+.
所以b1=a3=8-5×3=-7，
b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1=-7，公差d'=-20，所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1，n∈N+，
所以当n=110时，
m=4×110-1=439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.